怎樣粗線條地描述rv的特.ppt

,課件制作 WangWenHao,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,怎樣粗線條地描述r.v 的特性,簡(jiǎn)單明了、特征鮮明、直觀實(shí)用,隨機(jī)變量的概率特性,分布函數(shù),密度函數(shù),分 布 律,？,要求,1 數(shù)學(xué)期望,2 方差,3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),4 矩、協(xié)方差矩陣,甲、乙兩射手進(jìn)行打靶訓(xùn)練，每人各打了100發(fā)子彈，成績(jī)?nèi)缦拢?怎樣評(píng)估兩人的成績(jī)？,甲：,每槍平均環(huán)數(shù)為,可見甲的射擊水平比乙略好,例,分析,兩人的總環(huán)數(shù)分別為,(環(huán)),乙：,(環(huán)),甲：,乙：,(環(huán)),(環(huán)),實(shí)際背景,某班級(jí)某課程考試的平均成績(jī),電子產(chǎn)品的平均無(wú)故障時(shí)間,某地區(qū)的日平均氣溫和日平均降水量,某地區(qū)水稻的平均畝產(chǎn)量,某地區(qū)的家庭平均年收入,怎樣定義 r.v 的平均值概念,平均值的概念廣泛存在,例如,某國(guó)家國(guó)民的平均壽命,？,甲、乙兩射手進(jìn)行打靶訓(xùn)練，每人各打了100發(fā)子彈，成績(jī)?nèi)缦拢?怎樣評(píng)估兩人的成績(jī)？,即平均環(huán)數(shù)為,例,進(jìn)一步分析,記甲每槍擊中的環(huán)數(shù)為 因?yàn)樯鋼舸螖?shù),較多,故可認(rèn)為 的分布律為,則甲射手每槍平均環(huán)數(shù)為,(期望、均值),定義,設(shè) 的分布律為,為 的數(shù)學(xué)期望,“數(shù)學(xué)期望”是歷史上沿用下來(lái)的一個(gè)名詞，可理解為在數(shù)學(xué)上對(duì) r.v 進(jìn)行計(jì)算期望得到的值,即平均值,“數(shù)學(xué)期望”,(Expectation)的由來(lái),解,某商店對(duì)某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式.付款額根據(jù)使用壽命 來(lái)確定：,例,設(shè)出售一臺(tái)電器的收費(fèi)額為,分布律為,即,參數(shù)為10的指數(shù)分布密度函數(shù)為,即商店出售一臺(tái)電器平均收費(fèi)額為 元,解,例,的分布律為,的均值為,令,解,例,令,特別令 則有,在數(shù)學(xué)期望的定義中，為什么要求,由高等數(shù)學(xué)知,？,分析,收斂,且 與 出現(xiàn)的先后位置無(wú)關(guān)！,注,(期望、均值),定義,設(shè) 的分布律為,為 的數(shù)學(xué)期望,則稱,定義,設(shè) 的概率密度函數(shù)為 若,(期望、均值),為 的數(shù)學(xué)期望,注,注意離散型和連續(xù)型情形的形式一致性,解,例,的密度函數(shù)為,其它,從直觀上看 ？,解,例,從直觀上看 ？,？,奇函數(shù),即該元器件的平均壽命為,解,例,設(shè)某元器件的壽命 服從指數(shù)分布,其密度為,求 的數(shù)學(xué)期望,如果某產(chǎn)品的平均壽命為,在航空、航天、軍事、醫(yī)療等領(lǐng)域，通常要求元器件達(dá) 9 級(jí)以上，這意味著該元器件的平均壽命至少為,由一萬(wàn)個(gè) 9 級(jí)元器件組成的電子設(shè)備的平均壽命為多少年？,(小時(shí)),則稱該產(chǎn)品為“ 級(jí)”產(chǎn)品,越大(級(jí)別越高),失效率 越低,則產(chǎn)品的平均壽命越長(zhǎng), 可靠性越高.,(年),(年),工程背景,設(shè)每個(gè)鐵環(huán)能承受的最大拉力分別為,整條鐵鏈能承受的最大拉力為,解,一條鐵鏈由 個(gè)相同的鐵環(huán)構(gòu)成，鐵鏈兩端受到大小相等、方向相反的拉力 設(shè)單個(gè)鐵環(huán)不被拉斷所能承受的最大拉力為 其密度為,例,試求鐵鏈能承受的平均最大拉力.,其分布函數(shù)為,密度函數(shù)為,可見 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,故,即鐵鏈能承受的平均(最大)拉力為,解,例,計(jì)算,奇函數(shù) ,對(duì)稱區(qū)間,？