【高考輔導資料】物理奧賽輔導：第15講_熱學基礎

第15講熱學基礎一 分子動理論：分子動理論 的基本的觀點；理想氣體的壓強與溫度無論是振動還是遷移，都具備兩個特點：a、偶然無序（雜亂無章）和統(tǒng)計有序（分子數(shù)比率和速率對應一定的規(guī)律如麥克斯韋速率分布函數(shù)，如圖6-2所示）；b、劇烈程度和溫度相關。氣體分子的三種速率。最可幾速率vP ：f(v) = （其中N表示v到v +v內分子數(shù)，N表示分子總數(shù)）極大時的速率，vP = ；平均速率：所有分子速率的算術平均值， =；方均根速率：與分子平均動能密切相關的一個速率，=其中R為普適氣體恒量，R = 8.31J/(mol.K)。k為玻耳茲曼常量，k = = 1.381023J/K 壓強的微觀意義：溫度的微觀意義：上式表明，宏觀量的溫度只與氣體分子的平均平動動能有關，它與熱力學溫度成正比，所以溫度成為表征物質分子熱運動劇烈程度的物理量。對所有物質均適用。對單個分子談溫度毫無意義。某些雙原子分子中原子、之間的相互作用力（徑向力），與原子中心間距r的關系為：，其中為正時代表斥力，為負時代表引力，a、b均為正量。設的質量遠大于的質量m，在不受其它外力作用的條件下，在某慣性體系中可近似認為靜止不動。試求在力平衡位置附近做微小振動的周期。證明理想氣體的壓強P = n，其中n為分子數(shù)密度，為氣體分子平均動能。二氣體狀態(tài)方程的應用：克拉珀龍方程：氣體密度：在不發(fā)生化學變化和物態(tài)變化的情況下，氣體混合前后分子數(shù)不變，摩爾數(shù)不變，故有：道爾頓分壓定律：各種不同化學成分的理想氣體組成的混合氣體，當其中各組分之間無化學反應，又無其它相互作用，混合理想氣體的總壓強等于各種氣體組成部分的分壓強之和。即狀態(tài)圖線：圖，圖，圖。一個點表示一個狀態(tài)，一段曲線表示一個過程氣體實驗三定律在壓強不太大，溫度不太低的條件下，氣體的狀態(tài)變化遵從以下三個實驗定律a、玻意耳-馬略特定律：一定質量氣體溫度不變時，P1V1 = P2V2或PV = 恒量b、查理定律：一定質量氣體體積不變時， = 或 = 恒量c、蓋呂薩克定律：一定質量氣體壓強不變時， = 或 = 恒量理想氣體狀態(tài)方程：一定質量的理想氣體， = 或 = 恒量【例題5】如圖6-7所示，在標準大氣壓下，一端封閉的玻璃管長96cm ，內有一段長20cm的水銀柱，當溫度為27且管口向上豎直放置時，被封閉的氣柱長為60cm。試問：當溫度至少升高到多少度，水銀柱才會從玻璃管中全部溢出？【解說】首先應該明確的是，這是一個只有唯一解的問題還是一個存在范圍討論的問題。如果是前一種可能，似乎應該這樣解： = ，即 = ，得：T2 = 380K但是，仔細研究一下升溫氣體膨脹的全過程，就會發(fā)現(xiàn)，在某些區(qū)域，準靜態(tài)過程是不可能達成的，因此狀態(tài)方程的應用失去意義。為了研究準靜態(tài)過程是否可能達成，我們可以假定水銀柱是受到某種制約而準靜態(tài)膨脹的，這樣，氣柱的壓強只受玻馬定律制約（而與外界大氣壓、水銀柱長沒有關系），設為P 。而對于一般的末狀態(tài)，水銀柱在管中剩下的長度設為x 。從初態(tài)到這個一般的末態(tài) = ，即 = ，得 P = 隔離水銀柱下面的液面分析，可知 P 76 + x時準靜態(tài)過程能夠達成（P可以隨升溫而增大，直至不等式取等號），而P 76 + x時準靜態(tài)過程無法達成（T升高時，P增大而x減小），水銀自動溢出。所以，自動溢出的條件是：T （x2 + 20x + 7296）考查函數(shù) y = （x2 + 20x + 7296）發(fā)現(xiàn)，當x = 10cm時，ymax = 385.2K而前面求出的x = 0時，T只有380K，說明后階段無須升溫，即是自動溢出過程（參照圖6-8理解）。而T ymax即是題意所求?！敬鸢浮?85.2K ?！纠}6】圖6-9是一種測量低溫用的氣體溫度計，它的下端是測溫泡A ，上端是壓力計B ，兩者通過絕熱毛細管相連，毛細管容積不計。操作時先把測溫計在室溫T0下充氣至大氣壓P0 ，然后加以密封，再將A浸入待測液體中，當A和待測液體達到熱平衡后，B的讀數(shù)為P ，已知A和B的容積分別為VA和VB ，試求待測液體的溫度?！窘庹f】本題是“推論2”的直接應用 = + 【答案】TA = 【例題7】圖6-10所示是一定質量理想氣體狀態(tài)變化所經(jīng)歷的P-T圖線，該圖線是以C點為圓心的圓。P軸則C點的縱坐標PC為單位（T軸以TC為單位）。若已知在此過程中氣體所經(jīng)歷的最低溫度為T0 ，則在此過程中，氣體密度的最大值1和最小值2之比1/2應等于多少？【解說】本題物理知識甚簡，應用“推論1”即可。 = = = 此式表明，越大時，就越大。故本題歸結為求的極大值和極小值。方法一：P與T的關系服從圓的方程（參數(shù)方程為佳）T = Tc + rcosP = PC + rsin引入 y = = ，然后求這個函數(shù)的極值方法二：見圖6-11，從的幾何意義可知，等于狀態(tài)點到原點的連線與T軸夾角的正切值，求的極大和極小歸結為求這個正切值的極大和極小很顯然，當直線與圓周的兩處相切時，出現(xiàn)了這樣的極大和極小值。