電動力學(xué)劉覺平版課后答案.pdf

第七章第七章電磁波的傳播電磁波的傳播 目錄：目錄： 習(xí)題習(xí)題 7.17.1定態(tài)電磁波定態(tài)電磁波. .2 2 習(xí)題習(xí)題 7.27.2絕緣介質(zhì)中的平面電磁波絕緣介質(zhì)中的平面電磁波. .5 5 習(xí)題習(xí)題 7.37.3導(dǎo)電介質(zhì)中的平面電磁波導(dǎo)電介質(zhì)中的平面電磁波. .7 7 習(xí)題習(xí)題 7.47.4平面電磁波在絕緣介質(zhì)界面上的反射與折射平面電磁波在絕緣介質(zhì)界面上的反射與折射. .10 10 習(xí)題習(xí)題 7.57.5全反射全反射. .23 23 習(xí)題習(xí)題 7.67.6電磁波在導(dǎo)體面上的反射與折射電磁波在導(dǎo)體面上的反射與折射. .29 29 最后一節(jié)沒有處理。最后一節(jié)沒有處理。 習(xí)題習(xí)題 7.17.1 1.1.證明證明:對于定態(tài)電磁波,方程(7.1.27)或(7.1.28)與 Maxwell 方程組等價. 證: (7.1.27)式為(在導(dǎo)電介質(zhì)中) 2222 ()0, 0 kEk E i HE += = = )3( )2( ) 1 ( 導(dǎo)電介質(zhì) Maxwell 方程組為 0 0 f Ei B Hi DjHiE B D = = + = = = )7( )6( )5( )4( 課本已經(jīng)論述，方程（4） （5）可以推出方程（6） （7） 因此下面只要證明方程組（4） （5）與方程組（1） （2） （3）等價。 1(4)(5)(1)(2)(3) 由于BH= ，所以 i Ei BHE = ，即方程(4)與方程（3）等價 由于DE= ，所以有(7)(2) 將（4）代入（5）即可得到 2222 1 ()0,EiEkEk i = += 2 證明(1)(2)(3)(4)(5) 方程(4)與方程（3）等價； 對（3）作用旋度 ()() 2 2 ii HEHEE i HE = = = 將（1）式代入即得（5）. 因此(7.1.27)式與 Maxwell 方程組等價。 (7.1.28)式為 2 = = =+ H i E H Hk 0 0)( 22 )10( )9( )8( 顯然(10)(5) 對（10）作用旋度，并將（8）代入即可得到（4） 所以(7.1.28)式可以推出 Maxwell 方程組 顯然(6)(9) 將（5）代入（4）可以得到（8） 。 因此(7.1.28)式與 Maxwell 方程組等價。 2.2.利用利用電荷守恒定律在邊界上的形式:證明:對于定態(tài)電磁波， 電磁場的四個邊值關(guān)系中僅有 兩個是獨立的。 證: 電荷守恒定律在邊界上的形式為: )()( 22122212fffffff f jjnijjn t +=+ - (1) 電磁場的邊值關(guān)系只有兩個獨立的方程 = = f HHn EEn )( 0)( 1212 1212 對上式兩邊求散度,得 根據(jù))()()(gffggf = = = f HHnn EEnn )( 0)( 121212 121212 根據(jù) Maxwell 方程組 = = f HHn EEn )( 0)( 1212 1212 += = f jDiH BiE 所以0)( 1212 =BBn , i DDn 1 )( 1212 = 2212 ( fff jjn +)= f 3.證明：任意一對隨時間簡諧變化的復(fù)矢量F 和G 的乘積對時間的平均值由下式?jīng)Q定 *11 ReReRe()Re() 22 FGFGFG= 式中ReF 表示取F 的實部， 而這里的叉積 “”可以全部換成標(biāo)積。 證明：F 和G 為任意一對隨時間簡諧變化的復(fù)矢量，可表示為exp()FFi t= 2 00 111 ReRelimReRelimcos () 2 TT TT FGFGdtFGt dtFG TT = 2 2 cost cos ttFG t 當(dāng)時，隨 變化十分迅速，可以看作是常量。 因此可以先對求平均。因為它是迅速地一個周期一個 周期地變化，因此可以用一個周期上的平均值代替。 2 0 11 cos 2 xdx = 2 0 11 ReRelimcos () 2 T T FGFGt dtFG T = *111 Re()Re(exp()() 222 FGFGi ti tFG=+= *111 Re()Re(exp()() 222 FGFGi ti tFG=+= 得證 對于標(biāo)積， 2 00 111 ReRelimReRelimcos () 2 TT TT FGFGdtF Gt dtF G TT = *111 Re()Re(exp()() 222 FGF Gi ti tF G=+= *111 Re()Re(exp()() 222 F GF Gi ti tF G=+= *11 ReReRe()Re() 22 FGFGF G= 習(xí)題習(xí)題 7.27.2 1 1、 考 慮考 慮 沿 同 一 方 向 傳 播 的 一 個 波 包()( )() 0 0 ,exp kk kk u z tdkC kitkz + = 式 中 00/ kc=，k很小，且( )C k是 k 的緩變函數(shù)。試證： (1)在 0 k附近可近似將波包寫成()()(),expu z tC z titkz= 式中波包的包絡(luò)(),C z t為()() 0 sin ,2C z tC kk = 其中 0 d tzk dk = (2)整個波包在空間移動的速度即所謂群速度為()0/ g vddk= (3)這一群速度等于波包能量的傳輸速度。 證： （1）()( )() 0 0 ,exp kk kk u z tdkC kitkz + = 對 C（k）,(k)做泰勒展開，取一級近似。 C(k)=C( 0 k)+() 00 () dC kk dk () 000 () d kk dk =+ 令 0 kkk = 由于( )C k是 k 的緩變函數(shù)，所以 C(k)C( 0 k)+0= C( 0 k) ； 00 () d k dk =+； , 于是， ()( )() ()() 0 0 0000 ,exp =expexp() kk kk k k u z tdkC kitkz d C kitk zdkitz k dk + + = 由于積分的對稱性， ()()() 0000 0 ,=2expcos() k d u z tC kitk zdktz k dk + 令 00 (), () dd tz ktzk dkdk = = 所以()()() 000 0 ,=2expcos k u z tC kitk zd ()()() 000 sin ,2expu z tC kitk zk =() 00 ( , )expC z titk z 其中，() 0 sin ( , )2C z tC kk （2）群速度即為等振幅面?zhèn)鞑サ乃俣?。而振? , )C z t為常量即為=常量 上式兩邊對時間求導(dǎo)得 0 () g dzd v dtdk = （3）因為能量正比于振幅的平方。而波包的包絡(luò)正是振幅。群速度即為等振幅面?zhèn)鞑サ乃?度，所以群速度等于波包能量的傳播速度。 2 2、證明、證明群速度()/ g vddk=滿足 1 1 gp dn vv n d = 式中 n 是介質(zhì)的折射率。設(shè)空氣的折射率為 182 1.00027 1.5 10/n =+，的單位為 m 試問，平均波長為 550nm 的 1ns 的光脈沖在空氣中傳播 10km 所需要的時間比它在真空中 傳播同樣距離所需時間長多少？ 證： g v= () pp p d v kdv vk dkdk =+ 代入 2 , p c kv n = 2 2 2 2 gp c dn n vv d =+ 1 p p v dn n v d =+(1) p dn v n d =+ 與命題并不一致，但是顯然，當(dāng) dn n d 是小量時， 1 11 pp dndn vv n dn d + ，兩者 是一致的。 而本題， 18 6 3 3.0 10 9.916 10 dn n dn =確實很小，兩者應(yīng)相當(dāng)接近。 33 10 1010 10 g t vc = 33 2 10 1010 10 ccdn c nn d = + 8 9.3 (8.84,matlabc2.9979 10 m/s)nsns=用計算的，且取光速 習(xí)題習(xí)題 7.37.3 * * 1 ,0 i i(i )ii2i0, 0 kkk k kk = =+ =+=+= = 按定義，若一平面波的振幅矢量在等相位面上為常矢量，則此平面波為均勻平面波 證明：對一復(fù)波矢若，則它為平面波，否則為非均勻平面波. 證：令，則 （） 故有， 從而 與 在同一條直線上，即 0000E,E Bexpi(xt)E Bexpi(x)expi(xt) x x Bk = = = 方向相同或相反，從而與 垂直的平面和與 垂直的平面互相平行. 平面波是下述不同頻率的單色平面波的線性疊加， （）（ ， ）（ ， ） 由上式可知，等相位面方程為常量，即垂直于 的平面. 而等幅面方程為常量，即垂直于 的平面.故 因為 垂直的平面和與 垂直的 平面互相平行，故此平面波的振幅矢量在等相位面上為常矢量，從而它為均勻平面波. c 0 00 22 22 c 2.300MHz4S/m 9.E10V/m, Helmholtz (k )0, ki ,ki.(1) xe z E = = += =+=+ 有一的均勻平面波在有耗介質(zhì)中傳播。該有耗介質(zhì)的電導(dǎo)率為， 介電常量與磁導(dǎo)率分別為 =與若此波的電場振幅矢量為（） 且沿 方向傳播.寫出時域內(nèi)電磁場強度的表達式并求能流密度矢量. 解：此平面波滿足方程 式中 ， 它具有下述單色平 00EE expi(xt)E exp(x)expi(xt)2k= 面波解 （ ） zz 11 2222 cc 2222 11 2222 cc 2222 3 (1) 3 11 112 114 22(2) 11 1+12 1+15 22(2) z ee f f f f = =+=+ =+=+ 由平面波均勻以及沿 方向傳播的條件，知 ，（ ） 綜合 （ ）兩式可得 （ ） （ ） 代入數(shù)據(jù)得 11 8 0 z 67.5,70.1 2 EE exp(x)expi(xt)10exp67.5expi(70.123 10 t)V/m Ei B 11 BikEiE i 1 70167.5i10exp67.5 x mm zze ez = = = =+ =+ 代入（ ）式及數(shù)據(jù)得 （-） 再由頻域中的定態(tài)麥克斯韋方程得 （） （.）（- 8 8 y 8 8 8 expi(70.123 10 t)V/m 1 70167.5i 10exp67.5expi(70.123 10 t)V/m 23 10 E B ReE10exp67.5icos(70.123 10 t)V/m 1 ReB10exp67.5 23 10 701cos(70.1 x x ze zze zze z =+ = = ） （.）（-） 取，的實部得 （-） （-） . 88 y 8 -78 88-2 -1 z 23 10 t)67.5sin(70.123 10 t)T 1 sReEReHReEReB 11 100exp267.5cos(70.123 10 t) 41023 10 701cos(70.123 10 t)67.5sin(70.123 10 t)J m s zze zz zze = = = i 從而能流密度矢量為 （-） . 8 2 88-2 -1 z 1 100exp267.5cos(70.123 10 t) 240 701cos(70.123 10 t)67.5sin(70.123 10 t)J m s zz zze i （-） . 2 c 00 k x8 z 1 12 22 3.2S/m 364. E10cos(8 10 tk x) V/m(1) kk. Helmholtz (k )0, ee E = = = += 一均勻平面波在有耗介質(zhì)中傳播.該有耗介質(zhì)的電導(dǎo)率為，介電常量與 磁導(dǎo)率分別為 =與若此波的電場為 求出 ，和磁場強度 解：此平面波滿足方程 式中 22 c 00 00 0z 2 ki ,ki.2 EE expi(xt)E exp(x)expi(xt) E exp(x)cos(xt)+iE exp(x)sin(xt) (1) E10V/mk k e =+=+ = = = ，（ ） 它具有下述單色平面波解 將其實部與式對比得 （）， 8 xx 1 1 22 c 1 22 1 22 c 2 22 11 12 k,8 10 Hz3 (2) 3 1 k 1+1 2 1 k 11 2 k136.5k92.4 EiH 11 HReikEReiE i ee mm = =+ =+ = = =+ ，（ ） 綜合 （ ）兩式可得 代入數(shù)據(jù)得 ， 再由頻域中的定態(tài)麥克斯韋方程得 （）（） 2 2 k x8 xz 121 k x88 y 1121 92.4x88 y 8-7 92.4x 2 1 Rekik10exp(k x8 10 t) 1 10k cos(k x8 10 t)k sin(k x8 10 t) 1 10136.5cos(136.5x8 10 t)92.4sin(92.4x8 10 t) 8 104410 1 136.5co 128 eee ee ee e =+ = = = （） 88 ys(136.5x8 10 t)92.4sin(92.4x8 10 t)e 習(xí)題習(xí)題 7.47.4 、考慮在、考慮在兩絕緣介質(zhì)的分界面上，入射波、反射波與折射波所滿足的邊值關(guān)系 () () () () ird ird ird ird nDDn D nEEnE nBBn B nHHnH += += += += 式中，n 是分界面的法向 證明：若第二個邊值關(guān)系成立，則第三個邊值關(guān)系自然滿足；若第四個邊值關(guān)系成立，則第 一個邊值關(guān)系自然滿足 證明： （）()() irdird nEEnEnBBn B+=+= 1 ()() irir nBBnEE i += + () 1 ir nEE i = + 1 () d nE i = 1 () d nE i = d n B= （）()() irdird nHHnHnDDn D+=+= () 1 () irirfiir nDDnHHjj i += + 1 dfifr nHjj i = + 1 dfd nHj i = + d n D= 、驗證：、驗證：電磁波在絕緣介質(zhì)分界面上反射與折射時，能量守恒 證明：只需證明反射系數(shù)和透射系數(shù)之和等于零即可 2 2 2 2 1 cos 1cos dd ii rr r dd d + = + + = + （其中 0 0 i i E E = ） 上面是課本上的定義，定義有誤，下面定義才是正確的， 按此定義可以得到課本公式（7.4.31）P237。詳細過程可以參看本節(jié)習(xí)題 7 而下面的證明也可以證明這樣的定義是正確的。 2 2 2 2 1 1 rr r dd d + = + + = + （其中 0 0 i i E E = ） 其中 () () ()() ()() () () ()() () 2 2 22 2 2 2 tan tan sin 2sin 2 sincos sin sin sin 2sin 2 sin id id id idid id id id id r d r d = + = + = + = + 22 22 11 rrdd rd + +=+ + () () () () ()() ()() ()() () 22 2 22 2 2 222 2 tansin tansin 1 sin 2sin 2sin 2sin 2 sincossin 1 idid idid idid ididid + + = + + + + + () () ()() ()() () () ()() () 2 2222 2 2 222 tansin 2sin 21 1tansincos sinsin 2sin 2 1sinsin idid ididid idid idid =+ + + + 則有 () () ()() ()() 2 222 tansin 2sin 2 tansincos idid ididid + + ()()()() ()() 22 22 sincossin 2sin 2 sincos ididid idid + = + 1= () () ()() () 2 22 sinsin 2sin 2 sinsin idid idid + + ()()() () 2 2 sinsin 2sin 2 sin idid id + = + 1= 則有 r+d=1 所以電磁波在絕緣介質(zhì)分界面上反射與折射時，能量守恒 、 一場強一場強振幅為 6 0 10Ecgs=單位的電磁波從真空垂直入射到一絕緣介質(zhì)的表面 （為平面） 上， 介質(zhì)的介電常量1.44= 試將物理量換算到國際單位制后計算電磁波對介質(zhì)產(chǎn)生的壓 力 解：在介質(zhì)中 22 11 22 EHIEEHH =+ F其中 000 0 |EH= 22 1111 | 22 S Fd nEHSnEH SnsS cc = =+= F 又 610 0 102.997 10/EcgsV m= 對正入射： 0 0 210 11 212 11 di id dd id En Enn Hn Hnn = + = + 0 10 11 d EE= 0 00 0 1212 1111 d HHE = 則 2 0 0 0 120 0.5 121 FE S c = 2292 0 000 0 12060 /0.53.94 10/ 121121 pFSEEN m c = 更正: 在介質(zhì)外表面上的電磁動量流密度為 22 0000 11 22 EHIEEHH =+ F其中 0 0 |EH= 式中， ir EEE= ， in E 的振幅為 0 E。電磁波對介質(zhì)產(chǎn)生的壓力為 22 00 1111 | 22 S Fd nEHSnEH SnsS cc = =+= F 電磁波對介質(zhì)產(chǎn)生的平均壓強的大小為 2222 0000 111 222 PEHEE=+= 對正入射： 22 22 0 0 1.0 1.21 1.0 1.211 rid id Enn r Enn = + 故 ir000 (1)EEEErEr E= 因而 22 00 1 (1) 2 PrE= 代入數(shù)據(jù)得 2 1210292 11 18.85 10(3.00 10 )3.29 10 (N/m ) 112 P = 、平面平面電磁波從介質(zhì)垂直入射到與介質(zhì)的分界面上兩介質(zhì)的折射率分別為 1 n與 2 n， 且 2 1 32 2 n n =+證明反射波能流等于折射波能流 證明： 要證明反射波能流等于折射波能流， 且平面電磁波從介質(zhì)垂直入射到與介質(zhì)的分 界面上，而且電磁波的強度Isn= ，n 是 的法向 11 2 2 s I Is = 則只需證明即可（即 dr II=） 對正入射，反射系數(shù)與折射系數(shù)為 () () () 2 12 2 12 12 2 12 4 nn r nn n n d nn = + = + () () 2 2 2 121 22 12 2 1 1 32 2 64 2 1 n nnn r nn n n + = + + () 2 121 22 12 2 1 4 432 2 64 2 1 n n nn d nn n n + = + + 則得證 則反射波能流等于折射波能流 5 5有一個有一個以平面 Z=0 與 Z=d 為邊界的電介質(zhì)層，其介電常量為 2 ，它將介電常量分別為 1 與 3 的兩種電介質(zhì)隔開。三種電介質(zhì)的磁導(dǎo)率均為 0 。電磁波從 Z0 的區(qū)域，沿著垂直 于層表面的方向入射到電介質(zhì)層上。 問當(dāng)層的厚度滿足什么條件時反射系數(shù)取極值？當(dāng)層的 厚度為多大時反射最?。慨?dāng)三種電介質(zhì)的介電常量滿足什么條件時沒有反射？ 解:由題意可知， zd: 21 ()() 3 ( , )( , )1/ i k z wti k z wt ddid Ez tE eB z tv E e = 由在 Z=0，Z=d 處的邊界條件 12 1111EE= , 12 1111BB= ,且三者的磁導(dǎo)率均為 0 ，則有: Z=0： 1122 1111 iRDr iRDr EEEE EEEE vvvv +=+ = 即 () iRDr iRDr EEEE EEEE +=+ = 12 (/)vv= j k Z=d: 322 322 223 111 ik dik dik d Drd ik dik dik d Drd E eE eE e E eE eE e vvv += = 即 322 322 2 3 () ik dik dik d Drd ik dik dik d Drd E eE eE e v E eE eE e v += = l m 則+jk為：2(1)(1) iDr EEE=+ n 則+lm為： 32 2(1) ik dik d Dd E eE e=+ o 則lm為： 32 2(1) ik dik d rd E eE e = p 將o，p代入n可得： 3 22 42 (1)cos()()sin() ik d id Ek dik dE e=+ 而折射系數(shù) 2 2 330 22 1 10 d d i i E vE T vE E = ， 因此可求得： () ()() 2222 21232 12 132 2 132 1 sin () 4 nnnn Tnnk d n nn =+ 而1RT+= 所以反射系數(shù) 1 1 11RT T = = 1）若 R 取極值，則 1 T 也取極值，即 22 22 sin ()0sin ()1k dk d=或 所以 2 2 m k d =（m 整數(shù)） 2 4 m d = 即 2 4 m d =時，反射系數(shù) R 取極值。 2）若 R 取最小值，則 1 T 也取最小值，即 2 2 sin ()1k d= 所以 2 4 m d =（m 為奇數(shù)） 即 2 4 m d =（m 為奇數(shù)）時，反射系數(shù)最小。 3）若無反射，則 1 T =1，而 2 2 sin ()1k d=，故 () ()() 2222 21232 13 2 132 1 1 4 nnnn nn n nn += 可求得： 213 nn n=所以 21 3 = 即在 21 3 =時，厚度滿足使 R 最小時無反射。 平面平面線偏振電磁波從介質(zhì) 1 入射到介質(zhì)的分界面上， 兩介質(zhì)的折射率分別是 1 n與 2 n， 偏振方向與入射面的夾角為 4 若選取入射角使反射波偏振方向與入射面垂直，證明折射 波的偏振方向與入射面的夾角為： 解：由 Fresnel 公式有： 0/0/ 2sincos sin()cos() di di didi EE = + （1） 2sincos sin() di doio id EE = + （） 所以： / 1 cot cos() odid odidid EE EE = （3） 式中是折射波偏振方向與入射面的夾角 因為入射波的偏振方向與入射面夾角為 4 ，所以： / 2 2 ididid EEE = （4） 而當(dāng)反射波偏振方向與入射面垂直時，入射角為 Brewst 角，即入射角滿足下式： 1 2 sin tantan cos B iB B n n = ， 2 id += （5） 故： 1 22 12 sin i n nn = + ，進而： 12 22 12 2 sin2 i n n nn = + （6） 將（4） ， （5） ， （6）式代入（3）式得： 22 12 12 1 cot sin22 i nn n n + = 即 12 21 1 cot 2 nn arc nn =+ （） 7如果通常的近似 21 不成立， 證明：在兩絕緣介質(zhì)的邊界面上，反射系數(shù)為 2 21 21 21 21 coscos coscos r = + ， 2 21 21 21 21 coscos coscos r = + 式中，與分別是入射角與折射角。 