Mathematica軟件在數(shù)學教學中的應用探索

第 29 卷第 6 期計算機應用與軟件Vol. 29 No 6 2012 年 6 月 Computer Applications and SoftwareJun 2012 Mathematica 軟件在數(shù)學教學中的應用探索 孔 祥 強 ( 菏澤學院數(shù)學系山東 菏澤 274000) 收稿日期: 2011 12 12。2011 年山東省統(tǒng)計局重點課題項目( KT 11048) ; 菏澤學院重點教改項目( 200825) ?？紫閺姡?助教， 主研領域: 應 用數(shù)學。 摘要Mathematica 軟件是專門進行數(shù)學類計算的軟件， 其主要功能是符號運算功能和繪圖功能。在高等數(shù)學的教學過程中引 入 Mathematica 軟件， 有利于增強教學內(nèi)容的直觀性， 激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣， 提高解決實際問題的能力。 關(guān)鍵詞Mathematica 軟件高等數(shù)學繪圖 中圖分類號TP317G434文獻標識碼A EXPLORING APPLICATIONS OF MATHEMATICA SOFTWARE IN MATHEMATICS TEACHING Kong Xiangqiang ( Department of Mathematics， Heze University， Heze 274000， Shandong， China) AbstractMathematica software is the one especially used for mathematics computation， and its main functions are the symbolic operation and drawing The introduction of Mathematica software in teaching process of college mathematics benefits the intuition of strengthening the teaching contents， inspiring students interest in their mathematics studies and enhancing students capabilities in solving practical problems KeywordsMathematica softwareHigher mathematicsDrawing 0引言 隨著科學技術(shù)迅速的發(fā)展， 高等數(shù)學課程在相關(guān)行業(yè)和領 域的作用逐步突出， 人們對應用數(shù)學知識解決實際問題的訴求 日見強烈。因此， 用科學計算的方法解決遇到的問題是高等數(shù) 學課程所面臨的重要課題， 在高等數(shù)學的教學過程中引入數(shù)學 軟件是十分必要的， 進而培養(yǎng)學生應用計算機進行科學的 計算 1 。 Mathematica 軟件是一種數(shù)學分析型軟件， 以符號計算見 長。其主要優(yōu)勢有: ( 1) Mathematica 具有高精度的數(shù)值計算功 能和強大的圖形功能， 可以繪制高等數(shù)學中出現(xiàn)的函數(shù)圖形; ( 2) Mathematica 簡潔易用， 在熟悉命令的基礎上就可以使用; ( 3) Mathematica 具有很強的渲染效果， 可充分調(diào)動學生學習的 積極性; ( 4) Mathematica 交互性好， 能實時地得出結(jié)果2 。在高 等數(shù)學的教學過程中應用軟件， 可以激發(fā)學生學習高等數(shù)學課 的興趣， 提高學生分析問題和解決問題的能力， 對培養(yǎng)學生的創(chuàng) 造性思維、 意識和實踐能力具有特殊的作用。 本文通過典型實例， 深入探討了 Mathematica 軟件在高等數(shù) 學教學中的具體應用。 1利用 Mathematica 軟件輔助圖形提高教學 效果 1 1Mathematica 軟件在微分中值定理中的應用 高等數(shù)學中的微分中值定理， 在理論上和應用上都十分重 要， 只從理論上分析和解釋學生不易掌握， 利用 Mathematica 軟 件， 可很好地驗證定理的結(jié)論。 案例 1在區(qū)間 0， 1 上驗證函數(shù) f( x)= arctanx 對拉格朗 日中值定理的正確性。 輸入: f x_ : = ArcTan x ; Plotf x ， x， 100， 100 a =0; b =1; Solvef x ( fb f a ) /( b a) ， x ; N % 輸出: x0522723 ， x0522723 得到結(jié)果如圖 1 所示。 圖 1函數(shù) f( x)= arctanx 的圖形 從圖 1 可發(fā)現(xiàn)函數(shù)的幾個顯著特征: ( 1)f( x)= arctanx 在 0， 1 上連續(xù); ( 2)在 0， 1 上曲線光滑( 可導) ; ( 3)f( 0)= 0， 142計算機應用與軟件2012 年 且函數(shù)有界。從結(jié)果中明顯地看出， 值 0 522723 介于 0， 1之 間， 因此驗證了拉格朗日中值定理。