max = + ，min = 而 tg= sin= tg= （注意：依題意，r = TC T0 ）所以 tgmax = = tgmin = = 【答案】/。三熱力學定律的應用：理想氣體的內能：，式中為分子總數(shù)，為摩爾數(shù)，k為玻爾茲曼常數(shù)，為普適氣體恒量。i為分子的自由度。對于單原子分子氣體（如He,Ne,Ar）,i=3,對于雙原子分子（如O2,H2,CO），i=5,對于多原子分子氣體i=6理想氣體內能的變化：吸放熱的計算初中所學的通式Q = cmT仍適用，但值得注意的是，對固體和液體而言，比熱容c基本恒定（和材料相關），但對氣體而言，c會隨著過程的不同而不同。對理想氣體，我們一般引進“摩爾熱容”C（從克拉珀龍方程知，我們關心氣體的摩爾數(shù)更甚于關心氣體的質量），物理意義：1摩爾物質溫度每升高1K所吸收的熱量。摩爾熱容和比熱容的關系C = 。摩爾熱容：物質每升高所吸收的熱量。對氣體而言，可分為定容摩爾熱容和定壓摩爾熱容。等容過程的吸熱：Q = CVT等壓過程的的吸熱： Q = CPT對于其它的復雜過程而言，摩爾熱容的表達比較困難，因此，用直接的途徑求熱量不可取，這時，我們改用間接途徑：即求得E和W后，再用熱力學第一定律求Q 。氣體做功的計算：氣體在狀態(tài)變化時，其壓強完全可以是變化的，所以氣體壓力的功從定義角度尋求比較困難。但我們可以從等壓過程的功外推到變壓過程的功（無限分割代數(shù)累計），并最終得出這樣一個非常實用的結論：準靜態(tài)過程理想氣體的功W總是對應P-V圖象中的“面積”。這個面積的理解分三層意思如果體積是縮小的，外界對氣體做功，面積計為正；如果體積是增大的，氣體對外界做功，面積計為負；如果體積參量變化不是單調的（例如循環(huán)過程），則面積應計相應的差值。如圖6-3所示。熱力學第一定律：E=W+Q,注意各量的正負號的規(guī)定。1.熱力學第一定律對于理想氣體等值過程的應用等容過程 等容過程的特征是氣體體積保持不變，故，由熱力學第一定律可知，在等容過程中，氣體與外界交換的熱量等于氣體內能的增量：.稱做定容摩爾比熱容，為分子的自由度，對于單原子分子氣體，；對于雙原子分子氣體，；而對于多原子分子氣體.為摩爾氣體常數(shù)， 等壓過程 等壓過程的特征是氣體壓強保持不變，,由熱力學第一定律可得，在等壓變化過程中氣體與外界交換的熱量為.稱做定壓摩爾比熱容，而稱為比熱容比對于單原子分子氣體，；而雙原子分子氣體，；多原子分子氣體則有.、及均只與氣體分子的自由度有關而與氣體溫度無關. 等溫過程 等溫過程的特征是氣體溫度保持不變，由于理想氣體的內能取決于溫度，故，由熱力學第一定律可知在等溫變化過程中氣體與外界交換的熱量為.理想氣體在等溫變化中，,設氣體體積從膨脹到，壓強從減小到，所做的功為，將這個功等分，每份元功，即，兩邊取次方得，當時，則. 絕熱過程 氣體在不與外界發(fā)生熱交換的條件下所發(fā)生的狀態(tài)變化稱做絕熱過程，其特點是，由熱力學第一定律可得.絕熱過程中氣體方程為，則對某一元過程有；而此元過程氣體做元功為 ，則有，即有 .若令(，為一定值)則有，同理可得，可知在絕熱過程中氣體的壓強與體積有關系，此稱泊松方程.通過消去泊松方程中的或，可得.絕熱過程的這三個方程中，常量各不相同，大小與氣體的質量及初始狀態(tài)相關，絕熱過程中、均改變，我們可按照問題的性質，適當?shù)剡x取較方便的來應用 多方過程 我們可用(為一常量，稱多方指數(shù))來表示氣體發(fā)生狀態(tài)變化的實際過程，時為等溫過程；時為絕熱過程；時為等壓過程；當時為等容過程凡可滿足關系的過程均稱為多方過程通常的氣體變化過程均為多方過程，而等值過程只是多方過程的特例在多方過程中氣體從狀態(tài)、進入狀態(tài)、，所做的功為.氣體內能的增量為，由熱力學第一定律知；若以表示多方過程的摩爾比熱容，則有，由上兩式并注意到，可得 . 理想氣體各等值過程和多方過程有關規(guī)律一覽 2.熱力學第二定律 循環(huán)過程 若一系統(tǒng)由某一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過任意的一系列的過程，最后又回到原來的狀態(tài)，這樣的過程稱為循環(huán)過程.循環(huán)過程中系統(tǒng)對外所做的功 如圖161所示為某一系統(tǒng)的準靜態(tài)循環(huán)過程在膨脹過程段，系統(tǒng)對外所做的功()是正的，其數(shù)值與面積相等；在壓縮過程段，系統(tǒng)對外做功()為負，其數(shù)值與面積相等在一循環(huán)中系統(tǒng)對外所做的功就是這兩段功的代數(shù)和(上述兩個“面積”的差)，即面積-面積=面積.可見，在一循環(huán)中系統(tǒng)對外所做的功，數(shù)值上等于圖161所示圖中閉合曲線的“面積”.若循環(huán)沿順時針方向進行。這個功是正的，相應的循環(huán)稱為正循環(huán)；若循環(huán)沿逆時針方向進行，一個循環(huán)中系統(tǒng)對外所做的功為負，數(shù)值仍等于閉合曲線所包圍的面積，相應的循環(huán)稱為負循環(huán)設表示在狀態(tài)時系統(tǒng)的內能，表示在狀態(tài)時系統(tǒng)的內能，并設在膨脹過程中吸收了熱量，由熱力學第一定律可知；同理，設在段壓縮過程，系統(tǒng)放出了熱量，由熱力學第一定律可知：，可知，此式表示，一循環(huán)中系統(tǒng)對外所做的功，等于一循環(huán)中系統(tǒng)吸收的凈熱量即吸收熱量與放出熱量的差. 