【高考輔導(dǎo)資料】高中物理競(jìng)賽教程：1.3《光的折射》

1.3 光的折射1.3.1、多層介質(zhì)折射圖1-3-1如圖：多層介質(zhì)折射率分別為則由折射定律得： 1.3.2、平面折射的視深在水中深度為h處有一發(fā)光點(diǎn)Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射線的延長(zhǎng)線與OQ交點(diǎn)的深度與入射角i的關(guān)系。 設(shè)水相對(duì)于空氣的折射率為，由折射定律得 令OM=x，則于是 ddQQOxMi圖1-3-2上式表明，由Q發(fā)出的不同光線，折射后的延長(zhǎng)線不再交于同一點(diǎn)，但對(duì)于那些接近法線方向的光線，則，于是 這時(shí)與入射角i無(wú)關(guān)，即折射線的延長(zhǎng)線近似地交于同一點(diǎn)，其深度是原光點(diǎn)深度的。如圖1-3-3所示，MN反射率較低的一個(gè)表面，PQ是背面鍍層反射率很高的另一個(gè)表面，通常照鏡子靠S2 S3 S1 O2 O1 S S1Q NP M圖1-3-3鍍銀層反射成像，在一定條件下能夠看到四個(gè)反射像，其中一個(gè)亮度很底。若人離鏡距離，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求兩個(gè)像間的距離。圖中S為物點(diǎn)，是經(jīng)MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由視深公式得，故兩像間距離為。1.3.3、棱鏡的折射與色散ABCEFi1i2 i2 i1 D G 折射率圖1-3-4入射光線經(jīng)棱鏡折射后改變了方向，出射光線與入射光線之間的夾角稱為偏向角，由圖1-3-4的幾何關(guān)系知 其中 當(dāng)，很小時(shí)，即 hLSS圖1-3-5=（n-1）厚度不計(jì)頂角很小的三棱鏡稱之為光楔，對(duì)近軸光線而言，與入射角大小無(wú)關(guān)，各成像光線經(jīng)光楔后都偏折同樣的角度，所以作光楔折射成像光路圖時(shí)可畫(huà)成一使光線產(chǎn)生偏折角的薄平板，圖1-3-5。設(shè)物點(diǎn)S離光楔L則像點(diǎn)在S的正上方。h=l=（n-1）l。 當(dāng)棱鏡中折射光線相對(duì)于頂角對(duì)稱成等腰三角形時(shí)，。 陽(yáng)光紅紫圖1-3-6圖1-3-7紫紅陽(yáng)光或者 這為棱鏡的最小偏向角，此式可用來(lái)測(cè)棱鏡的折射率。由于同一種介質(zhì)對(duì)不同色光有不同的折射率，各種色光的偏折角不同，所以白光經(jīng)過(guò)棱鏡折射后產(chǎn)生色散現(xiàn)象。虹和霓是太陽(yáng)被大氣中的小水滴折射和反射形成的色散現(xiàn)象。陽(yáng)光在水滴上經(jīng)兩次折射和一次反射如圖1-3-6。形成內(nèi)紫外紅的虹；陽(yáng)光經(jīng)小滴兩次折射和兩次反射如圖1-3-7，形成內(nèi)紅外紫的霓。由于霓經(jīng)過(guò)一次反射，因此光線較弱，不容易看到。1.3.4、費(fèi)馬原理費(fèi)馬原理指出，光在指定的兩點(diǎn)之間傳播，實(shí)際的光程總是為最大或保持恒定，這里的光程是指光在某種均勻介質(zhì)中通過(guò)的路程和該種媒質(zhì)的折射率的乘積。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一個(gè)十分重要的基本原理，從費(fèi)馬原理可以推導(dǎo)出幾何光學(xué)中的很多重要規(guī)律。例如光的直線傳播、反射定律，折射定律，都可以從光程極小推出。如果反射面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面，而點(diǎn)光源置于其一個(gè)焦點(diǎn)上，所有反射光線都經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，所有反射光線都經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，便是光程恒定的一個(gè)例子。此外，透鏡對(duì)光線的折射作用，也是很典型的。