若用手工計算會比較麻煩， 且結(jié)果也不準確。 1 2Mathematica 軟件在求函數(shù)漸近線中的應用 函數(shù)的漸近線分三種情形水平漸近線垂直漸近線和斜漸 近線。 若 lim x + f( x)= A 或 lim x f( x)= A， 則 y = A 是 y = f( x) 的一條 水平漸近線; 若 lim xx0+f( x)= 或 limxx0f( x)= ， 則 x = x0 是 y = f( x) 的一 條垂直漸近線; 若 k = lim x f( x) x 0， b = lim x( f( x) kx) ， 則 y = kx + b 是 y = f( x) 的斜漸近線。 在求函數(shù)的漸近線時， 學生總是忘記其中的一種， 利用 Mathematica 軟件畫出圖形， 可更好地認知漸近線的存在情形。 案例 2求函數(shù) y = x3 ( x 1) 2的漸近線。 輸入: fx_ : = x3/( x 1) 2; m = Limit f x ， x1 n = Limitfx ， xInfinityk = Limit f x/x， xInfinityb = Limitfx k* x， x Infinitygx_ : = x +2; Plot f x ， gx ， x， 10， 10 ， PlotRange Automatic 輸出: 12 得到結(jié)果如圖 2 所示。 圖 2函數(shù) y = x3/( x 1)2及其漸近線圖形 從結(jié)果中得出， x =1 為函數(shù)的鉛直漸近線; 無水平漸近線; y = x +2 為斜漸近線。 1 3Mathematica 軟件在作變限積分函數(shù)圖形方面 的應用 變限積分函數(shù)是一類特殊形式的函數(shù)， 它是連接眾多知識 的紐帶。對于變限積分函數(shù)的概念， 學生往往理解得不透徹， 分 不清楚變限積分函數(shù)是關(guān)于誰的函數(shù)。利用 Mathematica 軟件 畫出函數(shù)圖形， 從而可直觀地觀察出函數(shù)的形態(tài)。 案例 3作函數(shù) f( x)= x 0 cos t 2 2 dt 的圖形。 輸入: fx_ : = IntegrateCosPit2/2 ， t， 0， x ; Plotfx ， x， 5 5， 55 ， PlotStyle AbsoluteThickness 1 ， AspectRatio12 輸出: 得到結(jié)果如圖 3 所示。 圖 3函數(shù) f( x)= x 0 cos t 2 2 dt 的圖形 1 4Mathematica 軟件在求微分方程數(shù)值解方面的 應用 微分方程的數(shù)值解一般情況下不易求出， 利用軟件可得到 在指定范圍內(nèi)的數(shù)值解， 并且作出的積分曲線很好地反映了解 的情況。 案例 4求微分方程 y = ysin( 2x + y) 滿足初始條件 y( 0) =1 的數(shù)值解。 輸入: s = NDSolve yx= yxSin 2x + yx ， y 0= 1 ， y， x， 0， 10 Plot Evaluate y x/ s ， x， 0， 10 ， PlotRangeAll 輸出: yInterpolatingFunction 0 ， 10 ， 得到結(jié)果如圖 4 所示。 圖 4方程 y = ysin( 2x + y) 的數(shù)值解圖形 從圖 4 可看出解的范圍和分布情況。 2利用 Mathematica 軟件輔助教學較復雜的 計算， 培養(yǎng)學生的學習興趣 數(shù)值計算在理論上算法多、 公式多、 計算量大， 從而使得教 學過程中的推導繁瑣、 枯燥， 缺乏直觀性。有很多的計算， 從數(shù) 據(jù)到數(shù)據(jù)， 單調(diào)乏味， 十分影響學習興趣， 在沒有軟件輔助計算 時， 都是非常困難的， 甚至是不可能的。因此， 無論是老師還是 學生， 都希望在這方面有所突破， 建立快速通道， Mathematica 軟 件提供了很好的途徑3 。 案例 5求不定積分 x21 + x 槡 2 5 + 11x2 dx ， 并作出結(jié)果的圖形。 第 6 期孔祥強: Mathematica 軟件在數(shù)學教學中的應用探索143 輸入: Integrate ( x2* Sqrt 1 + x2 ) /( 5 +11* x2) ， x Plot%， x， 5， 5 輸出:1 242 11x1 +x 槡 2 +ArcSinh x 槡 2 30ArcTan槡 6 5 x 1 +x 槡 2 得到結(jié)果如圖 5 所示。 圖 5不定積分x 2 1 + x 槡 2 5 + 11x2 dx 的一條積分曲線 該結(jié)果不易推導， 但軟件可輕松實現(xiàn)。 案例 6求函數(shù) f( x)= x32x23x +1 的一階導數(shù)和二階 導數(shù)， 并描繪 f( x) 的單調(diào)區(qū)間、 凹凸區(qū)間和拐點。 fx_ : = x3 2x2 3x +1; D f x ， xD %， x t1 = Plotx3 2x2 3x +1， x， 5， 5 t2 = Plot 3x2 4x 3， x， 5， 5 t3 = Plot 6x 4， x， 5， 5 Show t1， t2， t3， PlotRange5， 5 ， AspectRatioAutomatic 得到結(jié)果如圖 6 所示。 