熱機及其效率 設一系統(tǒng)做正循環(huán)，那么，系統(tǒng)在膨脹階段所吸收的熱量大于在壓縮階段放出熱量，其差值轉變?yōu)橐谎h(huán)中系統(tǒng)對外所做的功，能完成這種轉變的機械稱為熱機，熱機的物理本質就是系統(tǒng)做正循環(huán)熱機的主要部分是：一個高溫熱源(發(fā)熱器)，用來供給的熱量；一個低溫熱源(冷卻器)，用來吸取的熱量；一種工作物質(如水、空氣或水蒸氣等)，以及盛工作物質的氣缸、活塞等 對于熱機，最重要的問題在于由高溫熱源吸取的熱量中，究竟有多少可以轉變?yōu)楣?，至于低溫熱源所吸收的熱量的多少，并不重要因此定義了熱機的效率為：一循環(huán)中系統(tǒng)對外所做的功與由高溫熱源吸取的熱量的比值，即.熱機效率的大小，由循環(huán)的具體結構、性質而定. 制冷機及其效率 設一系統(tǒng)做負循環(huán)，則為負，為正，且，為負，即一循環(huán)中系統(tǒng)對外做了的負功；又系統(tǒng)從低溫熱源吸收了較少的熱量，而在高溫熱源放出了較多的熱量，因而一循環(huán)中放出的凈熱量為.所以系統(tǒng)在一負循環(huán)中，外界對系統(tǒng)做了功的結果為：系統(tǒng)在低溫熱源吸人熱量連同轉變而成的熱量，一并成為的熱量放入高溫熱源，結果將熱量由低溫熱源輸送到高溫熱源，這就是制冷機(也叫熱泵)的原理對制冷機，要關心的問題是：一循環(huán)中系統(tǒng)做了功后，有多少熱量由低溫熱源輸送到高溫熱源去了，因此把定義為制冷機的制冷系數(shù)有時也把叫做制冷機的效率，可以看出，制冷機的效率越高，制冷系數(shù)越小，經(jīng)濟效能越低 在技術上使用熱機的種類很多，有蒸汽機、內燃機和制冷機等，圖162分別表示蒸汽機和制冷機的工作過程框圖 卡諾循環(huán) 為方便研究熱機效率問題，19世紀20年代，法國工程師卡諾設計了一個理想循環(huán)，即只在兩個有恒定溫度的高、低溫熱源吸、放熱，此即卡諾循環(huán)，按此種方式工作的熱機稱為卡諾機 圖163給出了卡諾機模型卡諾機中的工作物質是理想氣體，被一個絕熱活塞封閉在氣缸中，缸的四壁是完全絕熱和光滑的，缸底則是理想導熱的；絕熱臺；一個溫度為的高溫熱源；一個溫度為的低溫熱源，兩個熱源的熱容量極大，溫度幾乎不變卡諾循環(huán)的過程可用圖164狀態(tài)圖線表示，氣體從初始狀態(tài)開始，沿箭頭方向經(jīng)歷下列過程；：將氣缸移到高溫熱源上，讓它緩慢地做等溫膨脹，體積由膨脹到，在等溫過程中，溫度恒為，共吸收熱量，過程沿等溫線進行；：將氣缸移到絕熱臺上，讓它做絕熱膨脹，氣體溫度逐漸下降，到達狀態(tài)時，溫度已降為，體積膨脹到，過程沿絕熱線進行； ：將氣缸移到低溫熱源上，將氣體壓縮，溫度保持在，壓縮中不斷放出熱量，一直壓縮到狀態(tài)，共放出熱量，狀態(tài)的體積為，它是過點的等溫線和過點的絕熱線的交點，過程沿等溫線進行； ：將氣缸移到絕熱臺，經(jīng)過絕熱壓縮，氣體溫度逐漸升高，直到返回原來狀態(tài)，過程沿絕熱線進行 這樣完成了一個卡諾循環(huán)過程，它是由兩個等溫過程、和兩個絕熱過程、組成.卡諾循環(huán)中的能量轉化過程可用圖165表示 卡諾循環(huán)的效率 為使對卡諾循環(huán)的討論具有確切的意義，上面四個過程都必須是準靜態(tài)過程，一卡諾循環(huán)的結果是：工作物質恢復到原來狀態(tài)，高溫熱源失去了的熱量，表示等溫膨脹過程中系統(tǒng)對外所做的功；低溫熱源獲得了的熱量，是等溫壓縮過程中系統(tǒng)對外所做的功，一循環(huán)中系統(tǒng)對外所做的總功為：，其數(shù)值等于閉合曲線所包圍的面積，是正值根據(jù)熱機效率的定義，卡諾循環(huán)的效率為，在過程中吸收的熱量，在過程中放出的熱量.又、為絕熱過程，即，.有，所以，.因此卡諾循環(huán)的效率為 同時也可推導出，即 .從結果可看出，卡諾循環(huán)的效宰只由兩個熱源的溫度而定，越高，越低，效率越高熱力學第二定律 熱力學第二定律的克勞修斯表述：在低溫熱源吸取熱量，把它全部放入高溫熱源而不引起其他變化是不可能的這是從熱傳導的方向性來表述的，也就是說，熱傳導只能是從高溫熱源向低溫熱源方向進行的 熱力學第二定律的開爾文表述：從單一熱源吸取熱量，把它完全轉變?yōu)楣Χ灰鹌渌兓遣豢赡艿倪@是從機械能與內能轉化過程的方向來表述的，也就是說，當將內能轉變?yōu)闄C械能時，若不輔以其他手段是不可能的 上述兩種表述是完全等效的，若承認其中一種表述，可以推出另一種表述熱力學第二定律也使人們認識到，自然界中進行的涉及熱現(xiàn)象的宏觀過程都具有方向 熱力學第二定律與熱力學第一定律相比，后者表明能量在轉換中所遵從的數(shù)量守恒關系，指出第一類永動機是不可能造成的：而前者則指明了能量轉換過程進行的方向，指出了第二類永動機是不能制成的。