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第五節(jié) 函數(shù)的微分,一、問(wèn)題的提出,二、微分的定義,三、可微的條件,四、微分的幾何意義,五、微分的求法,六、微分形式的不變性,一、問(wèn)題的提出,實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,再例如,既容易計(jì)算又是較好的近似值,問(wèn)題:這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?,二、微分的定義,定義,(微分的實(shí)質(zhì)),由定義知:,三、可微的條件,定理,證,(1) 必要性,(2) 充分性,例,解,四、微分的幾何意義,M,N,）,幾何意義:(如圖),Q,五、微分的求法,求法: 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分.,1.基本初等函數(shù)的微分公式,2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則,例1,解,例2,解,六、一階微分形式的不變性,結(jié)論：,一階微分形式的不變性,例4,解,例3,解,例5,例6,解,在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.,(C為任意常數(shù)),(C為任意常數(shù)),例7,解,在等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.,練習(xí)1.,例8. 設(shè),由方程,確定,解:,方程兩邊求微分,得,當(dāng),時(shí),由上式得,求,雜例,例1,例2,例3,當(dāng),很小時(shí),使用原則:,得近似等式:,七、近似計(jì)算,的近似值 .,解: 設(shè),取,則,例1. 求,特別當(dāng),很小時(shí),常用近似公式:,很小),證明:,令,得,的近似值 .,解:,例2. 計(jì)算,例3. 有一批半徑為1cm 的球 ,為了提高球面的光潔度,解: 已知球體體積為,鍍銅體積為 V 在,時(shí)體積的增量,因此每只球需用銅約為,( g ),用銅多少克 .,估計(jì)一下, 每只球需,要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm ,練習(xí)1,2,八、小結(jié),微分學(xué)所要解決的兩類問(wèn)題:,函數(shù)的變化率問(wèn)題,函數(shù)的增量問(wèn)題,微分的概念,導(dǎo)數(shù)的概念,求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.,研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).,導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:,導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:,思考題,思考題解答,說(shuō)法不對(duì).,從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率

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