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3.3.1 拉格朗日中值定理,定理3.3 (拉格朗日中值定理),(1) 在閉區(qū)間a, b上連續(xù);,(2) 在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo);,使得,3.3 拉格朗日中值定理及其應(yīng)用,若函數(shù) f (x) 滿足:,幾何解釋:,分析:,化為羅爾定理的結(jié)論形式,在曲線弧AB上至少 有一點(diǎn)C, 在該點(diǎn)處的切 線平行于弦AB.,證 作輔助函數(shù),拉格朗日中值公式,即,或,推論1 設(shè),證,不妨設(shè),例1 證明當(dāng),證,而,故,例2 證明,證,令,故,證,命題得證.,例3 證明當(dāng),例4 設(shè),證,拉格朗日中值定理,使得,即,例4 設(shè),另證,證,令,羅爾定理,整理得,使得,故,即,推論2,單調(diào)遞增;,單調(diào)遞減.,3.3.2 函數(shù)的單調(diào)性,在(a, b)內(nèi)可導(dǎo).,證 (1),由拉格朗日定理,在a, b上,在a, b上,解,例4 討論函數(shù) 的單調(diào)性.,定義域?yàn)?注1: 推論2對(duì)于開(kāi)、閉、有限或無(wú)窮區(qū)間都正確.,注2: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,例如,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法:,若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù),的符號(hào).,的分界點(diǎn),則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間,解,定義域?yàn)?導(dǎo)數(shù)不存在.,例5 討論函數(shù) 的單調(diào)性.,解,定義域?yàn)?例6 討論函數(shù) 的單調(diào)性.,導(dǎo)數(shù)不存在;,由零點(diǎn)定理,例7 討論方程 在 內(nèi)的實(shí)根.,解,原方程在 內(nèi)至少有一實(shí)根.,綜上所述, 原方程在 內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.,因此, 原方程在 內(nèi)至多有一實(shí)根.,作業(yè),習(xí)題

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