【高考輔導(dǎo)資料】2010高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析_：基本不等式

2010高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析 基本不等式 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1 利用基本不等式求最值(或取值范圍)題型1. 當(dāng)積為定值時(shí),求和最小值例1 . 已知且滿足,求的最小值.【解題思路】利用，構(gòu)造均值不等式解析：, ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即,又, 當(dāng)時(shí),有最小值18.【名師指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各數(shù)均為正數(shù)；(2)要求“和”或“積”為定值；(3)要注意是否具備等號(hào)成立的條件題型2. 當(dāng)和為定值時(shí), 求積最大值例2. 已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此時(shí)x、y的值 【解題思路】這是條件最值問(wèn)題，但目標(biāo)式與已知條件的聯(lián)系較隱蔽，不易發(fā)現(xiàn). 應(yīng)將lgx+lgy轉(zhuǎn)化成lgxy考慮解析x0，y0，3x+4y=12， ，lgx+lgy=lgxylg3 由 解得 當(dāng)x=2，y=時(shí)，lgx+lgy取得最大值lg3 【名師指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一題型3.靈活運(yùn)用基本不等式求取值范圍例3. 若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是_ 【解題思路】可通過(guò)多種途經(jīng)將等式化為可利用重要不等式的不等關(guān)系求解解法一 由a、bR+，由重要不等式得a+b2，則ab=a+b+32+3，即3， ab9 解法二 a、b為正數(shù)， ab=a+b+30，兩邊立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三 原條件式變?yōu)閍b-3=a+b， a、b均為正數(shù)，故式兩邊都為正數(shù)，兩邊平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab3， ab9 解法四 把a(bǔ)、bR+看作一元二次方程的兩個(gè)根，此方程為x2+(3-ab)x+ab=0，則=(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20成立， ab9 解法五 由已知得a(b-1)=b+3，顯然a1， ，即ab9 【名師指引】本題用了轉(zhuǎn)化思想（等式轉(zhuǎn)化為不等式）、方程思想、函數(shù)思想，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)常用的思想方法【新題導(dǎo)練】1.若，則=_時(shí),有最小值，最小值為_(kāi).解析:, , ,=，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí).2. .(2008華附)已知?jiǎng)t的最小值為 解析:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).3. 已知一動(dòng)直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積的數(shù)值比直線的縱、橫截距之和大1，求這三角形面積的最小值解析： 設(shè)直線的方程（a0，b0），則，a+b2，即0，解得，當(dāng)a=b=2+時(shí)，三角形面積的最小值為5+2考點(diǎn)2 利用基本不等式證明題型：用綜合法證明簡(jiǎn)單的不等式例1. 已知,求證:.【解題思路】因?yàn)槭禽啌Q對(duì)稱不等式，可考慮由局部證整體.解析 ,相加整理得. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【名師指引】綜合法證明不等式常用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一結(jié)論，運(yùn)用時(shí)要結(jié)合題目條件，有時(shí)要適當(dāng)變形.例2. 已知a，b為正數(shù)，求證：【解題思路】觀察結(jié)構(gòu)用基本不等式加以證明.解析1： a0，b0， ， ，兩式相加，得， 解析2. 解析3. a0，b0， 欲證 ，即證 ，只要證 ，只要證 ，即證 ，只要證 a3+b3ab(a+b)，只要證 a2+b2-abab，即證 (a-b)20 (a-b)20成立， 原不等式成立 【名師指引】當(dāng)要證明的不等式形式上比較復(fù)雜時(shí)，常通過(guò)分析法尋求證題思路“分析法”與“綜合法”是數(shù)學(xué)推理中常用的思維方法，特別是這兩種方法的綜合運(yùn)用能力，對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有重要的作用 這兩種數(shù)學(xué)方法是高考考查的重要數(shù)學(xué)思維方法【新題導(dǎo)練】4.已知,求證:解析： 又 由得 ,又不等式、中等號(hào)成立的條件分別為,故不能同時(shí)成立,從而.5.設(shè)x0,y0且xy,求證證明：由x0,y0且xy,要證明只需 即只需由條件,顯然成立.原不等式成立考點(diǎn)3 基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用題型1.處理恒成立的有關(guān)問(wèn)題例1. (2008中山)若,且恒成立,則的最小值是_【解題思路】分離系數(shù)得令求最大值即可解析: 事實(shí)上求函數(shù)的最大值,即的最大值,運(yùn)用基本不等式不難得到.【名師指引】分離系數(shù)法是處理參數(shù)取值范圍的常用方法.題型2.處理函數(shù)應(yīng)用題.例2.(2008梅縣）某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本為.當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),(萬(wàn)元);當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),(萬(wàn)元).每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元.通過(guò)市場(chǎng)分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?【解題思路】湊出基本不等式的形式.解析: (1)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),(2)當(dāng)時(shí),此時(shí),當(dāng)時(shí),取得最大值(萬(wàn)元);當(dāng)時(shí),此時(shí),當(dāng)時(shí),即時(shí),取得最大值1000萬(wàn)元.