（黃岡名師）高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升練三十二6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用理（含解析）新人教A版.docx

核心素養(yǎng)提升練三十二數(shù)列的綜合應(yīng)用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=()A.-1B.1C.D.-2【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,則a4=-1+3d=8,解得d=3;b4=-1q3=8,解得q=-2.所以a2=-1+3=2,b2=-1(-2)=2,所以=1.2.我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中,有已知長方形面積求一邊的算法,其方法的前兩步為:第一步:構(gòu)造數(shù)列1,.第二步:將數(shù)列的各項(xiàng)乘以,得到一個(gè)新數(shù)列a1,a2,a3,an.則a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=()A.B.C.D.【解析】選C.由題意知所得新數(shù)列為1,所以a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=+=.3.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+f(2n)等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】選A.由題意可設(shè)f(x)=kx+1(k0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=n(2n+3).4.已知a,b,c成等比數(shù)列,a,m,b和b,n,c分別成兩個(gè)等差數(shù)列,則+等于()A.4B.3C.2D.1【解析】選C.由題意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,則+=2.【一題多解】解答本題,還有以下解法:特殊值法:選C.因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分別成兩個(gè)等差數(shù)列,則m=3,n=6,因此+=+=2.5.(2019宜賓模擬)數(shù)列an的通項(xiàng)an=ncos2-sin2,其前n項(xiàng)和為Sn,則S40為()A.10B.15C.20D.25【解析】選C.由題意得,an=ncos2-sin2=ncos,則a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n2n,則S40=(a1+a3+a39)+(a2+a4+a6+a40)=-2+4-+40=20.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an= _.【解析】由3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,則3a2=a3,得公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-17.已知等差數(shù)列an的公差和首項(xiàng)都不等于0,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則=_.【解析】設(shè)公差為d,因?yàn)樵诘炔顢?shù)列an中,a2, a4,a8成等比數(shù)列,所以=a2a8,所以(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以d2=a1d,因?yàn)閐0,所以d=a1,所以=3.答案:38.已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù),數(shù)列bn滿足bn=lg an,b3=18, b6=12,則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和的最大值為_.【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),由題意可知,lg a3=b3,lg a6=b6.又b3=18,b6=12,則a1q2=1018,a1q5=1012,所以q3=1,即q=1,所以a1=1022.又an為正項(xiàng)等比數(shù)列,所以bn為等差數(shù)列,且公差d=-2,b1=22,所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=22n+(-2)=-n2+23n=-+.又nN*,故n=11或12時(shí),(Sn)max=132.答案:132三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a2=a1+d,a3=a1+2d.由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.(2)當(dāng)an=-3n+5時(shí),a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列;當(dāng)an=3n-7時(shí),a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿足條件.故|an|=|3n-7|=記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n=1時(shí),S1=|a1|=4;當(dāng)n=2時(shí),S2=|a1|+|a2|=5;當(dāng)n3時(shí),Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10.當(dāng)n=2時(shí),滿足此式,當(dāng)n=1時(shí),不滿足此式.綜上,Sn=10.為了加強(qiáng)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)化,某市計(jì)劃用若干時(shí)間更換一萬輛燃油型公交車,每更換一輛新車,則淘汰一輛舊車,替換車為電力型和混合動(dòng)力型車.今年初投入了電力型公交車128輛,混合動(dòng)力型公交車400輛;計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%,混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入a輛.(1)求經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)S(n).(2)若該市計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換,求a的最小值.【解析】(1)設(shè)an,bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量.依題意,得an是首項(xiàng)為128,公比為1+50%=的等比數(shù)列,bn是首項(xiàng)為400,公差為a的等差數(shù)列.所以an的前n項(xiàng)和 Sn=256,bn的前n項(xiàng)和Tn=400n+a.所以經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)為S(n)=Sn+Tn=256+400n+a.(2)若計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換,則S(7)10 000,所以256+4007+a10 000,即21a3 082,所以a146.