【高考輔導(dǎo)資料】高中物理競(jìng)賽教程：3.4《磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用》

3.4 磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用341、洛倫茲力載流導(dǎo)線所受的安培力，我們可看為是磁場(chǎng)作用給運(yùn)動(dòng)電荷即自由電子的力，經(jīng)自由電子與導(dǎo)體晶格的碰撞而傳遞給導(dǎo)線的。根據(jù)安培定律，而電流強(qiáng)度與運(yùn)動(dòng)電荷有關(guān)系，角既是O圖3-4-1電流元與B的夾角，也可視為帶電粒子的速度與之間的夾角，長(zhǎng)導(dǎo)線中有粒子數(shù)，則每個(gè)電子受到的力即洛倫茲力為洛倫茲力總是與粒子速度垂直，因此洛倫茲力不作功，不能改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。洛倫茲力的方向從圖3-4-1可以看出，它一定與磁場(chǎng)(B)的方向垂直，也與粒子運(yùn)動(dòng)()方向垂直，即與、B所在的平面垂直，具體方向可用左手定則判定。但應(yīng)注意，這里所說(shuō)的粒子運(yùn)動(dòng)方向是指正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，它恰與負(fù)電荷沿相反方向運(yùn)動(dòng)等效。342、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與粒子的初始狀態(tài)有關(guān)具體如下：如果帶電粒子原來(lái)靜止，它即使在磁場(chǎng)中也不會(huì)受洛倫磁力的作用，因而保持靜止。如果帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向恰與磁場(chǎng)方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫磁力的作用，粒子就以這個(gè)速度在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)。ABOAA圖3-4-2帶電粒子速度方向與磁場(chǎng)方向垂直，帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)方向的平面內(nèi)以入射速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的四個(gè)基本公式。(1)向心力公式：(2)軌道半徑公式：(3)周期、頻率和角頻率公式，即：，(4) 動(dòng)能公式：如圖3-4-2所示，在洛倫茲力作用下，一個(gè)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的粒子，不論沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)還是沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，均具有下述特點(diǎn)：(1)軌道圓心(O)總是位于A、B兩點(diǎn)洛倫茲力(f)的交點(diǎn)上或AB弦的中垂線與任一個(gè)f的交點(diǎn)上。(2)粒子的速度偏向角等于回旋角，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角)的兩倍，即。磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向一般是任意的，但任何一個(gè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的速度()都可以在垂直于磁場(chǎng)方向和平行于磁場(chǎng)方向進(jìn)行分解，得vvvfBr圖3-4-3到和兩個(gè)分速度。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知，這樣的帶電粒子一方面以在磁場(chǎng)方向上作勻速運(yùn)動(dòng)，一方面又在垂直于磁場(chǎng)的方向上作速率為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上粒子作螺旋線運(yùn)動(dòng)(如圖3-4-3)，這種螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期和螺距大小讀者自己分析并不難解決。其螺旋運(yùn)動(dòng)的周期，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律：螺旋運(yùn)動(dòng)回旋半徑：螺旋運(yùn)動(dòng)螺距：343、霍爾效應(yīng)圖3-4-4將一載流導(dǎo)體放在磁場(chǎng)中，由于洛倫茲力的作用，會(huì)使帶電粒子(或別的載流子)發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)，在磁場(chǎng)和電流二者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電勢(shì)差，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。如圖3-4-4所示，電流I在導(dǎo)體中流動(dòng)，設(shè)導(dǎo)體橫截面高h(yuǎn)、寬為d勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直與導(dǎo)線前、后兩表面向外，磁感強(qiáng)度為B，導(dǎo)體內(nèi)自由電子密度為n，定向移動(dòng)速度由于洛倫茲力作用，自由電子向上表面聚集，下表面留下正離子，結(jié)果上下表面間形成電場(chǎng)，存在電勢(shì)差U，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)電子的作用力方向向下，大小為當(dāng)F與洛倫磁力f相平衡時(shí)，上、下表面電荷達(dá)到穩(wěn)定，則有圖3-4-5如果導(dǎo)電的載流子是正電荷，則上表面聚集正電荷，下表面為負(fù)電勢(shì)，電勢(shì)差正、負(fù)也正好相反。