求折射系數(shù)， 并討論是否對每一種偏振（或 ）， Brewster 都存在。 解：在邊界是兩絕緣介質(zhì)邊界面情況下， 入射波平均能流密度為 2 1 11 1111 Re()() 222 iiiioioioio SEHEkEEk = 反射波平均能流密度為 2 1 11 1111 Re()() 222 rrrrorororo SEHEkEEk = 折射波平均能流密度為 2 2 22 1111 Re()() 222 ddddodododo SEHEkEEk = 由于反射角等于入射角，所以 反射系數(shù) 2 ror iio ESn r SnE = 2 ro io E r E = ， 2 ro io E r E = 由 12 12 21 21 2 12 2 21 coscos coscos coscos coscos 2cos coscos 2cos coscos ro diid iodiid roiidd ioiidd do ii iodiid doii ioiidd Ekk Ekk Ekk Ekk Ek Ekk Ek Ekk = + = + = + = + ， 通過計算可知： 2 2 21 21 212 21 21 21 21 21 2 1 2 1 2 coscoscoscos coscos coscos sincossincos sin sin sincossincos iddd diii kk rk kk k k = + + = + 2 2 21 21 212 21 21 21 21 21 2 1 2 1 2 coscoscoscos coscos coscos sincossincos sin sin sincossincos iddd diii kk rk kk k k = + + = + 而折射系數(shù) 2 2 2 1 1 cos cos ddo iio SnE d SnE = 則 212 2 212 2 1 21 1 21 1 2 2 1 2 4coscos cos cos coscos sin2 sin2 sincossincos do io E d E = + = + 212 2 212 2 1 21 1 21 1 2 2 1 2 4coscos cos cos coscos sin2 sin2 sincossincos do io E d E = + = + 顯然，當(dāng) 1 2 1 =時，就是課本公式（7.4.31）P237 下面我們討論一下 Brewster 角問題： 所謂 Brewster 角,就是使反射波只有一個偏振方向的入射角。因此： 令： / 0;0rr = 得到： 1 2 sincossincos0 =（1） 垂直方向 1 2 sincossincos0 =（2） 平行方向 1.我們先討論方程（2） ： 11 22 sin ,ab =令x= 由折射定律， 22 1 1 sin sin id di k k =，且0, 2 時， 則1,1aab 即 1 2 11 22 11 22 1 1 這就是光從高介電介質(zhì)射入低介電介質(zhì)時，發(fā)生 Brewster 現(xiàn)象的條件。 當(dāng) 1 2 1 =時，只要 1 2 1 。 這個條件是對材料而言的，下面察看其對入射角的要求。 ()() 22 1 sin 11 a ab b x aba = ，它隨/a b單調(diào)遞增。 2 ,1,11 a ab aaba b 由 所以 ()()() () 2 222 1 1 11 sin, 0,1 111 a a b aaa = 這就是說入射角可以取0, 2 的任意一個值。即此時發(fā)生 Brewster 現(xiàn)象對 入射角沒有任何要求。 對折射角同樣處理，也可以得到折射角可以取0, 2 的任意一個值。 下面取一特殊情況： 1 2 1 = 則 b=1，所以 () 1 2 111 sinsin 1241 a a aa = 仿照1 ，可以得到入射角，折射角任意。 取特殊情況： 1 2 1 = () 1 2 111 sinsin 1241 a a aa + 此時若要發(fā)生 Brewster 現(xiàn)象，則必須使入射角大于 45 度。 