【高考輔導(dǎo)資料】2010高考數(shù)學(xué)萃取精華30套(2)

2010高考數(shù)學(xué)萃取精華30套（2）1杭州二模21 (本小題滿分14分)設(shè)雙曲線=1( a 0, b 0 )的右頂點(diǎn)為A，P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點(diǎn).(1) 證明：無論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有|2 = | ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))；(2) 若以O(shè)P為邊長的正方形面積等于雙曲線實(shí)、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；解：(1) 設(shè)OP：y = k x, 又條件可設(shè)AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 4分 設(shè) = ( m, n ) , 則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,點(diǎn)P在雙曲線上，b2 a2k2 0 . 無論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有|2 = | . 4分（2）由條件得：= 4ab, 2分即k2 = 0 , 4b a, 得e 2分22. (本小題滿分12分)已知常數(shù)a 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2) 對任意n a , 證明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0時(shí), fn ( x ) = xn ( x + a)n是關(guān)于x的減函數(shù), 當(dāng)n a時(shí), 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以p( x)不滿足題設(shè)條件.（2）分三種情況討論：10. 若u ,v 1，0，則|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，滿足題設(shè)條件；20. 若u ,v 0，1， 則|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，滿足題設(shè)條件；30. 若u1，0，v0，1，則： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，滿足題設(shè)條件;40 若u0，1，v1，0, 同理可證滿足題設(shè)條件.綜合上述得g(x)滿足條件.22. (本小題滿分14分)已知點(diǎn)P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x 1)的圖象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求證：| ac | 4;(2) 求證：在(1，+）上f ( x )單調(diào)遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.證：(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 ， c 0, c2a2 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 設(shè)1 x1 x2, 則f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1時(shí)，f ( x )單調(diào)遞增.（3）（僅理科做）f ( x )在x 1時(shí)單調(diào)遞增，| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.3南通二模19（本小題滿分15分）設(shè)定義在R上的函數(shù)（其中R，i=0,1,2,3,4），當(dāng)x= 1時(shí)，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y=f (x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱（1） 求f (x)的表達(dá)式；（2） 試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上；（3） 若，求證：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用導(dǎo)數(shù)求最值，可證得15分20（本小題滿分13分）設(shè)M是橢圓上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MNMQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)