下面來(lái)分析霍爾電勢(shì)差，求出霍爾系數(shù)。在圖3-4-5中，設(shè)大塊導(dǎo)體的長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)和d，單位體積自由電荷密度為n，電荷定向移動(dòng)速率為，則電流。假定形成電流的電荷是正電荷，其定向移動(dòng)方向就是電流方向。根據(jù)左手定則，正電荷向上積聚，下表面附近缺少正電荷則呈現(xiàn)負(fù)電荷積聚，上正下負(fù)電壓為，正電荷受到跟磁場(chǎng)力反向的電場(chǎng)力的作用。電場(chǎng)對(duì)正電荷向上的偏移積聚起阻礙作用，當(dāng)最后達(dá)到平衡時(shí)，可得。可見(jiàn)，理論推導(dǎo)的結(jié)果跟實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致，系數(shù)。既然k跟n有關(guān)，n表征電荷濃度，那么通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定k值可以確定導(dǎo)體或半導(dǎo)體的電荷濃度n，半導(dǎo)體的n值比金屬導(dǎo)體小得多，所以k值也大得多。此外根據(jù)左手定則還可知，即使電流I就是圖3-4-6中的流向，如果參與流動(dòng)的是正電荷，那么電壓就是上正下負(fù)；如果參與定向移動(dòng)的是自由電子，那么電壓就是上負(fù)下正了?；魻栯妱?shì)的高低跟半導(dǎo)體是p型的還是n型的有如此的關(guān)系：上正下負(fù)的是p型半導(dǎo)體，定向載流子是帶正電的空穴：上負(fù)下正的是n型半導(dǎo)體，如果k值小得多就是金屬導(dǎo)體，定向載流子是自由電子。344、磁聚焦運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中的螺旋運(yùn)動(dòng)被應(yīng)用于“磁聚焦技術(shù)”。如圖3-4-7，電子束經(jīng)過(guò)a、b板上恒定電場(chǎng)加速后，進(jìn)入c、d極板之間電場(chǎng)，c、d板上加交變電壓，所以飛出c、d板后粒子速度方向不同，從A孔穿入螺線管磁場(chǎng)中，由于大小差不多，且與B夾角很小，則圖3-4-7由于速度分量不同，在磁場(chǎng)中它們將沿不同半徑的螺旋線運(yùn)動(dòng)。但由于它們速度分量近似相等，經(jīng)過(guò)后又相聚于點(diǎn)，這與光束經(jīng)透鏡后聚焦的現(xiàn)象有些類似，所以叫做磁聚焦現(xiàn)象。磁聚焦原理被廣泛地應(yīng)用于電真空器件如電子顯微鏡。345、復(fù)合場(chǎng)中離子的運(yùn)動(dòng)xyPQ圖3-4-81電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域獨(dú)立磁場(chǎng)與電場(chǎng)不同，磁場(chǎng)中，洛倫磁力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功，只改變帶電粒子速度方向，所以在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)主要表現(xiàn)為：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、螺旋運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)。而電場(chǎng)中，電荷受到電場(chǎng)力作用，電場(chǎng)力可能對(duì)電荷做功，因而改變速度大小和方向，但電場(chǎng)是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。處理獨(dú)立的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電荷問(wèn)題，是分開(kāi)獨(dú)立處理。例：如圖3-3-8所示，在平面內(nèi)，yO區(qū)域有勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿-y方向，大小為E，yO區(qū)域有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，大小為B，一帶電+q、質(zhì)量為m的粒子從y軸上一點(diǎn)P由靜止釋放，要求粒子能經(jīng)過(guò)x軸上Q點(diǎn)，Q坐標(biāo)為(L，O)，試求粒子最初釋放點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：解決上述問(wèn)題關(guān)鍵是明確帶電粒子的受力和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。從y軸上釋放后，只受電場(chǎng)力加速做直線運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，然后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半圈后可能恰好擊中Q點(diǎn)，也可能返回電場(chǎng)中，再減速、加速做直線運(yùn)動(dòng)，然后又返回磁場(chǎng)中，再經(jīng)半圓有可能擊中Q點(diǎn)，。那么擊中Q點(diǎn)應(yīng)滿足的條件。2空間區(qū)域同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)（1） 電場(chǎng)和磁場(chǎng)正交如圖3-4-9所示，空間存在著正交的電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)平行于紙面平面向下，大小為E，磁場(chǎng)垂直于紙面向內(nèi)，磁感強(qiáng)度為B，一帶電粒子以初速進(jìn)入磁場(chǎng)，圖3-4-9，設(shè)粒子電量+q，則受力：洛=方向向上，F(xiàn)電=qE方向向下。若滿足：=qE=E/B則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)速度選擇器模型。若粒子進(jìn)入正交電磁場(chǎng)速度，則可將分解為，粒子的運(yùn)動(dòng)可看成是與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，因而粒子受到的洛倫茲力可看成是與的合力，而與電場(chǎng)力qE平衡，粒子在電場(chǎng)中所受合力為，結(jié)果粒子的運(yùn)動(dòng)是以的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度所做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。例：如圖3-4-10正交電磁場(chǎng)中，質(zhì)量m、帶電量+q粒子由一點(diǎn)P靜止釋放，分析它的運(yùn)動(dòng)。分析：粒子初速為零釋放，它的運(yùn)動(dòng)軌跡是如圖3-4-10所示的周期性的曲線。初速為零，亦可看成是向右的與向左-兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，其中大小為：=E/B圖3-4-10所以+q粒子可看成是向右勻速直線運(yùn)動(dòng)和逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。電場(chǎng)方向上向下最大位移一個(gè)周期向右移動(dòng)距離L即PP之距為圖3-4-11代入，得： 最低點(diǎn)Q點(diǎn)速度 （2） 電場(chǎng)和磁場(chǎng)平行如圖3-4-11所示的空間區(qū)域有相互平行的電場(chǎng)和磁場(chǎng)E、B一帶電+q粒子以初速射入場(chǎng)區(qū)(或B)。則帶電粒子在磁場(chǎng)力作用下將做圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力作用下向上做加速運(yùn)動(dòng)，由于向上運(yùn)動(dòng)速度分量始終與B平行，故粒子受洛倫磁力大小恒為，結(jié)果粒子運(yùn)動(dòng)是垂直于E(或B)平面的半徑R=m/qB的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和沿E方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，即一個(gè)螺距逐漸增大的螺旋運(yùn)動(dòng)。（3） 電場(chǎng)力、洛倫磁力都與方向垂直，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。例如電子繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子質(zhì)量m，電量為e，現(xiàn)在垂直軌道平面方向加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小為B，而電子軌道半徑不變，已知電場(chǎng)力3倍與洛倫磁力，試確定電子的角速度。在這里電子繞核旋轉(zhuǎn)，電場(chǎng)力、洛倫磁力提供運(yùn)動(dòng)所需向心力，即電+洛=而f洛可能指向圓心，也可能沿半徑向外的，因而可能是或典型例題例1在如圖3-4-12所示的直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O固定電量為Q的正點(diǎn)電荷，另有指向y軸正方向(豎直向圖3-4-12上方向)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，因而另一個(gè)質(zhì)量為m、電量力為q的正點(diǎn)電荷微粒恰好能以y軸上的點(diǎn)為圓心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道平面(水平面)與平面平行，角速度為，試求圓心的坐標(biāo)值。分析：帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可以確定在只有洛倫磁力和庫(kù)侖力的情況下除非與O不重合，必須要考慮第三個(gè)力即重力。只有這樣，才能使三者的合力保證它繞在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。解：設(shè)帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R，圓心的縱坐標(biāo)為y，圓周上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線和y軸夾角為，那么有 帶電粒子受力如圖3-4-13所示，列出動(dòng)力學(xué)方程為mg=F電cos (1)圖3-4-13f洛-F電 (2)f洛= (3)將(2)式變換得f洛-F電 (4)將(3)代入(4)，且(1)(4)得消去R得 圖3-4-14例2如圖3-4-14所示，被1000V的電勢(shì)差加速的電子從電子槍發(fā)射出來(lái)，沿直線方向運(yùn)動(dòng)，要求電子擊中在方向、距離槍口5cm的靶M，對(duì)以下兩種情形求出所用的均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B（1）磁場(chǎng)垂直于由直線與點(diǎn)M所確定的平面。（2）磁場(chǎng)平行于TM。解： （1）從幾何考慮得出電子的圓軌道的半徑為(如圖3-4-15) 圖3-4-15按能量守恒定律，電荷Q通過(guò)電勢(shì)差U后的速度v為 即 作用在電荷Q上的洛倫磁力為 這個(gè)力等于向心力 故所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 用上面的半徑和速度值，得到 由于，所以 B=0.0037T（2）在磁場(chǎng)施加的力與速度垂直，所以均勻恒定磁場(chǎng)只改變電子速度的方向，不改變速度的大小。