,因?yàn)?習(xí)題：2、3、4、5,飛機(jī)機(jī)翼受到的壓力為,設(shè)已知,實(shí)際背景,其中 是風(fēng)速 是常數(shù),問(wèn)機(jī)翼受到的平均壓力多大？,則要求,(概率函數(shù)),一般地,(普通函數(shù)),一般的思路,分析,設(shè) 單調(diào)增,其反函數(shù)為 則,令,有意思的結(jié)果,該結(jié)果對(duì)一般的 分布和函數(shù)也成立,定理,設(shè) 為普通函數(shù),則,設(shè) 為離散型r.v,其分布律為,設(shè) 為連續(xù)型r.v,其概率密度為,解,例,設(shè)風(fēng)速 設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力,的密度函數(shù)為,其它,即飛機(jī)機(jī)翼受到的平均正壓力為,于是,則,解,例,過(guò)平面上點(diǎn) 任作一條直線 求由坐標(biāo)原點(diǎn),到直線 的距離 的平均值.,設(shè) 與 軸的夾角為,故原點(diǎn)到直線 的平均距離為,？,？,？,一公司經(jīng)營(yíng)某種原料，根據(jù)調(diào)查了解到該原料的市場(chǎng)需求量 (單位:噸),每出售一噸原料,公司可獲利1千元,若積壓一噸,則公司要損失0.5千元。問(wèn)公司應(yīng)該組織多少貨源,可以使收益最大?,于是公司的平均獲利為,解,例,設(shè)公司應(yīng)組織貨源 噸,則應(yīng)有,又設(shè)公司獲利 千元,則 是市場(chǎng)需求量 的函數(shù),且,令,，解得,故公司應(yīng)該組織433.3噸貨源,可使平均收益最大.,設(shè) 為二元函數(shù),則,設(shè) 的聯(lián)合分布律為,則,推廣的定理,注：公式可推廣到一般的高維隨機(jī)變量,求,由推廣的定理有,解,例,從直觀上看該結(jié)果的合理性,對(duì)連續(xù)型 r.v 進(jìn)行證明.,設(shè) 為r.v，則有,設(shè) 為常數(shù),則,設(shè),則,設(shè) 相互獨(dú)立,則有,對(duì)連續(xù)型 r.v 進(jìn)行證明.,設(shè),獨(dú)立,幾個(gè)推論,設(shè) 的密度函數(shù)為,試求,例,一般的思路,另一種方法,解,三角形區(qū)域,引入r.v,解,一民航客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，沿途有十個(gè)?？空?如達(dá)到一個(gè)車站時(shí)沒有乘客下車就不停車.以 表示停車的次數(shù),求 (假定每位旅客在任一車站下車是等可能的,且各旅客是否下車相互獨(dú)立).,例,位乘客在第 i 站都不下車,從而,易知,旅游團(tuán)的 個(gè)游客出酒店時(shí)都將自己房間的鑰匙交給了導(dǎo)游.回到酒店后,每人從導(dǎo)游處任取一把鑰匙去開自己房間的門.試問(wèn)平均有多少人能開打房門。,故能開打房門的平均人數(shù)為,則能打開房門的人數(shù)為,解,例,令,且,.故,設(shè) 件產(chǎn)品中有 件次品,在該批產(chǎn)品中任意取 件,記 表示取出的次品個(gè)數(shù),求,解,例,的分布律為,稱 服從超幾何分布,直接求和很難,解二,令,故,因?yàn)?則,從而求得公式,注：無(wú)放回取樣，且產(chǎn)品件數(shù)不一定很大,構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ颓髲?fù)雜公式的值是常用的數(shù)學(xué)技巧,怎樣利用r.v的分解方法求解？,有3只球，4只盒子，盒子編號(hào)為1,2,3,4.將球逐個(gè)獨(dú)立隨機(jī)地放入4只盒子中去.