圖 6函數(shù) f( x)= x32x2 3x +1 及其一階和二階導函數(shù)圖形 從圖 6 不難理解， f( x) 、 f( x) 和 f( x) 之間的關(guān)系， 形象地 展示了單調(diào)性、 凹凸性、 增減性等函數(shù)一些基本性質(zhì)， 并得出導 數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系， 直觀地看出極值極點、 拐點的意義。 案例 7求三次積分 2 2dx 4x 槡 2 4x 槡 2dy 2 x2+y 槡 2( x 2 + y2) dz 。 輸入: fx_， y_， z_ : = x2 + y2; t1 =0; t2 =2 Pi; r1 t_ : =0; r2t_ : =2; z1 t_， r_ : = r; z2 t_， r_ : =2; Integrater* fr* Cost ， r* Sint ， z ， t， t1， t2 ， r， r1t ， r2 t ， z， z1 t， r ， z2 t， r 輸出:16p 5 3利用 Mathematica 軟件， 驗證結(jié)論的正誤， 理解高等數(shù)學中概念之間的區(qū)別和聯(lián)系 高等數(shù)學中的不少知識比較抽象， 推導也比較復雜， 并且計 算量大， 教師往往把主要的精力放在理論的分析和推導上， 不易 使學生掌握。可通過 Mathematica 軟件計算， 得到精確的結(jié)果， 便于對理論的驗證。 案例 8求極限 lim x xsin 1 x 和lim x0 xsin 1 x ， 并比較計算的 結(jié)果。 輸入: f x_ : = x Sin 1/x ; Limit f x ， xInfinity Plot f x ， x， 10000， 10000 Limit fx ， x0 Plot f x ， x， 0 01， 001 輸出: 10 得到結(jié)果如圖 7、 圖 8 所示。 圖 7x時， 函數(shù) f( x)= xsin 1 x 的變化趨勢 圖 8x0 時， 函數(shù) f( x)= xsin 1 x 的變化趨勢 從圖 7 可以看出， 當 x 時， 函數(shù)的極限為 1; 從圖 8 看 出， 當 x0 時， 函數(shù)極限為 0。通過圖 7 和圖 8， 學生可深刻地 理解這兩種極限之間地區(qū)別， 加深對極限概念的理解。 案例 9設函數(shù) f( x)= x3x 0 sinx x 0 ， 判斷 f( x) 在 x =0 處的 連續(xù)性和可導性。 f x_ : = Ifx 0， x3， Sinx ; Plot f x ， x， 2， 2 得到結(jié)果如圖 9 所示。 圖 9分段函數(shù) f( x)= x3x 0 sinx x 0 的圖形 144計算機應用與軟件2012 年 從圖 9 看出， f( x) 在 x =0 處連續(xù)。 Limit ( Sin x f 0 ) /x， x0， Direction1 Limit ( x3 f 0 ) /x， x0， Direction1 結(jié)果分別為 1 和0， 即 f( x) 在 x =0 處的右導數(shù)為1， 左導數(shù) 為 0， 故在 x =0 處不可導。 gx_ : = Which x 0， 3 x2， x 0， Cos x Plot g x ， x， 2， 2 得到結(jié)果如圖 10 所示。 圖 10分段函數(shù) g( x)= 3x2x 0 cosx x 0的圖形 從 f( x) 的導函數(shù) g( x) 的圖 10 中看出， g( x) 在 x = 0 處間 斷， 即驗證了 f( x) 在 x =0 處不可導。該例體現(xiàn)了一元函數(shù)連續(xù) 和可導的關(guān)系， 使學生加深了對兩個概念的理解， 也驗證了教材 上定理的正確性。 4利用 Mathematica 軟件， 作空間解析幾何中 的圖形 向量代數(shù)和空間解析幾何一章中， 要繪制空間曲線、 空間曲 面的圖形， 及空間曲面所圍成的空間區(qū)域的圖形等， 用手工繪圖 是相當困難的， 用 Mathematica 軟件可快速作出圖形， 借助于直 觀圖形可加深學生對知識的理解， 從而達到激發(fā)學生學習興趣 的目的。在二重積分和三重積分的計算中， 也要用到這些知識， 因此， 掌握常見二次曲面的圖形十分必要4 。 案例 10作出 z = tan( xy)的圖形5 。 Plot3D Tanx* y ， x， 0， 3 ， y， 0， 3 ， PlotPoints40 得到結(jié)果如圖 11 所示。 圖 11函數(shù) z = tan( xy)的圖形 案例 11作出 x2+ y2+ z2=1 與 x2+ y2= x 的交面。 r1 = ParametricPlot3D Sinu* Cosv ， Sinu* Sinv ， Cos u ， u， 0， Pi ， v， 0， 2 Pi r2 = ParametricPlot3D ( Cost ) 2， Cost* Sint ， z ， t， 0， 2Pi ， z， 0， 12 Showr1， r2 得到結(jié)果如圖 12 所示。 圖 12球面 x2+ y2+ z2=1 與柱面 x2 + y2=