（黃岡名師）高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升練三十九8.4直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法理（含解析）新人教A版.docx

核心素養(yǎng)提升練三十九直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明:設(shè)abc,且a+b+c=0,求證:0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0【解析】選C.要證a,只需證b2-ac3a2,只需證b2-a(-b-a)0,只需證(2a+b)(a-b)0,只需證(a-c)(a-b)0.2.設(shè)a=,b=-,c=-,那么a,b,c的大小關(guān)系是()A.abcB.acbC.bacD.bca【解析】選B.由已知,a=,b=,c=,因?yàn)?2,所以bca.3.若1x10,下面不等式中正確的是()A.(lg x)2lg x2lg(lg x)B.lg x2(lg x)2lg(lg x)C.(lg x)2lg(lg x)lg x2D.lg(lg x)(lg x)2lg x2【解析】選D.因?yàn)?xx,0lg x1,lg(lgx)lg x(lg x)2,lg x2(lg x)2lg(lg x).4.用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實(shí)根”時,要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實(shí)根【解析】選A.依據(jù)反證法的要求,即至少有一個的反面是一個也沒有,直接寫出命題的否定.方程x3+ax+b=0至少有一個實(shí)根的反面是方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根.5.已知直線l,m,平面,且l,m,給出下列四個命題:若,則lm;若lm,則;若,則lm;若lm,則.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4【解析】選B.若l,m,則l,所以lm,正確;若l,m,lm,與可能相交,不正確;若l,m,l與m可能平行或異面,不正確;若l,m,lm,則m,所以,正確.二、填空題(每小題5分,共15分)6.等式“=”的證明過程:“等式兩邊同時乘以得,左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,所以原不等式成立”,應(yīng)用了_的證明方法.(填“綜合法”或“分析法”)【解析】由綜合法的特點(diǎn)可知,此題的證明用的是綜合法.答案:綜合法7.設(shè)nN*,則-_-(填“”“”或“=”).【解析】要比較-與-的大小,即判斷(-)-(-)=(+)-(+)的符號,因?yàn)?+)2-(+)2=2-=2(-)0,所以-.答案:0),以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與x=-相切. 【證明】如圖,作AA、BB垂直于準(zhǔn)線,取AB的中點(diǎn)M,作MM垂直于準(zhǔn)線.要證明以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切,只需證|MM|=|AB|,由拋物線的定義:|AA|=|AF|,|BB|=|BF|,所以|AB|=|AA|+|BB|,所以只需證|MM|=(|AA|+|BB|)由梯形的中位線定理知上式是成立的.所以,以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與x=-相切. 2.已知數(shù)列,計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【解析】S1=,S2= +=,S3= + =,S4= +=.可以看出,上面表示四個結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1.于是猜想Sn=,下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.當(dāng)n=1時,左邊=S1=,右邊=,猜想成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時猜想成立,即+ + =,當(dāng)n=k+1時,+=+=,所以,當(dāng)n=k+1時猜想也成立.由知,猜想對任意nN*都成立.(15分鐘30分)1.(5分)證明命題“f(x)=ex+在(0,+)上是增函數(shù)”,一個同學(xué)給出的證法如下:因?yàn)閒(x)=ex+,所以f(x)=ex-,又因?yàn)閤0,所以ex1,00,即f(x)0,所以f(x)在(0,+)上是增函數(shù).他使用的證明方法是()A.綜合法B.分析法C.反證法D.以上都不是【解析】選A.該證明方法符合綜合法的定義,應(yīng)為綜合法.2.(5分)若a,b,cR,且ab+bc+ac=1,則下列不等式成立的是()A.a2+b2+c22B.(a+b+c)23C.+2D.abc(a+b+c)【解析】選B.因?yàn)閍2+b22ab,a2+c22ac,b2+c22bc,將三式相加得2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac,即a2+b2+c21,又因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)21+21=3.3.(5分)在ABC中,若sin Asin Bcos Acos B,則ABC一定是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形【解析】選C.由sin Asin B0,所以cos Cd,a-2d,d0).假設(shè)存在a1,d,使得a1,依次構(gòu)成等比數(shù)列,則=a1,且=,即a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,則1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(-t0,a1+3d0,=a1,且=,所以=a1,且=,即=(a1+d),聯(lián)立,得=a1(a1+d),即=a1,化簡得d3-6a1d2-3d=0,即d(d2-6a1d-3)=0,所以d=0(舍),d=(32)a1,但d=(32)a1不是的解,所以不存在a1,d,使得a1,依次構(gòu)成等比數(shù)列.【變式備選】已知a0,函數(shù)f(x)=x3-a,x0,+),設(shè)x10.記曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x1,f(x1)處的切線為l.(1)求l的方程.(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為(x2,0),求證: