人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)第22章二次函數(shù)22.2二次函數(shù)與一元二次方程講義

合作探究探究點(diǎn)1（高頻考點(diǎn)）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系情景激疑校運(yùn)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員擲鉛球，鉛球的高與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系式為，則此運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)是多少？知識(shí)講解一元二次方程的根的情況和二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是相互的，根據(jù)根的情況可以判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，反之也成立，下表是二次函數(shù)圖像與軸的位置關(guān)系與一元二次方程根的情況之間的聯(lián)系。拋物線與軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)（）一元二次方程的根的情況（）0有兩個(gè)有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根=0有一個(gè)有兩個(gè)相等數(shù)根0沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根典例剖析例1 已知拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn)。（1） 求的取值范圍；（2） 試確定直線經(jīng)過(guò)的象限，并說(shuō)明理由。解析 拋物線與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由確定。答案 （1）拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn)，0，即0，解得。（3） 0，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限。規(guī)律總結(jié)拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，也就是探究一元二次方程的根的情況，可由的符號(hào)構(gòu)造方程或不等式，求解即可。類(lèi)題突破1 二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3答案 B點(diǎn)撥 ，二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。類(lèi)題突破2 拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A.2 B.1 C.0 D.與有關(guān)答案 A點(diǎn)撥 0，故拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選A。類(lèi)題突破3 拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），（3,0），則方程的解為 。答案 類(lèi)題突破4 已知函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. 4 B.4 C.4且3 D.4且3答案 B點(diǎn)撥 當(dāng)-3=0即=3時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)，它的圖象與軸有交點(diǎn)；當(dāng)-30即3時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)，因?yàn)樗膱D象與軸有交點(diǎn)；則0，解得4。綜上，的取值范圍是4，故答案為B。探究點(diǎn)2 利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根知識(shí)講解利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根。（1） 先畫(huà)出函數(shù)的圖象；（2） 方法一：通過(guò)圖象觀察求一元二次方程的根； 方法二：通過(guò)取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍，求得一元二次方程的近似根。典例剖析例2 利用二次函數(shù)的圖象求的近似解（精確到0.1）。解析 畫(huà)出函數(shù)的圖象，由圖象與軸的交點(diǎn)的位置確定兩根的取值范圍，再利用計(jì)算器求得近似解。答案 列表：-3-2-1012345-52710111072-5描點(diǎn)連線如下圖。由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)根在3與2之間一個(gè)根在4與5之間。先求3與2之間的根，利用計(jì)算器進(jìn)行探索：2.42.32.22.10.560.110.761.39因此，=2.3是方程的一個(gè)近似根，另一個(gè)根可以類(lèi)似地求出：4.14.24.34.41.390.760.110.56因此，=4.3是方程的另一個(gè)近似根。規(guī)律方法根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐即為方程的解，所以可以利用函數(shù)的圖象，觀察圖象與軸的交點(diǎn)，從而求得方程的解，這一方法充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，在利用函數(shù)圖象解一元二次方程時(shí)，函數(shù)圖象盡可能地畫(huà)準(zhǔn)確，由于作圖和觀察的誤差，因此，求出的解都是近似解，為使結(jié)果更精確，可以通過(guò)取平均數(shù)的方法不斷縮小根的取值范圍，多次重復(fù)后，根所在范圍的兩端的值就越接近根的近似值。類(lèi)題突破5 畫(huà)出函數(shù)的圖象，求方程的近似解。（精確到0.1）答案 畫(huà)二次函數(shù)的圖象，如下圖，由圖象可知方程有兩個(gè)根，一個(gè)在2和1之間，另一個(gè)在0和1之間。先求2和1之間的根，利用計(jì)算器探索如下：1.11.21.31.41.51.61.70.890.760.610.440.250.040.19故這個(gè)根在1.6和1.7之間，且接近于1.6.故=1.6是方程的一個(gè)近似根.再求在0和1之間的根，探索如下：0.10.20.30.40.50.60.70.890.760.610.440.250.040.19故其另一個(gè)根是=0.6.點(diǎn)撥 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)的方程的解。類(lèi)題突破6 如下圖，是二次函數(shù)的圖象，那么一元二次方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)根在 和 之間，另一個(gè)根在 和 之間。答案 1 0 2 3重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，就化為一元二次方程。因此，當(dāng)拋物線與軸相交時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的根。