全國(guó)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案文.doc

第2講函數(shù)的應(yīng)用考情考向分析1.求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見(jiàn)題型，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問(wèn)題熱點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，且有f(a)f(b)1f(3)，g(5)3log251f(5)，可得有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選B.(2)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：定義域?yàn)镽；xR，都有f(x2)f(x)；當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)|x|1，則方程f(x)log2|x|在區(qū)間3,5內(nèi)解的個(gè)數(shù)是()A5 B6 C7 D8答案A解析畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個(gè)解熱點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)與參數(shù)的范圍解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解例2(1)已知偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)，且當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x2，若在區(qū)間1,3內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(3,5)解析偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)，且當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x2，f(x2)f(x11)f(x)，函數(shù)f(x)的周期為2，在區(qū)間1,3內(nèi)函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與yloga(x2)的圖象在區(qū)間1,3內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)當(dāng)0a1且解得3a5.(2)(2018全國(guó))已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A1,0) B0，)C1，) D1，)答案C解析令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出yf(x)，yh(x)圖象的示意圖，如圖所示若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移yh(x)的圖象可知，當(dāng)直線(xiàn)yxa過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)10a，a1.當(dāng)yxa在yx1上方，即a1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意綜上，a的取值范圍為1，)故選C.思維升華(1)方程f(x)g(x)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(2)關(guān)于x的方程f(x)m0有解，m的范圍就是函數(shù)yf(x)的值域跟蹤演練2(1)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k0有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案0,1)(2，)解析畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可以看出當(dāng)0k2時(shí)符合題設(shè)(2)(2018天津)已知a0，函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_答案(4,8)解析作出函數(shù)f(x)的示意圖，如圖l1是過(guò)原點(diǎn)且與拋物線(xiàn)yx22ax2a相切的直線(xiàn)，l2是過(guò)原點(diǎn)且與拋物線(xiàn)yx22axa相切的直線(xiàn)由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)yax在l1，l2之間(不含直線(xiàn)l1，l2)變動(dòng)時(shí)，符合題意由消去y，整理得x2ax2a0.由10，得a8(a0舍去)由消去y，整理得x2axa0.由20，得a4(a0舍去)綜上，得4a8.熱點(diǎn)三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果(4)實(shí)際問(wèn)題作答：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問(wèn)題作出解答例3經(jīng)測(cè)算，某型號(hào)汽車(chē)在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)耗油量y(升)與速度x(千米/時(shí))(50x120)的關(guān)系可近似表示為：y(1)該型號(hào)汽車(chē)速度為多少時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最低？(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號(hào)汽車(chē)勻速?gòu)腁地駛向B地，則汽車(chē)速度為多少時(shí)總耗油量最少？解(1)當(dāng)x50,80)時(shí)，y(x2130x4 900)(x65)2675，當(dāng)x65時(shí)，y有最小值6759.當(dāng)x80,120時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x120時(shí)，y有最小值10.因?yàn)?10，故當(dāng)x65時(shí)每小時(shí)耗油量最低(2)設(shè)總耗油量為l，由題意可知ly.當(dāng)x50,80)時(shí)，ly16，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x70時(shí)，l取得最小值16.當(dāng)x80,120時(shí)，ly2為減函數(shù)當(dāng)x120時(shí)，l取得最小值10.因?yàn)?00，xR)若f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以2，所以，所以01.當(dāng)x(，2)時(shí)，x，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)有零點(diǎn)，則k2(kZ)，即k(kZ)當(dāng)k0時(shí)，；當(dāng)k1時(shí)，.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，0或.2(2017山東改編)已知當(dāng)x0,1時(shí)，函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(0,13，)解析設(shè)f(x)(mx1)2，g(x)m，在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)(mx1)2m22與g(x)m的大致圖象分兩種情形：(1)當(dāng)01時(shí)，01，如圖，要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個(gè)交點(diǎn)，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)綜上所述，m(0,13，)3(2017江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f(x)其中集合D，則方程f(x)lg x0的解的個(gè)數(shù)是_答案8解析由于f(x)0,1)，則只需考慮1x10的情況，在此范圍內(nèi)，當(dāng)xQ，且xZ時(shí)，設(shè)x，p，qN*，p2且p，q互質(zhì)若lg xQ，則由lg x(0,1)，可設(shè)lg x，m，nN*，m2且m，n互質(zhì)因此，則10nm，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾因此lg xQ，因此lg x不可能與每個(gè)周期內(nèi)xD對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮lg x與每個(gè)周期內(nèi)xD部分的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)草圖圖中交點(diǎn)除(1,0)外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù)，屬于每個(gè)周期內(nèi)xD部分，且x1處(lg x)g，g(4)32，g(1)2，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)一共有5個(gè)，所以f(x)2sin xx1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1,1) B0,2C(2,2 D1,2)押題依據(jù)利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定參數(shù)范圍，較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想答案D解析g(x)f(x)2x要使函數(shù)g(x)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，只需g(x)0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以或所以g(x)0的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為x2(xa)，x1(xa)，x2(xa)再借助數(shù)軸，可得1a2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,2)，故選D.3在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)m.