二者是不抵觸的，也不互相包容，是兩條獨立的定律 熱力學第二定律的適用對象是與周圍環(huán)境沒有任何相互作用的、大量粒子組成的孤立系統(tǒng)，研究孤立系統(tǒng)中大量微觀粒子運動過程中總體所反映出來的物理性質及各種宏觀物理過程。 3. 可逆過程與不可逆過程 可逆過程與不可逆過程如圖166所示，若一系統(tǒng)的狀態(tài)由起，經(jīng)、等到達狀態(tài)，就說系統(tǒng)經(jīng)歷了過程.若系統(tǒng)能沿相反方向、經(jīng)相反次序，由起，經(jīng)、而返回狀態(tài)，且返回后，四周物質并無任何變化(如做多少功，吸放多少熱等)就說過程(或)是一個可逆過程凡不滿足上述要求的過程，稱為不可逆過程. 如設圖163的氣缸中有一定量的理想氣體，把它放在溫度為的熱源上。設活塞是光滑的，在它的上面放有很多個質量極小的砝碼，由于它們的重力，使氣體受到一定的壓力若將這些小砝碼一個一個地依次橫移到一系列與砝碼等高的平臺上，則氣體將逐漸膨脹，一點一點地從熱源吸收熱量，轉變?yōu)榈挚鬼来a重力所做的功，這些功又轉變?yōu)楦黜来a的重力勢能這個過程一直進行到活塞達到一定的位置，這就是一個等溫膨脹過程。然后將平臺上的砝碼一個一個橫移回到活塞上，氣體將逐漸地壓縮，砝碼的重力勢能減少，轉變?yōu)閴嚎s氣體所做的功，這些功又轉變?yōu)闊崃?，一點一點地傳回到熱源中去，砝碼全部放回，活塞回到了原位，這樣就說明了無摩擦的等溫膨脹過程是一個可逆過程可以說，無摩擦的準靜態(tài)過程都是可逆的，嚴格地說，只有可逆過程才能畫在圖上 如膨脹過程是迅速的，氣缸中的氣體上疏下密，但反向進行，即迅速壓縮時上密下疏，過程就不能沿相同狀態(tài)依相反次序進行，所以是不可逆的，這種過程由非平衡態(tài)組成，是不平衡地進行的?？梢哉f，一切不平衡地進行的過程都是不可逆的 一切實際過程都是不可逆的，可逆過程只是為了簡化問題設想的理想情況 對于循環(huán)過程，如果循環(huán)過程中的每一步都是可逆的，則循環(huán)過程稱為可逆循環(huán)如果循環(huán)過程中有一步是不可逆的，便是不可逆循環(huán) 從可逆與不可逆過程的角度來說，熱力學第二定律的開爾文表述說明功變熱是一個不可逆的過程；克勞修斯表述說明熱傳導也是一個不可逆過程 熱力學第二定律的統(tǒng)計意義 對大數(shù)事件，如在次實驗中，某一事件出現(xiàn)的次數(shù)設為，則該事件的幾率可定義為幾率只能近似地預言實驗結果，不能十分精確地和實驗結果一致為了更好地理解熱力學現(xiàn)象中的幾率問題，下面以氣體在真空中的膨脹來說明 如圖167所示，設一隔板將容器分成體積相等的、兩部分，最初部分中有4個分子，設為；部分真空，抽去隔板后，有的分子就可能進入中，從宏觀角度說，就是氣體膨脹進入真空由于分子運動的雜亂性，某一時刻可能A、中各有2個分子；也有可能中有3個，月中有1個；也可能中1個，中有3個分子，也有可能四個分子同時回到了中，如果這時把隔板加上，系統(tǒng)就回到了原來的狀態(tài)了，此時外界也沒有發(fā)生什么變化，所以對4個分子來說，氣體在真空中的膨脹現(xiàn)象是可逆的那么這4個分子同時回到部分的幾率是多大呢?即這種可逆過程的存在幾率有多大呢?不難理解應為那么當中氣體的分子個數(shù)很多時(事實也往往如此)，設為個，那么如上所述的幾率應為若以1023個計的話，可見其幾率是非常小的，小到了已沒有實際意義即事實上，這種可逆過程的存在的幾率是極小的，所以該過程實為一不可逆過程 又如摩擦生熱現(xiàn)象，根據(jù)熱力學第二定律，也是不可逆的，從統(tǒng)計的角度來看，就是要將摩擦所產生的熱全部自動收集起來，全部轉化為機械功，這種自發(fā)現(xiàn)象的存在幾率也是極小的，因此是一不可逆過程 二、熱力學典型問題例析 例題8】0.1mol的單原子分子理想氣體，經(jīng)歷如圖6-13所示的ABCA循環(huán)，已知的狀態(tài)途中已經(jīng)標示。試問：（1）此循環(huán)過程中，氣體所能達到的最高溫度狀態(tài)在何處，最高溫度是多少？（2）CA過程中，氣體的內能增量、做功情況、吸放熱情況怎樣？【解說】（1）介紹玻馬定律的P-V圖象，定性預計Tmax的大概位置（直線BC上的某一點）。定量計算PV的極大值步驟如下BC的直線方程為 P = V + 2y = PV = V2 + 2V顯然，當V = 2時，y極大，此時，P = 1 代入克拉珀龍方程：11052103 = 0.18.31Tmax ，解得 Tmax = 240.7K（2）由克拉珀龍方程可以求得 TC = 180.5K = TB ，TA = 60.2KE = RT = 0.18.31(60.2180.5) = 150.0J根據(jù)“面積”定式，W = 0.5105210-3 = 100J計算Q有兩種選擇：a、Q = CPT = 0.18.31（60.2180.5) = 250.0J b、Q = E W = 250.0J【答案】（1）V = 2103時，Tmax為240.7K；（2）內能減少150.0J，外界對氣體做功100J，氣體向外界放熱250J 。思考一BC過程氣體吸放熱的情況又怎樣？解由于BC過程一直是氣體對外界做功，但內能卻是先增后減，所以過程的吸放熱情況會復雜一些。