一平凸透鏡的折射率為n，放置在空氣中，透鏡面孔的半徑為R。在透鏡外主光軸上取一點(diǎn)，（圖1-3-8）。當(dāng)平行光沿主光軸入射時(shí)，為使所有光線均會(huì)聚于點(diǎn)。試問(wèn)：（1）透鏡凸面應(yīng)取什么形狀？（2）透鏡頂點(diǎn)A與點(diǎn)O相距多少？（3）對(duì)透鏡的孔徑R有何限制？xyBAM（x，y）nRfF圖1-3-8解: 根據(jù)費(fèi)馬原理，以平行光入射并會(huì)聚于的所有光線應(yīng)有相等的光程，即最邊緣的光線與任一條光線的光程應(yīng)相等。由此可以確定凸面的方程。其余問(wèn)題亦可迎刃而解。（1）取坐標(biāo)系如圖，由光線和的等光程性，得整理后，得到任一點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)x，y應(yīng)滿足的方程為令，則上式成為 這是雙曲線的方程，由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，透鏡的凸面應(yīng)是旋轉(zhuǎn)雙曲面。（2）透鏡頂點(diǎn)A的位置 應(yīng)滿足 或者 可見(jiàn)，對(duì)于一定的n和，由R決定。（3）因點(diǎn)在透鏡外，即，這是對(duì)R的限制條件，有 即要求 討論 在極限情形，即 時(shí)，有如下結(jié)果：即點(diǎn)A與點(diǎn)重合。又因 xyRfAMNntF圖1-3-9 a=0故透鏡凸面的雙曲線方程變?yōu)榧?雙曲線退化成過(guò)點(diǎn)的兩條直線，即這時(shí)透鏡的凸面變成以為頂點(diǎn)的圓錐面，如圖1-3-9所示?？紤]任意一條入射光線MN，由折射定律有，由幾何關(guān)系故 ， 即所有入射的平行光線折射后均沿圓錐面到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)的角就是全反射的臨界角。圖1-3-10例1、半徑為R的半圓柱形玻璃磚，橫截面如圖1-3-10所示。O為圓心。已知玻璃的折射率為。當(dāng)光由玻璃射向空氣時(shí)，發(fā)生全反射的臨界角為45，一束與MN平面成450的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上，經(jīng)玻璃折射后，有部分光能從MN平面上射出。求能從MN平面射出的光束的寬度為多少？分析: 如圖1-3-11所示。進(jìn)入玻璃中的光線垂直半球面，沿半徑方向直達(dá)球心，且入射角等于臨界角，恰好在O點(diǎn)發(fā)生全反射，光線左側(cè)的光線經(jīng)球面折射后，射在MN上的入射角都大于臨界角，在MN上發(fā)生全反射，不能從MN射出，光線右側(cè)一直到與球面正好相切的光線范圍上的光線經(jīng)光球面折射后，在MN面上的入射角均小于臨界角，都能從MN面上射出，它們?cè)贛N上的出射寬度即是所要求的。圖1-3-11解: 圖1-3-11中，BO為沿半徑方向入射的光線，在O點(diǎn)正好發(fā)生全反射，入射光線在C點(diǎn)與球面相切，此時(shí)入射角，折射角為r，則有 即 圖1-3-12這表示在C點(diǎn)折射的光線將垂直MN射出，與MN相交于E點(diǎn)。MN面上OE即是出射光的寬度。討論 如果平行光束是以45角從空氣射到半圓柱的平面表面上，如圖1-3-12所示，此時(shí)從半圓柱面上出射的光束范圍是多大？參見(jiàn)圖1-3-13所示，由折身定律，得，即所有折射光線與垂直線的夾角均為30?？紤]在E點(diǎn)發(fā)生折射的折射光線EA，如果此光線剛好在A點(diǎn)發(fā)生全反射，則有，圖1-3-13而，即有，因EA與OB平行，所以，所以，即射向A點(diǎn)左邊MA區(qū)域的折射光（）因在半圓柱面上的入射角均大于45的臨界角而發(fā)生全反射不能從半圓柱面上射出，而A點(diǎn)右邊的光線（）則由小于臨界角而能射出，隨著角的增大，當(dāng)時(shí)，將在C點(diǎn)再一次達(dá)到臨界角而發(fā)生全反射，此時(shí) 故知能夠從半圓柱球面上出射的光束范圍限制在AC區(qū)域上，對(duì)應(yīng)的角度為。點(diǎn)評(píng) 正確作出光路圖并抓住對(duì)邊界光線的分析是解答問(wèn)題的兩個(gè)重要方向，要予以足夠重視。