又aN*,所以a的最小值為147.【變式備選】已知Sn為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a1(0,2),+3an+2=6Sn.(1)求an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)nN*,t4Tn恒成立,求實(shí)數(shù)t的最大值.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),由+3an+2=6Sn,得+3a1+2=6a1,即-3a1+2=0.又a1(0,2),解得a1=1.由+3an+2=6Sn,可知+3an+1+2=6Sn+1.兩式相減,得-+3(an+1-an)=6an+1,即(an+1+an)(an+1-an-3)=0.由于an0,可得an+1-an-3=0,即an+1-an=3,所以an是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列.所以an=1+3(n-1)=3n-2.(2)由an=3n-2,可得bn=,故Tn=b1+b2+bn=+=.因?yàn)門n+1-Tn=-=0,所以Tn+1Tn,所以數(shù)列Tn是遞增數(shù)列.所以t4Tn等價(jià)于Tn,所以T1=,解得t1,所以實(shí)數(shù)t的最大值是1.(20分鐘40分)1.(5分)設(shè)an是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列,Ai是邊長為ai, ai+1的矩形的面積(i=1,2,),則An為等比數(shù)列的充要條件是()A.an是等比數(shù)列B.a1,a3,a2n-1,或a2,a4,a2n,是等比數(shù)列C.a1,a3,a2n-1,和a2,a4,a2n,均是等比數(shù)列D.a1,a3,a2n-1,和a2,a4,a2n,均是等比數(shù)列,且公比相同【解析】選D.因?yàn)锳i=ai ai+1,若An為等比數(shù)列,則=為常數(shù),即=,=,所以a1,a3,a5,a2n-1,和a2,a4,a2n,成等比數(shù)列,且公比相等.反之,若奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列,且公比相等,設(shè)為q,則=q,從而An為等比數(shù)列.2.(5分)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=5-n,其前n項(xiàng)和為Sn,將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng),記bn的前n項(xiàng)和為Tn.若存在mN*,使對(duì)任意nN*,SnTm+恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.2,+)B.(3,+)C.3,+)D.(2,+)【解析】選D.依題意得Sn=,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),n=4,5時(shí),Sn取得最大值為10.另外,根據(jù)通項(xiàng)公式得數(shù)列an的前4項(xiàng)為a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,因?yàn)槌榈舻诙?xiàng)后,余下的三項(xiàng)可組成等比數(shù)列,所以數(shù)列bn中,b1=4,公比q=,所以Tn=8,所以4Tn8.因?yàn)榇嬖趍N*,對(duì)任意nN*,SnTm+恒成立,所以102.3.(5分)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an首項(xiàng)為2,且滿足-anan-1-n(n+1)=0,公差不為零的等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,S5=15,且b1,b3,b9成等比數(shù)列,設(shè)cn=,則數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn=_.【解析】-anan-1-n(n+1)=(an+nan-1)an-(n+1)an-1=0,因?yàn)閍n各項(xiàng)均為正數(shù),則an+nan-10,所以an-(n+1)an-1=0,即=n+1,=n,=n-1,=3.上面(n-1)個(gè)式子相乘得=34n(n+1),所以an=234n(n+1),即an=(n+1)!,設(shè)bn的公差為d,5b1+10d=15,(b1+2d)2=b1(b1+8d),解得b1=1,d=1,bn=n,cn=-.所以Tn=c1+c2+c3+cn=+=1-.答案:1-4.(12分)已知an是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列bn滿足b1=4,b4=20,且bn-an為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).設(shè)等比數(shù)列bn-an的公比為q,由題意得q3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.從而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).數(shù)列3n的前n項(xiàng)和為n(n+1),數(shù)列2n-1的前n項(xiàng)和為=2n-1.所以,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為n(n+1)+2n-1.【變式備選】已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en,且e2=2,求+.【解析】(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,兩式相減得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan對(duì)所有n1都成立.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差數(shù)列,可得2a3=a2+a2+a3,所以a3=2a2,故q=2,所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以雙曲線x2-=1的離心率en=.由e2=2解得q=.所以+=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1)=n+1+q2+q2(n-1)=n+= n+(3n-1).5.(13分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn+an=1(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=log4(1-Sn+1)(nN*),Tn=+,求Tn的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,由S1+a1=1,得a1=,當(dāng)n2時(shí),Sn+an=1,Sn-1+an-1=1,兩式相減得,Sn-Sn-1+(an-an-1)=0,所以an=an-1.所以an是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.故an=3(nN*).(2)由(1)知1-Sn+1=an+1=,所以bn=log4(1-Sn+1)=log4=-(n+1),所以=-,故Tn=+=+=-,所以Tn1,且a1+a3=20,a2=8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=,Sn是數(shù)列bn的前