由E = Q + W不難看出，TB到Tmax階段肯定是吸熱，但在Tmax到TC階段則無法定性判斷。所以這里啟用定量方法在Tmax到TC階段取一個極短過程V （V +V），在此過程中E = RT = （PV） （PV + VP）由于 P = V + 2 ，有P = V故E = （2V）V又 W = V（P +PP）= PV +PV PV =（V2）V （“過程極短”的緣故）所以 Q = EW =（52V）VQ 0時，氣體開始放熱，即 V 2.5時開始吸熱（轉變體積V= 2.510-3m3 ，對應轉變壓強P= 0.75105Pa ，轉變溫度T= 225.6K）。a、吸熱階段：E = 0.18.31（225.6180.5）= 56.2J W = （1.5 + 0.75）105（2.51）10-3 = 168.8J Q = EW = 225.0Jb、放熱階段：E = 0.18.31（180.5225.6）= 56.2J W = （0.5 + 0.75）105（32.5）10-3 = 31.3J Q = EW = 24.9J（說明：如果針對BC全程計算，不難得出Q = 200.0J 。那么，分出吸熱、放熱的細節(jié)是不是沒有必要呢？不能這樣認為。因為熱傳遞的過程具有不可逆性，所以這里的熱量“總帳”對氣體可能是與“細帳”沒有區(qū)別，但對外界而言，吸熱必然是來自高溫熱源，而放熱卻是針對低溫熱源，它們就象同一個公司的兩個不同貿易伙伴，算清具體往來顯然是必要的。）答從高溫熱源吸收225.0J的熱量，向低溫熱源放出24.9J的熱量。思考二BC過程吸熱過程和放熱過程的摩爾熱容分別是多少？解答解略。吸熱過程C1 = 49.9J/(molK)，放熱過程C2 = 5.54 J/(molK)。思考三整個循環(huán)的效率是多少？解答AB過程吸熱 Q = CVT = 0.18.31(180.560.2)= 150.0J ，BC過程吸熱225J ，CA過程只放熱，所以全過程（從高溫熱源）的吸熱總量為375J。整個循環(huán)對外做的功就是ABC的面積，絕對值為1.01052103 = 100J所以，效率 = = = 26.7% 。（從這個計算我們可以進一步領會區(qū)分吸熱和放熱的重要性。）例l 定容摩爾熱容量為常量的某理想氣體，經(jīng)歷如圖168所示的平面上的兩個循環(huán)過程和，相應的效率分別為和，試比較和的大小 分析與解 循環(huán)過程的效率為，其中是氣體經(jīng)循環(huán)過程對外所做的功，為氣體從外界吸收的熱量本題與兩個循環(huán)過程的功，可從圖168中的直角三角形面積所得在循環(huán)過程中，階段氣體對外做功，內能增大，吸收熱量；為等容降壓過程，溫度降低，放出的熱量為(為氣體的摩爾數(shù))；為等壓過程，溫度降低，放出的熱量為因此循環(huán)過程中的吸熱量就是過程的吸熱量。循環(huán)過程的情形也類似 先計算循環(huán)過程效率，設氣體的摩爾數(shù)為循環(huán)過程對外所做的功即為圖中三角形的面積，為.式中和如分別是理想氣體在狀態(tài)和時的壓強 又過程是通過原點的直線，過程的方程可寫為因此,代入表達式，得又直線過程是多方過程，指數(shù)為，過程方程式為，此多方過程的摩爾熱容量為，式中是氣體的絕熱指數(shù) 設和狀態(tài)的溫度分別為和，則有；，相減得，所以循環(huán)過程中所吸收的熱量為可知循環(huán)過程的效率為；同理，循環(huán)過程的效率為 . 以上兩式表明，兩循環(huán)過程的效率與直線或的斜率大小無關，而只與及、有關，其中也與直線的斜率無關，因此只要相應的和相同，效率就相同，所以，兩循環(huán)過程的效率相同，即. 例2 在兩端開口的豎直U形管中注入水銀，水銀柱的全長為將一邊管中的水銀下壓，靜止后撤去所加壓力，水銀便會振蕩起來，其振動周期為；若把管的右端封閉，被封閉的空氣柱長，然后使水銀柱做微小的振蕩，設空氣為理想氣體，且認為水銀振蕩時右管內封閉氣體經(jīng)歷的是準靜態(tài)絕熱過程，大氣壓強相當水銀柱產生的壓強空氣的絕熱指數(shù)為(1)試求水銀振動的周期；(2)求出與、的關系式. 分析與解 右端封閉后，隨著水銀柱的振蕩，被封閉的空氣經(jīng)歷絕熱膨脹或絕熱壓縮過程；封閉端的空氣與外界空氣對水銀柱壓力差提供水銀柱做微小振動的回復力，本題關注回復力的構成及所循規(guī)律 (1)如圖169所示，、分別表示水銀柱處于平衡位置、達到振幅位置時和有一任意小位移時的三個狀態(tài)建立如圖坐標，設水銀柱位移為時，封閉氣體的壓強為，U形管橫截面積為，水銀柱總質量為，水銀密度為.對被封閉氣體的、狀態(tài)由泊松方程可知，其中，得 .由于，上式可近似為.對狀態(tài)，研究水銀柱受到的回復力，回復力即由高度差為的水銀柱的重力、內外氣體壓力的合力提供，以位移方向為 正，即為.令 ，得 可知水銀柱的微小振蕩為一簡諧運動，其周期為. (2)由上述和得，故. 