例2、給定一厚度為d的平行平板，其折射率按下式變化d圖1-3-14 一束光在O點(diǎn)由空氣垂直入射平板，并在A點(diǎn)以角出射（圖1-3-14）。求A點(diǎn)的折射率nA，并確定A點(diǎn)的位置及平板厚度。（設(shè)）。解: 首先考慮光的路線（圖1-3-15）。對(duì)于經(jīng)過(guò)一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以應(yīng)用斯涅耳定律 ， 更簡(jiǎn)單的形式是 這個(gè)公式對(duì)任意薄層都是成立的。在我們的情形里，折射率只沿x軸變化，即圖1-3-15圖1-3-16 在本題中，垂直光束從折射率為n0的點(diǎn)入射，即為常數(shù)，于是在平板內(nèi)任一點(diǎn)有 與x的關(guān)系已知，因此沿平板中的光束為 圖（1-3-16）表明光束的路徑是一個(gè)半徑為XC=r的圓，從而有 現(xiàn)在我們已知道光的路徑，就有可能找到問(wèn)題的解答。按折射定律，當(dāng)光在A點(diǎn)射出時(shí)，有 因?yàn)?，故有 于是 因此 在本題情形 根據(jù) 得出A點(diǎn)的x坐標(biāo)為x=1cm。光線的軌跡方程為 代入x=1cm，得到平板厚度為y=d=5cm圖1-3-17例3、圖1-3-17表示一個(gè)盛有折射率為n的液體的槽，槽的中部扣著一個(gè)對(duì)稱屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，頂角為2，罩內(nèi)為空氣，整個(gè)罩子浸沒(méi)在液體中，槽底AB的中點(diǎn)處有一個(gè)亮點(diǎn)C。請(qǐng)求出：位于液面上方圖標(biāo)平面內(nèi)的眼睛從側(cè)面觀察可看到亮點(diǎn)的條件。解: 本題可用圖示平面內(nèi)的光線進(jìn)行分析，并只討論從右側(cè)觀察的情形。如圖1-3-18所示，由亮點(diǎn)發(fā)出的任一光線CP將經(jīng)過(guò)兩次折射而從液面射出。由折射定律，按圖1-3-18圖上標(biāo)記的各相關(guān)角度有 （1） （2）其中 （3）如果液內(nèi)光線入射到液面上時(shí)發(fā)生全反射，就沒(méi)有從液面射出的折射光線。全反射臨界角。應(yīng)滿足條件 可見(jiàn)光線CP經(jīng)折射后能從液面射出從而可被觀察到的條件為 （4）或 （5）現(xiàn)在計(jì)算，利用（3）式可得 由（1）式可得 由此又由（1）式 （6）由圖及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，越大則越小。因此，如果與值最大的光線相應(yīng)的設(shè)為，則任何光線都不能射出液面。反之，只要，這部分光線就能射出液面，從液面上方可以觀察到亮點(diǎn)。由此極端情況即可求出本題要求的條件。自C點(diǎn)發(fā)出的值最大的光線是極靠近CD的光線，它被DB面折射后進(jìn)入液體，由（6）式可知與之相應(yīng)的； 能觀察到亮點(diǎn)的條件為 即 上式可寫(xiě)成 取平方 化簡(jiǎn)后得 故 平方并化簡(jiǎn)可得 這就是在液面上方從側(cè)面適當(dāng)?shù)姆较蚰芸吹搅咙c(diǎn)時(shí)n與之間應(yīng)滿足條件。例4、如圖1-3-19所示，兩個(gè)頂角分別為和的棱鏡膠合在圖1-3-19一起（）。折射率由下式給出： ；其中1、確定使得從任何方向入射的光線在經(jīng)過(guò)AC面時(shí)不發(fā)生折射的波長(zhǎng)。確定此情形的折射率和。2、畫(huà)出入射角相同的、波長(zhǎng)為、 和的三種不同光線的路徑。3、確定組合棱鏡的最小偏向角。4、計(jì)算平行于DC入射且在離開(kāi)組合棱鏡時(shí)仍平行于DC的光線的波長(zhǎng)。圖1-3-20解: 1、如果，則從不同方向到達(dá)AC面的波長(zhǎng)為的光線就不折射，即 因而 在此情形下 。2、對(duì)波長(zhǎng)比長(zhǎng)的紅光，和均小于1.5。反之，對(duì)波長(zhǎng)比短的藍(lán)光，兩個(gè)折射率均比1.5要大。現(xiàn)在研究折射率在AC面上如何變化。我們已知道，對(duì)波長(zhǎng)為的光，。