當(dāng)拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相符的實(shí)數(shù)根，此時(shí)0；當(dāng)拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)=0；當(dāng)拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此時(shí)0.反之也成立。例1 已知二次函數(shù).（1） 該函數(shù)圖象與軸有幾個(gè)交點(diǎn)？（2） 試說(shuō)明一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系；（3） 試問(wèn)為何值時(shí)，函數(shù)的值為1？解析 （1）可利用一元二次方程求解.（2）拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元二次方程的實(shí)數(shù)根.（3）解，或利用函數(shù)圖象求解。答案 （1）對(duì)于二次函數(shù)，令，則有.而0，所以該函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)。（2）一元二次方程的根，可以看作二次函數(shù)在的值為7時(shí)的的值。（3） 直接解方程，解得.方法提示拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可通過(guò)相應(yīng)一元二次方程解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，也可以利用與0的大小關(guān)系來(lái)判斷。類(lèi)題突破1 二次函數(shù)的部分如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，另一個(gè)解（ ）A.1 B.1 C.2 D.0答案 B點(diǎn)撥 由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是=2，關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，即拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（5,0），根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），所以方程的另一個(gè)解是，故答案為B.類(lèi)題突破2 拋物線如圖所示，則=0的解為 ，0的解為 。答案 -2或-6-2或6點(diǎn)撥 =0的解為圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，0的解為在軸上方的圖象所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍.例2 求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo).解析 聯(lián)立兩方程，解方程組，求拋物線與直線的交點(diǎn)就是求解析式組成的方程組的解。答案 要求交點(diǎn)坐標(biāo)可把與組成方程組，解之得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1），（4,5）.類(lèi)題突破3 已知拋物線如圖所示，則關(guān)于的方程8=0的根的情況是（ ）A. 有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根答案 C點(diǎn)撥 拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，將拋物線向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度為拋物線8，此時(shí)拋物線8與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。類(lèi)題突破4 若，（）是方程（）（）=1（）的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)，的大小關(guān)系為（ ）A. B.C. D.答案 C點(diǎn)撥 畫(huà)出拋物線與直線，兩圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程=1的兩個(gè)根，即，而，是二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象知 .重難點(diǎn)2 求一元二次方程的近似解求一元二次方程的近似解有以下幾種常用的方法：（1） 直接畫(huà)出函數(shù)（）的圖象，則圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的近似解；（2） 先將方程變形為，再分別畫(huà)拋物線（）和直線，則兩圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的近似解；（3） 先將方程變形為，再分別畫(huà)拋物線和直線，則兩圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的近似解。例3 利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的解。解析 根據(jù)由函數(shù)圖象求方程的根的步驟求解。答案 解法一：畫(huà)出函數(shù)的圖象。如圖（1）所示，觀察圖象知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（-1,0）和（3,0）原方程的解為=-1，=3.解法二：畫(huà)出函數(shù)的圖象及直線，如圖（2）所示，觀察兩圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1,3.原方程的解為=-1，=3.解法三：畫(huà)出函數(shù)和的圖象，如圖（3）所示，觀察兩圖象的交點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別為-1,3.原方程的解為=-1，=3.圖（1） 圖（2） 圖（3）類(lèi)題突破5 利用圖象法解方程.答案 在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)和的圖象，如圖所示，觀察圖象的交點(diǎn)可知坐標(biāo)為（-3,12）和（2,2）,所以此方程的解為=2，=-3.點(diǎn)撥 函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解。易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1 利用根的判別式時(shí)考慮不全面例1 已知二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，求的取值范圍。錯(cuò)解 二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，0，且，且。錯(cuò)因分析 本題根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)只得到0而忽略了=0的情況導(dǎo)致出錯(cuò)。正解 二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，0，且，且。糾錯(cuò)心得 要注意拋物線與軸有交點(diǎn)時(shí)包括兩種情況：一個(gè)交點(diǎn)和兩個(gè)交點(diǎn)，故需0.易錯(cuò)點(diǎn)2 二次函數(shù)與一元二次方程解的估值問(wèn)題例2 已知二次函數(shù)中，函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如表，則方程=0的一個(gè)解的范圍是（ ）6.176.186.196.20-0.03-0.