ch9MATLAB符號計(jì)算.ppt

第9章 MATLAB符號計(jì)算 9.1 符號對象 9.2 符號微積分 9.3 級 數(shù) 9.4 符號方程求解,1建立符號變量和符號常量 MATLAB提供了兩個(gè)建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個(gè)函數(shù)的用法不同。 (1) sym函數(shù) sym函數(shù)用來建立單個(gè)符號量，一般調(diào)用格式為： 符號量名=sym(符號字符串) 該函數(shù)可以建立一個(gè)符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。 應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符號常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同。下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn)算時(shí)的差別。,9.1 符號對象,9.1.1 建立符號對象,a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c); x=1; y=2; z=-4; w=a2+b2+c2 h=x2+y2+z2,比較符號常量和數(shù)值常量的差別,a=sym(4); b=sym(5); c=sym(7); d=sym(pi); x=4; y=5; z=7; r=pi w=cos(a2+b2+c2)+sin(d/4) h=cos(x2+y2+z2)+sin(r/4),若要計(jì)算w的值使用,eval(w),(2) syms函數(shù),函數(shù)sym一次只能定義一個(gè)符號變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個(gè)函數(shù)syms，一次可以定義多個(gè)符號變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為： syms 符號變量名1 符號變量名2 符號變量名n 用這種格式定義符號變量時(shí)不要在變量名上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。,syms x y z h x2+(y+z)2-h,2建立符號表達(dá)式,含有符號對象的表達(dá)式稱為符號表達(dá)式。建立符號表達(dá)式有以下3種方法：,(1)利用單引號來生成符號表達(dá)式。,y=1/sqrt(2*x),(2)用sym函數(shù)建立符號表達(dá)式。,f=sym(2*x2-5*y2-3*x*y-7),(3) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式。,syms x y f=2*x2-5*y2-3*x*y-7,9.1.2 符號表達(dá)式運(yùn)算,1符號表達(dá)式的四則運(yùn)算,符號表達(dá)式的加、減、乘、除、冪運(yùn)算可以由通常的“+”、“-”、“*”、“/”、“”來實(shí)現(xiàn)。,2符號表達(dá)式的提取分子和分母運(yùn)算,如果符號表達(dá)式是一個(gè)有理分式或可以展開為有理分式，可利用numden函數(shù)來提取符號表達(dá)式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為： n,d=numden(s) 該函數(shù)提取符號表達(dá)式s的分子和分母，分別將它們存放在n與d中。,syms x y n,d = numden(x/y + y/x),3符號表達(dá)式的因式分解與展開,MATLAB提供了符號表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：,factor(s)：對符號表達(dá)式s分解因式。 expand(s)：對符號表達(dá)式s進(jìn)行展開。 collect(s)：對符號表達(dá)式s合并同類項(xiàng)。 collect(s,v)：對符號表達(dá)式s按變量v合并同類項(xiàng)。,A=a3-b3；factor(A),s=(3*x2-4*x*y-5)*(5*y2+3*y-4*x+2) expand(s),collect(s) collect(s,y),factor(sym(420),4符號表達(dá)式的化簡,MATLAB提供的對符號表達(dá)式化簡的函數(shù)有：,simplify(s)：應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進(jìn)行化簡。,simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡，并顯示化簡過程。,simplify(log(2*(x2-1)*y/(y*x+y),simple(log(2*(x2-1)*y/(y*x+y),pretty(s)：美化表達(dá)式形式。,5符號表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換,利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號表達(dá)式,函數(shù)numeric或eval可以將符號表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。,sym(0.333)， ans =333/1000,如：f=1/2*sqrt(2)， numeric(f) 或 eval(f),9.1.3 符號表達(dá)式中變量的確定,MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以幫助用戶查找一個(gè)符號表達(dá)式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為： findsym(s,n) 函數(shù)返回符號表達(dá)式s中的n個(gè)符號變量，若沒有指定n，則返回s中的全部符號變量。,syms x y z a b d f=3*x*y+4*a*z+d*y+b findsym(f) findsym(f,1) findsym(f,3),符號變量排序?yàn)椋簒 y z a b c d ,符號矩陣也是一種符號表達(dá)式，所以前面介紹的符號表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)行。但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時(shí)，是分別作用于矩陣的每一個(gè)元素。 由于符號矩陣是一個(gè)矩陣，所以符號矩陣還能進(jìn)行有關(guān)矩陣的運(yùn)算。MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個(gè)的數(shù)據(jù)無意義。例如 transpose(s)：返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。 determ(s)：返回s矩陣的行列式值。 其實(shí)，曾介紹過的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應(yīng)用于符號矩陣。,9.1.4 符號矩陣,syms a c1 t a = 980; c1 =3 y = exp(-a*t)*c1 subs(y,a,c1,a,c1) subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2),9.1.5 變量替換函數(shù),Subs(f) subs(f,new,old),subs(exp(a*t),a,-magic(2),subs(x*y,x,y,0 1;-1 0,1 -1;-2 1),9.2 符號微積分,9.2.1 符號極限,limit函數(shù)的調(diào)用格式為： (1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時(shí)，f(x)函數(shù)的極限值。 (2) limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時(shí)，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)自變量，即變量x趨近于a。,(3) limit(f)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)變量；沒有指定變量的目標(biāo)值時(shí)，系統(tǒng)默認(rèn)變量趨近于0，即a=0的情況。