我們把電子槍發(fā)射的電子速度分解成兩個(gè)直線分量：沿磁場(chǎng)B方向的和垂直磁場(chǎng)的，因?yàn)樵诖艌?chǎng)的方向上，磁場(chǎng)對(duì)它沒(méi)有作用力(圖3-4-16)。圖3-4-16電子經(jīng)過(guò)d/時(shí)間后到達(dá)目標(biāo)M。由于磁場(chǎng)B和垂直的速度分量，電子在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，由得到圓半徑為電子在目標(biāo)M的方向上也具有速度，結(jié)果是電子繞B方向作螺旋線運(yùn)動(dòng)。電在在d/時(shí)間內(nèi)，在繞了k圈后擊中目標(biāo)。K是一個(gè)整數(shù)。圓的周長(zhǎng)為 由于繞圓周運(yùn)動(dòng)的速度是，故繞一周的時(shí)間是 這個(gè)值乘上整數(shù)k，應(yīng)等于 d/因此，所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 k=1時(shí)，電子轉(zhuǎn)一圈后擊中目標(biāo)：k=2時(shí)，電子轉(zhuǎn)兩圈后擊中目標(biāo)，等等。只要角度相同，磁場(chǎng)方向相反與否，無(wú)關(guān)緊要。用給出的數(shù)據(jù)代入，得 B=k0.0067T圖3-4-17例3一根邊長(zhǎng)為a、b、c(abc)的矩形截面長(zhǎng)棒，如圖3-4-17所示，由半導(dǎo)體銻化銦制成，棒中有平行于a邊的電流I通過(guò)，該棒放在垂直于c邊向外的磁場(chǎng)B中，電流I所產(chǎn)生的磁場(chǎng)忽略不計(jì)。該電流的載流子為電子，在只有電場(chǎng)存在時(shí)，電子在半導(dǎo)體中的平均速度，其中為遷移率。（1） 確定棒中所產(chǎn)生上述電流的總電場(chǎng)的大小和方向。（2） 計(jì)算夾c邊的兩表面上相對(duì)兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差。（3） 如果電流和磁場(chǎng)都是交變的，且分別為，)，求(2)中電勢(shì)差的直流分量的表達(dá)式。已知數(shù)據(jù)：電子遷移率，電子密度，I=1. 0A，B=0.1T，b=1.0cm，c=1.0mm，e=1.610-19C分析： 這是一個(gè)有關(guān)霍爾效應(yīng)的問(wèn)題，沿電流方向，導(dǎo)體內(nèi)存在電場(chǎng)，又因?yàn)榛魻栃?yīng)，使得電子偏轉(zhuǎn)，在垂直電流方向產(chǎn)生電場(chǎng)，兩側(cè)面間有電勢(shì)差的存在解： (1)因?yàn)?所以電場(chǎng)沿方向分量沿c方向的分量 總電場(chǎng)大小：電場(chǎng)方向與邊夾角，=(2) 上、下兩表面電勢(shì)差(3)加上交變電流和交變磁場(chǎng)后，有前面討論的上、下表面電勢(shì)差表達(dá)式，可得：=圖3-4-18因此的直流分量為 直=例4如圖3-4-18所示，空間有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，E沿+y方向，B沿+z方向，一個(gè)帶正電+q、質(zhì)量為m的粒子(設(shè)重力可以忽略)，從坐標(biāo)圓點(diǎn)O開(kāi)始無(wú)初速出發(fā)，求粒子坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，以及粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖3-4-19分析：正離子以O(shè)點(diǎn)起無(wú)初速出發(fā)，受恒定電場(chǎng)力作用沿+y方向運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗俣葀的大小、方向都改變，洛倫茲力僅在xOy平面上起作用，粒子軌跡一定不會(huì)離開(kāi)xOy平面且一定以O(shè)為起點(diǎn)。既然粒子僅受的兩個(gè)力中一個(gè)是恒力一個(gè)是變力，作為解題思路，利用獨(dú)立性與疊加原理，我們?cè)O(shè)想把洛倫茲力分解為兩個(gè)分力，使一個(gè)分力跟恒電場(chǎng)力抵消，就把這個(gè)實(shí)際受力簡(jiǎn)化為只受一個(gè)洛倫茲力分力的問(wèn)題。注意此處不是場(chǎng)的分解和抵消，而是通過(guò)先分解速度達(dá)到對(duì)力進(jìn)行分解和疊加。我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強(qiáng)復(fù)合電磁場(chǎng)能起速度選擇器作用。受其原理啟發(fā)，設(shè)想正離子從O點(diǎn)起(此處)就有一個(gè)沿x軸正方向、大小為的始終不變的速度，當(dāng)然在O點(diǎn)同時(shí)應(yīng)有一個(gè)沿-x方向的大小也是的速度，保證在O點(diǎn)，則，沿-y方向，qE沿+y方向，彼此抵消，可寫成。因任一時(shí)刻，所以，或改寫成：。始終的三個(gè)速度和都在xOy平面上，其物理意義是：正離子在復(fù)合場(chǎng)中受的兩個(gè)真實(shí)的力()和F(E)的矢量和，可以用一個(gè)洛倫磁力分力來(lái)代替，這樣做的一個(gè)先決條件是把正離子運(yùn)動(dòng)看成以下兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成：沿+x方向的=E/B的勻速直線運(yùn)動(dòng)；在xOy平面上的一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其理由是：是平面力，軌跡又是平面的不是三維空間的，所以必與垂直，在O點(diǎn)就是-，之后不對(duì)離子作功，大小不變，充當(dāng)向心力。這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)特征量是：，。解：t=0時(shí)刻，正離子位于O點(diǎn)，此時(shí)起離子具有兩個(gè)速度：一是速度方向始終不變、大小為=E/B的速度。由這個(gè)速度引起的洛倫磁