如果考慮波長(zhǎng)為而不是的光，則由于，所以 。同理，對(duì)藍(lán)光有?，F(xiàn)在我們就能畫(huà)出光線穿過(guò)組合棱鏡的路徑了（圖1-3-20）。3、對(duì)波長(zhǎng)為的光，組合棱鏡可看作頂角為30、折射率為n=1.5的單一棱鏡。圖1-3-21我們知道，最小偏向在對(duì)稱折射時(shí)發(fā)生，即在圖1-3-21中的角相等時(shí)發(fā)生。根據(jù)折射定律， 因而 偏向角為 4、利用圖1-3-22中的數(shù)據(jù)，可以寫(xiě)出圖1-3-22 ；消去后得 經(jīng)變換后得這是的二次方程。求解得出 例5、玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會(huì)發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。已知玻璃對(duì)綠光的折射率為，液體對(duì)綠光的折射率為。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比r：R為多少時(shí)，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？圖1-3-23分析: 所謂“從容器側(cè)面能看到容器壁厚為零”，是指眼在容器截面位置看到綠光從C點(diǎn)處沿容器外壁的切線方向射出，即本題所描述為折射角為90的臨界折射。因?yàn)轭}中未給出、的大小關(guān)系，故需要分別討論。解: （1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭且髍：R的最小值，所以當(dāng)時(shí)，應(yīng)考慮的是圖1-3-23中ABCD這樣一種臨界情況，其中BC光線與容器內(nèi)壁相切，CD光線和容器外壁相切，即兩次都是臨界折射，此時(shí)應(yīng)該有 設(shè)此時(shí)容器內(nèi)壁半徑為，在直角三角形BCO中，。當(dāng)時(shí)，C處不可能發(fā)生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當(dāng)時(shí)，熒光液體中很多點(diǎn)發(fā)出的光都能在C處發(fā)生臨界折射，所以只要滿足 即可看到壁厚為零。圖1-3-24（2）當(dāng)時(shí)此時(shí)熒光液體發(fā)出的光線將直接穿過(guò)容器內(nèi)壁，只要在CD及其延長(zhǎng)線上有發(fā)光體，即可看到壁厚為零，因此此時(shí)應(yīng)滿足條件仍然是。（3）當(dāng)時(shí)因?yàn)?，所以熒光液體發(fā)出的光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為90的臨界折射，因此當(dāng)時(shí)，所看到的壁厚不可能為零了。當(dāng)時(shí)，應(yīng)考慮的是圖1-3-24中ABCD這樣一種臨界情況，其中AB光線的入射角為90，BC光線的折射角為，此時(shí)應(yīng)該有 在直角三角形OBE中有 因?yàn)閳D1-3-23和圖1-3-24中的角是相同的，所以 ，即 將代入，可得當(dāng) 時(shí)，可看到容器壁厚度為零。上面的討論，圖1-3-23和圖1-3-24中B點(diǎn)和C點(diǎn)的位置都是任意的，故所得條件對(duì)眼的所有位置均能成立（本段說(shuō)明不可少）。例6、有一放在空氣中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心軸線長(zhǎng)L=45cm，一端是半徑為=10cm的凸球面。（1）要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處物成像于主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？圖1-3-25F1（2）對(duì)于這個(gè)玻璃棒，由無(wú)限遠(yuǎn)物點(diǎn)射來(lái)的平行入射光束與玻璃棒的主光軸成小角度時(shí)，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望遠(yuǎn)系統(tǒng)的視角放大率）。