例3 一熱機工作于兩個相同材料的物體和之間，兩物體的溫度分別為和 ()，每個物體的質量為、比熱容恒定，均為，設兩個物體的壓強保持不變，且不發(fā)生相變 (1)假定熱機能從系統(tǒng)獲得理論上允許的最大機械能，求出兩物體和最終達到的溫度的表達式，給出解題的全部過程 (2)由此得出允許獲得的最大功的表達式 (3)假定熱機工作于兩箱水之間，每箱水的體積為2.50m3，一箱水的溫度為350 K，另一箱水的溫度為300K計算可獲得的最大機械能 已知水的比熱容=4.19103Jkg-1K-1，水的密度1.00103kgm-3分析與解 (1)為獲得最大的機械能，可設熱機工作的全過程由個元卡諾循環(huán)組成，第次卡諾循環(huán)中，卡諾熱機從高溫熱源(溫度設為)處吸收的熱量為后，溫度降為；在低溫熱源(溫度設為)處放出的熱量為后，溫度升高為滿足. 又 ，可知 ，令，.有.即，解得 ，所以. (2)由卡諾熱機的循環(huán)過程可知： (3)根據(jù)題意代人數(shù)據(jù)即可得：2.0107J 例4 已知(mol)的某理想氣體在時的定容熱容，在時的定容熱容，其中、均為大于1的常量，該氣體經(jīng)歷的循環(huán)過程是如圖1610所示的矩形(1)試求狀態(tài)的溫度，并畫出循環(huán)過程中系統(tǒng)內能隨溫度變化的圖線，(2)試計算循環(huán)過程的效率. 分析與解 本題中理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過程曲線呈矩形，其中：為等容升壓，為等壓膨脹；為等容降壓；為等壓壓縮設狀態(tài)參量為、；狀態(tài)參量為、；狀態(tài)參量為、；狀態(tài)參量為、(1)由理想氣體狀態(tài)方程，可知.由此也可知，在過程中存在狀態(tài)，該狀態(tài)時的溫度為(2)本題中理想氣體內能為，狀態(tài)內能為，其他狀態(tài)的內能依次為，.又在、 (溫度均為)狀態(tài)時，定容熱容量發(fā)生了突變，這意味著該理想氣體分子的某一運動自由度剛好在時被激發(fā)，因此，系統(tǒng)在狀態(tài)時會出現(xiàn)不升溫的吸熱，內能變?yōu)椋跔顟B(tài)時，會出現(xiàn)不降溫的放熱，內能變?yōu)樗院偷年P系應完整地表達為循環(huán)過程中系統(tǒng)內能隨溫度變化的圖線如圖1611所示 注意，圖線中從狀態(tài)到狀態(tài)的等容過程并不經(jīng)過狀態(tài)，從態(tài)到態(tài)的等壓過程并不經(jīng)過狀態(tài)，同樣從態(tài)到態(tài)的等容過程中不經(jīng)過態(tài)，但經(jīng)過狀態(tài)又、狀態(tài)因為溫度相同，所以內能也相同，圖1611中用同一點表示，另外、狀態(tài)的溫度剛好是定容熱容量發(fā)生突變的溫度，出現(xiàn)了不升溫的吸熱或放熱，導致內能變化，所以，兩者在圖中是一段等溫線。同樣狀態(tài)也不是過程中的狀態(tài)，但與過程中某狀態(tài)具有相同的內能和溫度 (3)一個循環(huán)過程中，氣體對外所做功的大小為圖1610中矩形面積，即為又,所以有. 循環(huán)過程中屬吸熱過程的是、在狀態(tài)時因定容熱容量發(fā)生突變而造成的吸熱，吸收的熱量分別為、:；.則一循環(huán)中吸收的總熱量為：.所以循環(huán)過程的效率為.12、如圖所示，A和B是兩個圓筒形絕熱容器，中間用細而短的管子連接，管中有導熱性能良好的閥門K ，而管子和閥門對外界卻是絕熱的。F是帶柄的絕熱活塞，與容器A的內表面緊密接觸，不漏氣，且不計摩擦。開始時，K關閉，F(xiàn)處于A的左端。A中有摩爾、溫度為T0的理想氣體，B中則為真空?，F(xiàn)向右推動F ，直到A中氣體的體積與B的容積相等。在這個過程中，已知F對氣體做功為W ，氣體溫度升為T1 ，然后將K稍稍打開一點，使A中的氣體緩慢向B擴散，同時讓活塞F緩慢前進，并保持A中活塞F附近氣體的壓強近似不變。不計活塞、閥門、容器的熱容量，試問：在此過程中，氣體最后的溫度T2是多少？12、解說】為求溫度，可以依據(jù)能量關系或狀態(tài)方程。但事實證明，僅用狀態(tài)方程還不夠，而要用能量關系，摩爾熱容、做功的尋求是必不可少的。過程一：K打開前，過程絕熱，據(jù)熱力學第一定律，E = W又由 E = CVT 知E = CV（T1 T0）因此，CV = 而且在末態(tài)，P1 = 過程二：K打開后，過程仍然絕熱，而且等壓。所以，W= P1（V1 V1） ，其中V1為A容器最終的穩(wěn)定容積。學員思考此處求功時V只取A容器中氣體體積改變而不取整個氣體的體積改變，為什么？因為B容器中氣體為自由膨脹的緣故為求V1，引進蓋呂薩克定律 = 從這兩式可得 W= P1V1 而此過程的E= CVT = CV（T2 T1） （注意：這里是尋求內能增量而非熱量，所以，雖然是等壓過程，卻仍然用CV而非CP）最后，結合式對后過程用熱力學第一定律即可?！敬鸢浮縏2 = T1 。13、如圖所示，在一個橫截面積為S的封閉容器中，有一質量M的活塞把容器隔成、兩室，室中為飽和水蒸氣，室中有質量為m的氮氣，活塞可以在容器中無摩擦地滑動。開始時，容器被水平地放置在地面上，活塞處于平衡，、兩室的溫度均為T0 = 373K，壓強為P0 ?，F(xiàn)將整個容器緩慢地轉到豎直位置，兩室的溫度仍為T0 ，但室中有少量水蒸氣液化成水。已知水的汽化熱為L ，水蒸氣和氮氣的摩爾質量分別為1和2 ，試求在整個過程中，室內系統(tǒng)與外界交換的熱量。