,(4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。 (5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。,syms a t x y=sin(a*t)/t limit(y,t,0) limit(y,0) ezplot(h),h=exp(-1/x) limit(h,x,0) limit(h,x,0,left) limit(h,x,0,right),左右極限,求下列極限。 極限1： syms a m x; f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a) 極限2： syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf),極限3： syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) 極限4： syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,right),9.2.2 符號導(dǎo)數(shù),diff函數(shù)用于對符號表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為： diff(s)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。 diff(s,v)：以v為自變量，對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。 diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。 diff(s,v,n)：以v為自變量，對符號表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)。,例9-2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,x = sym(x); t = sym(t); diff(sin(x2) diff(t6,6),syms x y; f=sin(x2)*cos(cos(y2) diff(f,y,2),9.2.3 符號積分,符號積分由函數(shù)int來實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為： int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時(shí)，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分。 int(s,v)：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求不定積分。 int(s,v,a,b)：求定積分運(yùn)算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。a和b可以是兩個(gè)具體的數(shù)，也可以是一個(gè)符號表達(dá)式，還可以是無窮(inf)。當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間a,b上可積時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)定積分結(jié)果。當(dāng)a,b中有一個(gè)是inf時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)廣義積分。當(dāng)a,b中有一個(gè)符號表達(dá)式時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)符號函數(shù)。,9.2.4 積分變換,常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。 1傅立葉(Fourier)變換 在MATLAB中，進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)是： fourier(f,x,t)：求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)。 ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。 例9-4 求函數(shù)y=exp(-x*x)的傅立葉變換及其逆變換。,2拉普拉斯(Laplace)變換 在MATLAB中，進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是： laplace(fx,x,t)：求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)。 ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。 例9-5 計(jì)算y=x3的拉普拉斯變換及其逆變換。,funtool,9.3 級 數(shù),9.3.1 級數(shù)符號求和 求無窮級數(shù)的和需要符號表達(dá)式求和函數(shù)symsum，其調(diào)用格式為： symsum(s,v,n,m) 其中s表示一個(gè)級數(shù)的通項(xiàng)，是一個(gè)符號表達(dá)式。v是求和變量，v省略時(shí)使用系統(tǒng)的默認(rèn)變量。n和m是求和的開始項(xiàng)和末項(xiàng),syms n; symsum(n,1,100) symsum(1/n,1,100) symsum(1/n2,1,100) symsum(1/n2,1,inf),9.3.2 函數(shù)的泰勒級數(shù),MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)，其調(diào)用格式為： taylor(f,v,n,a) 該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項(xiàng)(即變量v的n-1次冪)為止，n的缺省值為6。v的缺省值與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a處展開，a的缺省值是0。,例9-8 求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開式。,syms a x taylor(sin(a*x),x,0,6),taylortool,9.4 符號方程求解,9.4.1 符號代數(shù)方程求解 在MATLAB中，求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為： solve(s)：求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解變量為默認(rèn)變量。 solve(s,v)：求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解變量為v。 solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符號表達(dá)式s1,s2,sn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別v1,v2,vn。,例9-9 解下列方程。,solve(tan(2*y)=sin(y),y),在解不唯一的情況下，返回多個(gè)值 若不能求符號解，則返回可變精度解,x,y = solve(x2+x*y+y =3,x2- 4*x+3=0),u,v=solve(a*u2+v2=0,u-v=1),將a看著參數(shù),S = solve(a*u2 + v2=0,u - v = 1,a,u),將v看著參數(shù),x,y = solve(sin(x+y)-exp(x)*y =0,x2-y=2),無解析解,9.4.2 符號常微分方程求解,在MATLAB中，用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù)。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。符號常微分方程求解可以通過函數(shù)dsolve來實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為： dsolve(e,c,v) 該函數(shù)求解常微分方程e在初值條件c下的特解。參數(shù)v描述方程中的自變量，省略時(shí)按缺省原則處理，若沒有給出初值條件c，則求方程的通解。 dsolve在求常微分方程組時(shí)的調(diào)用格式為： dsolve(e1,e2,en,c1,cn,v1,vn) 該函