分析: 首先我們知道對(duì)于一個(gè)望遠(yuǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，從主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處物點(diǎn)發(fā)出的入射光線為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)也在主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處，然后我們?cè)龠\(yùn)用正弦定理、折射定律及的小角度近似計(jì)算，即可得出最后結(jié)果。解: （1）對(duì)于一個(gè)望遠(yuǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，從主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處的物點(diǎn)發(fā)出的入射光為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)也在主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處，如圖1-3-25所示，圖中為左端球面的球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得 即 光線射至另一端面時(shí)，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該端面的球心一定在端面頂點(diǎn)B的左方，B等于球面的半徑，如圖1-3-25所示。仿照上面對(duì)左端球面上折射的關(guān)系可得 又有 由式并代入數(shù)值可得 即右端應(yīng)為半徑等于5cm的向外凸面球面。（2）設(shè)從無(wú)限遠(yuǎn)處物點(diǎn)射入的平行光線用a、b表示，令a過(guò)，b過(guò)A，如圖1-3-26所示，則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點(diǎn)M，即為左端球面對(duì)此無(wú)限遠(yuǎn)物點(diǎn)成的像點(diǎn)?，F(xiàn)在求M點(diǎn)的位置。在中 又 圖1-3-26F1M已知、均為小角度，則有 與式比較可知，即M位于過(guò) 垂直于主光軸的平面上。上面已知，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，則凡是過(guò)M點(diǎn)的傍軸光線從棒的右端面射出時(shí)都將是相互平行的光線。容易看出，從M射向的光線將沿原方向射出，這也就是過(guò)M點(diǎn)的任意光線（包括光些a、b）從玻璃棒射出的平行光線的方向。此方向與主光軸的夾角即為。 由式可得 則 例7、在直立的平面鏡前放置一個(gè)半徑為R的球形玻璃魚(yú)缸，缸壁很薄，其中心離鏡面為3R，缸中充滿水。遠(yuǎn)處一觀察者通過(guò)球心與鏡面垂直的方向注視魚(yú)缸，一條小魚(yú)在離鏡面最近處以速度v沿缸壁游動(dòng)。求觀察者看到魚(yú)的兩個(gè)像的相對(duì)速度。水的折射率n=4/3。見(jiàn)圖1-3-27和圖1-3-28。圖1-3-27解: 魚(yú)在1秒鐘內(nèi)游過(guò)的距離為v。我們把這個(gè)距離當(dāng)作物，而必須求出兩個(gè)不同的像。在計(jì)算中，我們只考慮近軸光線和小角度，并將角度的正弦角度本身去近似。在點(diǎn)游動(dòng)的魚(yú)只經(jīng)過(guò)一個(gè)折射面就形成一個(gè)像（圖1-3-27）。從點(diǎn)以角度發(fā)出的光線，在A點(diǎn)的水中入射角為v，在空氣中的折射角為，把出射光線向相反方向延長(zhǎng)給出虛像位置。顯然 圖1-3-28從三角形，有 利用通常的近似 ，于是 所以這個(gè)虛像與球心的距離為水的折射率n=4/3，從而。若折射率大于2，則像是實(shí)像。由像距與物距之商得到放大率為 對(duì)水來(lái)說(shuō)，放大率為2。以與速度v相應(yīng)的線段為物，它位于在E處平面鏡前距離為2R處，它在鏡后2R遠(yuǎn)的處形成一個(gè)與物同樣大小的虛像離球