押題依據(jù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是高考的必考點(diǎn)，函數(shù)的最值問(wèn)題是應(yīng)用問(wèn)題考查的熱點(diǎn)答案20解析如圖，過(guò)A作AHBC交BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)F，易知，AFx，F(xiàn)H40x(0x40)，則矩形花園的面積Sx(40x)2，當(dāng)且僅當(dāng)40xx，即x20時(shí)取等號(hào)，所以滿(mǎn)足題意的邊長(zhǎng)x為20 m.A組專(zhuān)題通關(guān)1如圖是函數(shù)f(x)x2axb的部分圖象，則函數(shù)g(x)ln xf(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B.C(1,2) D(2,3)答案B解析由函數(shù)圖象可知即函數(shù)g(x)ln x2xaln x2x1b，gln 11bln 2b0，所以零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，故選B.2某企業(yè)為節(jié)能減排，用9萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn)，第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用2萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加3萬(wàn)元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為21萬(wàn)元，設(shè)該設(shè)備使用了n(nN*)年后，盈利總額達(dá)到最大值(盈利額等于收入減去成本)，則n等于()A6 B7 C8 D7或8答案B解析盈利總額為21n9n2n9，由于對(duì)稱(chēng)軸為n，所以當(dāng)n7時(shí)，取最大值，故選B.3(2018湖南十四校聯(lián)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2x4，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A2 B3 C4 D5答案B解析由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)0.由于ff(2)0時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)x0時(shí)，也有1個(gè)零點(diǎn)故一共有3個(gè)零點(diǎn)4(2018烏魯木齊模擬)已知函數(shù)f(x)x22x(x0)與g(x)x2log2(xa)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則a的取值范圍是()A(，) B(，)C. D.答案B解析f(x)x22x(x0時(shí)，x0)，所以f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為h(x)f(x)x22x(x0)，由題意得x22xx2log2(xa)在x0時(shí)有解，作出函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y2x與ylog2(xa)的圖象在(0，)上必有交點(diǎn)，符合題意，若a0，若兩函數(shù)在(0，)上有交點(diǎn)，則log2a，解得0a，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，)5將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線(xiàn)yaent.假設(shè)過(guò)5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過(guò)m min甲桶中的水只有升，則m的值為()A5 B6 C8 D10答案A解析根據(jù)題意知，因?yàn)? min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數(shù)f(x)aent滿(mǎn)足f(5)ae5na，可得nln ，因?yàn)楫?dāng)k min后甲桶中的水只有升，所以f(k)，即ln kln ，所以ln k2ln ，解得k10，k55，即m5，故選A.6(2018湖南省三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)則方程f(f(x)20的實(shí)根個(gè)數(shù)為()A6 B5 C4 D3答案C解析令tf(x)，則方程f(f(x)20等價(jià)于f(t)2t0，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出f(x)與直線(xiàn)y2x的圖象，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，且f(t)2t0的兩根分別為t10和1t20時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)x0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，f(x)x33mx2(x0)，f(x)3x23m(x0)，若m0，則f(x)0，函數(shù)f(x)在(，0上單調(diào)遞增，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又f(0)20時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，解得m1，故m的取值范圍是(1，)9對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，則稱(chēng)函數(shù)f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，現(xiàn)已知函數(shù)f(x)ex2x3與g(x)x2axx4互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案3,4解析由題意知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x2，設(shè)g(x)滿(mǎn)足|2|1的零點(diǎn)為，因?yàn)閨2|1，解得13.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象開(kāi)口向上，所以要使g(x)的一個(gè)零點(diǎn)落在區(qū)間1,3上，則需滿(mǎn)足g(1)g(3)0或解得a4或3a，得3a4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為3,410(2018江西撫州七校聯(lián)考)食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來(lái)一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬(wàn)元，搭建了甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收益P、種黃瓜的年收益Q與投入a(單位：萬(wàn)元)滿(mǎn)足P804，Qa120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬(wàn)元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬(wàn)元)(1)求f(50)的值；(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解(1)因?yàn)榧状笈锿度?0萬(wàn)元，則乙大棚投入150萬(wàn)元，所以f(50)804150120277.5.(2)f(x)804(200x)120x4250，依題意得解得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t2，6，則yt24t250(t8)2282，當(dāng)t8，即x128時(shí)，f(x)max282，所以當(dāng)甲大棚投入128萬(wàn)元，乙大棚投入72萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大收益為282萬(wàn)元B組能力提高11定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)若關(guān)于x的方程f(x)a0(0a1)所有根之和為1，則實(shí)數(shù)a的值為()A. B. C. D.答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x(1,0時(shí)，f(x)f(x)log(x1)log2(1x)；當(dāng)x(，1時(shí)，f(x)f(x)(1|x3|)|x3|1，所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，令g(x)f(x)a，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即為函數(shù)yf(x)與ya的交點(diǎn)，如圖所示，共5個(gè)當(dāng)x(，1時(shí)，令|x3|1a，解得x14a，x2a2，當(dāng)x(1,0)時(shí)，令log2(1x)a，解得x312a；當(dāng)x1，)時(shí)，令1|x3|a，解得x44a，x5a2，所以所有零點(diǎn)之和為x1x2x3x4x54aa212a4aa212a1，a.12(2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)axln x有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析函數(shù)f(x)axln x有3個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于a，x(0，)有3個(gè)不同解，令g(x)，x(0，)，則g(x)，當(dāng)x(0，)時(shí)，令y2xln x，則y2，當(dāng)x時(shí)，y0，y單調(diào)遞增，則ymin1ln1ln 20，則當(dāng)x(0，)時(shí)，恒有2xln x0，令g(x)0，得x1或xe，且x(0,1)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；x時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，則g(x)的極小值為g(1)1，g(x)的極大值為g(e)，當(dāng)