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等值線 f(x, y)=k 的法向量,花舞人間 17MAR2012,等值線 f(x, y)=k 的法向量,推導如下結論: 函數(shù) f(x,y)在(x,y)處的梯度垂直于函數(shù)經(jīng)過該點的等值線。 所以函數(shù)的梯度就是函數(shù)等直線的法向量。,設方程 f(x, y)=k 確定了隱函數(shù) y=y(x)。 將此函數(shù)代回原方程,得恒等式:,等式兩端對 x 求導:,得:,等值線 f(x, y)=k 在一點(x, y)處的法線斜率為:,故等值線 f(x, y)=k 在一點(x, y)處的法線向量為:,或,這正好是函數(shù) f(x, y)在(x, y)處的梯度。,所以,函數(shù) f(x,y)在(x,y)處的梯度垂直于函數(shù)經(jīng)過該點的等值線。,法向量,等值線 f(x, y)=k 的法向量,特別地,曲線 f(x, y)=0 在一點(x, y)處的法向量為 f 的梯度(取k=0):,法向量,
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