所以,當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí),該廠在這一商品中所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為1000萬(wàn)元.【名師指引】形如函數(shù)的形式求最值時(shí)可考慮用基本不等式，但要注意條件的限制,可借助函數(shù)的圖像解題，必要時(shí)借助于導(dǎo)數(shù).題型3.處理數(shù)列應(yīng)用題例3. 某鄉(xiāng)為提高當(dāng)?shù)厝罕姷纳钏?由政府投資興建了甲、乙兩個(gè)企業(yè),2007年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤(rùn)320萬(wàn)元,從乙企業(yè)獲得利潤(rùn)720萬(wàn)元.以后每年上交的利潤(rùn)是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增,而乙企業(yè)則為上一年利潤(rùn)的.根據(jù)測(cè)算,該鄉(xiāng)從兩個(gè)企業(yè)獲得的利潤(rùn)達(dá)到2000萬(wàn)元可以解決溫飽問(wèn)題,達(dá)到8100萬(wàn)元可以達(dá)到小康水平.（1）若以2007年為第一年,則該鄉(xiāng)從上述兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn)最少的一年是那一年,該年還需要籌集多少萬(wàn)元才能解決溫飽問(wèn)題？（2）試估算2015年底該鄉(xiāng)能否達(dá)到小康水平？為什么？【解題思路】經(jīng)審題抽象出數(shù)列模型解析（）若以2007年為第一年,則第n年該鄉(xiāng)從這兩家企業(yè)獲得的利潤(rùn)為 = 當(dāng)且僅當(dāng),即n=2時(shí),等號(hào)成立，所以第二年（2008年）上交利潤(rùn)最少，利潤(rùn)為960萬(wàn)元.由2000960=1040（萬(wàn)元）知：還需另籌資金1040萬(wàn)元可解決溫飽問(wèn)題.（）2015年為第9年,該年可從兩個(gè)企業(yè)獲得利潤(rùn) 所以該鄉(xiāng)到2015年底可以達(dá)到小康水平.【名師指引】本題重點(diǎn)考查數(shù)列的相關(guān)知識(shí),基本不等式起到了工具性的作用.【新題導(dǎo)練】6.已知函數(shù)，若在（0，+）上恒成立，求的取值范圍。解析：因?yàn)樵冢?，+）上恒成立，即 的最小值為4 解得7. （廣東省潮州金中08-09學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）某種汽車的購(gòu)車費(fèi)用是10萬(wàn)元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為萬(wàn)元，年維修費(fèi)用第一年是萬(wàn)元，以后逐年遞增萬(wàn)元。問(wèn)這種汽車使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最?。孔钚≈凳嵌嗌?？解析：設(shè)使用年的年平均費(fèi)用為萬(wàn)元 則使用年的維修總費(fèi)用為 萬(wàn)元 依題得 - 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)取等號(hào) 時(shí)取得最小值3 萬(wàn)元 答：這種汽車使用10年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最小，最小值是3 萬(wàn)元. 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 設(shè)x0，則函數(shù)在x=_時(shí)，y有最小值_解：答案為： _1_；32. 設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足，則x+y的取值范圍是_解析：答案為(-,-11, +)_3. （廣東省梅州、揭陽(yáng)兩市四校2008屆高三第三次聯(lián)考）設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則xy的最小值為 解析：由可化為xy =8+x+y,x，y均為正實(shí)數(shù) xy =8+x+y（當(dāng)且僅當(dāng)x=y等號(hào)成立）即xy-2-8可解得,即xy16故xy的最小值為16。4. 半徑為4的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，且AB，AC，AD兩兩互相垂直，則、面積之和的最大值為（ ）CA8B16C32D64解析：由AB，AC，AD兩兩互相垂直，將之補(bǔ)成長(zhǎng)方體知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64=等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)取得，所以的最大值為32 ，選C5. 某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與車庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距車站10公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站多少公里處?解析：由已知y1=；y2=0.8x(x為倉(cāng)庫(kù)與車站距離)費(fèi)用之和y=y1+y2=0.8x+ 2=8當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=即x=5時(shí)“=”成立答：5公里處綜合拔高訓(xùn)練BACD地面6.某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求至少長(zhǎng)2.8m，為的中點(diǎn)，到的距離比的長(zhǎng)小0.5m，已知建筑支架的材料每米的價(jià)格一定，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)的長(zhǎng)，可使建造這個(gè)支架的成本最低？解析：設(shè)連結(jié)BD.則在中，設(shè)則等號(hào)成立時(shí)答：當(dāng)時(shí)，建造這個(gè)支架的成本最低.7. 已知 的單調(diào)區(qū)間；（2）若講解: （1） 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形 , 得 ,（2）首先證明任意事實(shí)上,而 .8.（廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考試卷）一輛郵政車自A城駛往B城，沿途有n個(gè)車站（包括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B），每?？恳徽颈阋断虑懊娓髡景l(fā)往該站的郵袋各一個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)，設(shè)該車從各站出發(fā)時(shí)郵政車內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個(gè)有窮數(shù)列，試求：（1） （2）郵政車從第k站出發(fā)時(shí)，車內(nèi)共有郵袋數(shù)是多少個(gè)？（3）求數(shù)列的前 k項(xiàng)和并證明：解： 滿分14分 （1）由