對折射角同樣處理，可以發(fā)現(xiàn)折射光出現(xiàn)區(qū)間也不再是0, 2 而是在 , 4 2 之間，與1 情況剛好互補。 2.現(xiàn)在討論方程（1） ， () 22 2 22 tantansin 1 11 xabxba bbx ba xabx = = 因此只要ab就可以直接利用 1 的討論結(jié)果。具體略。 只是指出一下當(dāng) 1 2 1b =時，不存在 Brewster 角。因為此時分母為零， 2 sin，這是不可能的。 總結(jié)：當(dāng)取普遍情況， 12 時，在垂直和平行方向上都可以有 Brewster 角。而 且對入射角的大小沒有要求。 （如果材料可以任選） 當(dāng) 12 =時，只能在平行方向上有 Brewster 角。且對入射角的大小有要求，而且 折射方向也有限制。 證明證明： 當(dāng)一個非偏振波從空氣以 Brewster 角入射到折射率為 n 的絕緣介質(zhì)表面上， 折射波的偏振度為： 222 222 (1)4 (1)4 nn P nn + = + 解：由偏振度的定義： / / II P II = + (1) 得折射波的偏振度為： / / dd P dd = + (2) 而折射波平行和垂直與入射面的分量的折射系數(shù)之間存在如下關(guān)系： / 2 1 cos () id dd = (3) 將（3）式代入（2）得： 2 2 1 cos () 1 cos () id id P = + (4) 當(dāng)一個非偏振波從空氣以 Brewster 角入射到折射率為 n 的絕緣介質(zhì)表面上時，其 入射角和折射角滿足如下關(guān)系： 2 id += , tantan iB n= (5) 將（）式代入（4）式得: 2 222222 22222 22 4 1 1 sin (2 )(1)4(1) 41 sin (2 )(1)4 1 (1) i i n nnn P nnn n + = + + + 習(xí)題習(xí)題 7.57.5 1、 證明：除全反射外，線偏振的平面電磁波在絕緣介質(zhì)邊界上反射與折射后仍然是線偏振 的。如果入射波的偏振面與入射面的夾角為，入射角為；試證明：反射波與折射波 的偏振矢量與入射面的夾角和分別為 cos() tantan cos() = + tancos()tan= 式中是折射角。 證明：對線偏振的入射波（其偏振面與入射面的夾角為，入射角為）來說， / tan io io E E = 由 Fresnel 公式，有 / tan() tan() roio EE = + sin() sin() roio EE = + 對反射波來說（除全反射情況） ， / sin()tan()cos() tantan sin()tan()cos() roio roio EE EE + = = + 由于、 和 都是常數(shù)，故也是常數(shù)，故反射光也是線偏振光，其偏振矢量與入射面 的夾角滿足上式。 由 Fresnel 公式，有 / 2sincos sin()cos() doio EE = + 2sincos sin() doio EE = + 對折射波來說（除全反射情況） ， / 2sincossin()cos() tancos()tan sin()2sincos doio doio EE EE + = + 由于、 和 都是常數(shù)，故也是常數(shù)，故折射光也是線偏振光，其偏振矢量與入 射面的夾角滿足上式。 2、 證明： 在全反射波行進路徑上某一固定點， 方程 / coscos() sincos() ro ro EEk xt EEk xt = = i i 可 寫為 22 2 / / 22 2cos sin rr rr EE E E abab +=(1) 式中 / =、 0 sincos o aEbE= 與。再由此證明：當(dāng)取 z 軸為全反射波的波矢 方向、并使 x 軸與入射面的夾角為是上述方程成為 22 / 22 1 rr EE AB += 式中 A 與 B 為常數(shù)。于是矢量 r E 的終端在與波矢方向垂直的平面上描繪出一個橢圓。 證明：我們有 / cos() cos() r r Ebk xt Eak xt = = i i ，其中sin o aE=、 0cos bE= ， 由上兩式，有 / / arccos()arccos() rr EE k xt ba +=+= i / / arccos()arccos() rr EE ab = 22 / sinarccos()arccos()sin rr EE ab = 2 2 / sin arccos() cos arccos()cos arccos() sin arccos()sin rrrr EEEE abab += 2 222