13、【解說】容器水平放置時，設水蒸氣的體積為V1 ，氮氣的體積為V2 ；直立時，設有體積為V的水蒸氣液化成水。直立后水的飽和氣在同溫度下壓強不變，故氮氣的壓強 P = P0在直立過程，對氮氣用玻-馬定律 P0V2 = P（V2 + V）結合以上兩式可得V = V2 為解決V2 ，對初態(tài)的氮氣用克拉珀龍方程 P0V2 = RT0 這樣，V = 所以，水蒸汽液化的質量（用克拉珀龍方程）為 m = V = 這部分水蒸氣液化應放出熱量 Q =mL = 【答案】向外界放熱。19一卡諾機在溫度為27C和127C兩個熱源之間運轉，（1）若在正循環(huán)中，該機從高溫熱源吸熱1.2103cal，則將向低溫熱源放熱多少？對外作功多少？（2）若使該機反向運轉（致冷機），當從低溫熱源吸熱1.2103cal熱量，則將向高溫熱源放熱多少？外界作功多少？解：（1） 。（2）對卡諾制冷機 ， 圖27-318有一氣缸，除底部外都是絕熱的，上面是一個不計重力的活塞，中間是一塊固定的導熱隔板，把氣缸分隔成相等的兩部分A和B，上、下各有1mol氮氣（圖27-3），現(xiàn)由底部慢慢地將350J熱量傳送給缸內氣體，求（1）A、B內氣體的溫度各改變了多少？（2）它們各吸收了多少熱量。若是將中間的導熱隔板變成一個絕熱活塞，其他條件不變，則A、B的溫度又是各改變多少（不計一切摩擦）？解：A、B中間的隔板導熱，因而A、B兩部分氣體溫度始終相同，B中溫度升高后將等壓膨脹。設末態(tài)時A、B溫度為，對B部分氣體有 B部分氣體對外做功為 A、B兩部分氣體的內能增量為 根據(jù)熱力學第一定律得即 對A部分氣體有 以B部分氣體有 16質量為m1的圓筒水平地放置在真空中，質量為m2、厚度可忽略的活塞將圓筒分為體積相同的兩部分（圖23-13（a），圓筒的封閉部分充有n摩爾的單原子理想氣體，氣體的摩爾質量為M，溫度為T0，突然放開活塞，氣體逸出。試問圓筒的最后速度是多少？設摩擦力、圓筒和活塞的熱交換以及氣體重心的運動均忽略不計。(T0=273K,m1=0.6kg,m2=0.3kg,n=25mol,氦的摩爾質量為圖23-13（b）410-3kg/mol,cV=12.6J/molK,=5/3）解：過程的第一階段是絕熱膨脹，膨脹到兩倍體積后（圖23-13（b）溫度將是T，根據(jù)絕熱方程，有 因此 圓筒和活塞的總動能等于氣體內能的損失，即 根據(jù)動量守恒定律， 解上述方程，得過程第一階段結束時的圓筒速度： 由此得出結論，在過程第一階段的最后瞬間，圓筒以速度向右運動，此時活塞正好從圓筒沖出。我們把坐標系設置在圓筒上，所給的是一個在真空中開口的圓筒，筒內貯有質量為nM、溫度為T的氣體。顯然，氣體將向右方流動，并推動圓筒向右以速度運動，氣體分子的動能由下式給出： 式中是分子的平均速度注：指均方根速率，它由下述關系式給定： 平衡狀態(tài)下各有1/6的分子在坐標軸方向來回運動。在計算氣體逸出時，假定有1/6的分子向圓筒的底部運動。這自然只是一級近似。因此，的質量以速度向圓筒底部運動，并與筒底作彈性碰撞。之后圓筒以速度、氣體以速度運動。對于彈性碰撞，動量守恒定律和機械能守恒定律成立。由動量守恒有 由機械能守恒有 解以上方程組，得到氣體逸出后的圓筒速度為 氣體分子的1/6以速度反彈回來，的絕對值要小于。氣體必然有較低的溫度，其一部分內能使圓筒的動能增加。速度相加后得圓筒速度為，代入所給的數(shù)據(jù)： ； ； 得圓筒的最后速度為 四、相變相：熱學系統(tǒng)中物理性質均勻的部分。系統(tǒng)按化學成分的多少和相的種類多少可以成為一元二相系（如冰水混合物）和二元單相系（如水和酒精的混合液體）。相變分氣液相變、固液相變和固氣相變三大類，每一類中又有一些具體的分支。相變的共同熱學特征是：相變伴隨相變潛熱。1、氣液相變，分氣化和液化。氣化又有兩種方式：蒸發(fā)和沸騰，涉及的知識點有飽和氣壓、沸點、汽化熱、臨界溫度等。a、蒸發(fā)。蒸發(fā)是液體表面進行的緩慢平和的氣化現(xiàn)象（任何溫度下都能進行）。影響蒸發(fā)的因素主要有液體的表面積、液體的溫度、通風條件。從分子動理論的角度不難理解，蒸發(fā)和液化必然總是同時進行著，當兩者形成動態(tài)平衡時，液體上方的氣體稱為飽和氣，飽和氣的壓強稱為飽和氣壓PW 。同一溫度下，不同液體的PW不同（揮發(fā)性大的液體PW大），但同種液體的PW有唯一值（與氣、液的體積比無關，與液體上方是否存在其它氣體無關）；同一種液體，在不同的溫度下PW不同（溫度升高，PW增大，函數(shù)PW = P0 ，式中L為汽化熱，P0為常量）。汽化熱L ：單位質量的液體變?yōu)橥瑴囟鹊娘柡蜌鈺r所吸收的熱量，它是相變潛熱的一種。汽化熱與內能改變的關系L = E + PW（V氣 V液） E + PWV氣b、沸騰。一種劇烈的汽化，指液體溫度升高到一定程度時，液體的汽化將不僅僅出現(xiàn)在表面，它的現(xiàn)象是液體內部或容器壁出現(xiàn)大量氣泡，這些氣泡又升到液體表面并破裂。液體沸騰時，液體種類不變和外界壓強不變時，溫度不再改變。（從氣泡的動力學分析可知）液體沸騰的條件是液體的飽和氣壓等于外界壓強。（如在1標準大氣壓下，水在100沸騰，就是因為在100時水的飽和氣壓時760cmHg。）沸點，液體沸騰時的溫度。同一外界氣壓下，不同液體的沸點不同；同一種液體，在不同的外界氣壓下，沸點不同（壓強升高，沸點增大）。c、液化。氣體凝結成液體的現(xiàn)象。對飽和氣，體積減小或溫度降低時可實現(xiàn)液化；對非飽和氣，則須先使它變成飽和氣，然后液化。常用的液化方法：保持溫度不變，通過增大壓強來減小氣體的體積；保持體積不變，降低溫度。【例題10】有一體積為22.4L的密閉容器，充有溫度T1 、壓強3atm的空氣和飽和水汽，并有少量的水。今保持溫度T1不變，將體積加倍、壓強變?yōu)?atm ，這時容器底部的水恰好消失。將空氣、飽和水汽都看成理想氣體，試問：（1）T1的值是多少？（2）若保持溫度T1不變，體積增為原來的4倍，容器內的壓強又是多少？（3）容器中水和空氣的摩爾數(shù)各為多少？【解說】容器中的氣體分水汽和空氣兩部分。容器中壓強與空氣壓強、水汽壓強的關系服從道爾頓分壓定律。對水汽而言，第二過程已不再飽和。（1）在T1 、3atm狀態(tài)，3 = P1 + PW （P1為空氣壓強）在T1 、2atm狀態(tài)，2 = P2 + PW （P2為空氣壓強）而對空氣，P1V = P22V 解以上三式得 P1 = 2atm ，P2 = 1atm ，PW = 1atm ，可得T1 = 100 = 373K（2）此過程的空氣和水汽質量都不再改變，故可整體用玻-馬定律：22V = P4V （這里忽略了“少量的”水所占據(jù)的體積）（3）在一過程的末態(tài)用克拉珀龍方程即可。【答案】（1）373K ；（2）1atm ；（3）均為1.46mol ?！纠}11】如圖6-15所示，在一個橫截面積為S的封閉容器中，有一質量M的活塞把容器隔成、兩室，室中為飽和水蒸氣，室中有質量為m的氮氣，活塞可以在容器中無摩擦地滑動。開始時，容器被水平地放置在地面上，活塞處于平衡，、兩室的溫度均為T0 = 373K，壓強為P0 。現(xiàn)將整個容器緩慢地轉到豎直位置，兩室的溫度仍為T0 ，但室中有少量水蒸氣液化成水。已知水的汽化熱為L ，水蒸氣和氮氣的摩爾質量分別為1和2 ，試求在整個過程中，室內系統(tǒng)與外界交換的熱量?！窘庹f】容器水平放置時，設水蒸氣的體積為V1 ，氮氣的體積為V2 ；直立時，設有體積為V的水蒸氣液化成水。直立后水的飽和氣在同溫度下壓強不變，故氮氣的壓強 P = P0在直立過程，對氮氣用玻-馬定律 P0V2 = P（V2 + V）結合以上兩式可得V = V2 為解決V2 ，對初態(tài)的氮氣用克拉珀龍方程 P0V2 = RT0 這樣，V = 所以，水蒸汽液化的質量（用克拉珀龍方程）為 m = V = 這部分水蒸氣液化應放出熱量 Q =mL = 【答案】向外界放熱。思考解本題時，為什么沒有考慮活塞對室做的功？答注意汽化熱L的物理意義它其中已經(jīng)包含了氣體膨脹（汽化）或收縮（液化）所引起的做功因素，若再算做功，就屬于重復計量了。*再思考中氮氣與“外界”交換的熱量是多少？*答氮氣沒有相變，就可直接用熱力學第一定律。E = 0 ，W = RT0ln = RT0ln（1 +），所以 Q =E W = RT0ln（1 +），吸熱。2、濕度與露點a、空氣的濕度。表示空氣干濕程度的物理量，有兩種定義方式。絕對濕度：空氣中含有水蒸氣的壓強；相對濕度B ：空氣中含有水蒸氣的壓強跟該溫度下水的飽和蒸氣壓的比值，即 B = 100%（相對濕度反映了空氣中水蒸氣離開飽和的程度，人體感知的正是相對濕度而非絕對濕度，以B值為6070%比較適宜。在絕對濕度一定的情況下，氣溫升高，B值減小因此，夏天盡管絕對濕度較大，但白天仍感到空氣比晚上干燥）。b、露點：使空氣中的水蒸氣剛好達到飽和的溫度。露點的高低與空氣中含有水蒸氣的壓強（即絕對濕度）密切相關，根據(jù)克拉珀龍方程，也就是與空氣中水蒸氣的量有關：夏天，空氣中水蒸氣的量大，絕對濕度大（水蒸氣的壓強大），對應露點高；反之，冬天的露點低。3、固液相變，分熔解和凝固。a、熔解。物質從故態(tài)變成液態(tài)。晶體有一定的熔解溫度熔點（嚴格地說，只有晶體才稱得上是固體），非晶體則沒有。大多數(shù)物質熔解時體積會膨脹，熔點會隨壓強的增大而升高，但也有少數(shù)物質例外（如水、灰鑄鐵、銻、鉍等，規(guī)律正好相反）。（壓強對熔點的影響比較微弱，如冰的熔點是每增加一個大氣壓熔點降低0.0075。）熔解熱：單位質量的晶體在溶解時所吸收的熱量。從微觀角度看，熔解熱用于破壞晶體的空間點陣，并最終轉化為分子勢能的增加，也就是內能的增加，至于體積改變所引起的做功，一般可以忽略不計。b、凝固。熔解的逆過程，熔解的規(guī)律逆過來都適用與凝固。4、固氣相變，分升華和凝華。a、升華。物質從固態(tài)直接變?yōu)闅鈶B(tài)的過程。在常溫常壓下，碘化鉀、樟腦、硫磷、干冰等都有顯著的升華現(xiàn)象。升華熱：單位質量的物質在升華時所吸收的熱量。（從微觀角度不難解釋）升華熱等于同種物質的汽化熱和熔解熱之和。b、凝華。升華的逆過程。如打霜就是地面附近的水蒸氣遇冷（0以下）凝華的結果。凝華熱等于升華熱。5、三相點和三相圖亦稱“三態(tài)點”。一般指各種穩(wěn)定的純物質處于固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)三個相（態(tài)）平