人教版八年級(jí)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案：13.3 等腰三角形 講義

第二節(jié) 等腰三角形 講義一、課標(biāo)導(dǎo)航二、核心綱要1.等腰三角形 (1)定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角 (2)性質(zhì)兩腰相等兩底角相等（簡(jiǎn)稱為等邊對(duì)等角） 等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱為“三線合一”） 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線是對(duì)稱軸注：若則是ABC的中線、角平分線、高線.證明題目中的寫法：已知高線已知中線已知角平分線(3)判定有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）2等邊三角形(1)定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形(2)性質(zhì)：三邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于(3)判定三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形3直角三角形(1)定義：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形(2)性質(zhì)有一個(gè)角是兩銳角互余；如果一個(gè)銳角等于那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半(3)判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形4.等腰直角三角(1)定義：頂角為的等腰三角形叫做等腰直角三角形(2)性質(zhì)頂角等于底角等于兩直角邊相等；軸對(duì)稱圖形；三線合一(3)判定頂角為的等腰三角形，底角為的等腰三角形5等腰三角形的構(gòu)造(1)“角平分線十平行線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，OP平分則OCD是等腰三角形，如下右圖所示，OP平分則OCD是等腰三角形(2)“角平分線十垂線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是么BAC的平分線，ADIBC，得出等腰三角形(3)“角平分線十中線”構(gòu)造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是ZBAC的平分線，D是BC中點(diǎn)，則ABC是等腰三角形(4)“中點(diǎn)十垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）（如下右圖所示）(5)“平行十等腰”構(gòu)造等腰三角形已知等腰ABC，過腰或底上作腰或底的平行線6等腰三角形存在性的確定如下圖所示，在直線L上找一點(diǎn)C，使得ABC是等腰三角形以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線L于兩點(diǎn)以B為圓心，AB為半徑畫圓，交直線L于兩點(diǎn)作AB的中垂線交直線L于本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)構(gòu)造，一個(gè)確定，四個(gè)概念、性質(zhì)和判定三、全能突破基 礎(chǔ) 演 練1等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是( )A過頂點(diǎn)的直線 B底邊上的高 C底邊的中線 D頂角平分線所在的直線2等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是則另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為( )3(1)要使得ABC是等腰三角形，則需要滿足下列條件中的( )(2)下列條件能證明ABC為等腰三角形的是( )且AD平分于點(diǎn)D，且AD平分BC邊于點(diǎn)D，且AD平分BACA只有 B只有 C只有 D均可(3)如圖13 -21所示，在ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)0，給出四個(gè)條件：上述四個(gè)條件中，選擇兩個(gè)可以判定ABC是等腰三角形的方法有( )A2種 B3種 C4種 D6種4等腰三角形頂角為腰長(zhǎng)是4cm，則三角形的面積為 5(1)已知點(diǎn)P在OA上，且點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)是Q，則 (2)已知點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部，點(diǎn)和點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)和點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱，則三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是 角形，其周長(zhǎng)為 6(1)如圖13-2-2所示，在ABC中，ABC和ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，若則線段MN的長(zhǎng)為 (2)如圖13-2-3所示，已知和的平分線相交于點(diǎn)則OEF的周長(zhǎng)為 7.如圖13-2-4所示，若為則BE的長(zhǎng)為 8如圖13-2-5所示，在ABC中，求的度數(shù)能 力 提 升9如圖13-2-6所示，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，下列結(jié)論：其中完全正確的是( )A. B. C. D.10連接正五邊形對(duì)角線交出一個(gè)正五邊形則以圖13-2-7中線段為邊的三角形中，共有等腰三角形( )個(gè)11.如圖13 -28所示，在等邊三角形ABC中，與BE相交于點(diǎn)P，則APE的度數(shù)是( )12(1)如圖13-2-9所示，A、B兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)C也在 格點(diǎn)上，且ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有( )個(gè)(2)等邊ABC，在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使PBC、PAB、PAC均為等腰三角形，具備這樣條件的P點(diǎn)有( )個(gè) A.1個(gè) B4個(gè) C7個(gè) D10個(gè)13(1)如圖13 -2 -10所示，四邊形ABCD中，則四邊形ABCD中，最大的內(nèi)角的度數(shù)是( )(2)如圖13 -2 -11所示，已知0是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則的大小是( )14(1)等腰三角形的周長(zhǎng)為15cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm.則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為 (2)已知等腰三角形的兩條邊為10、16，那么它的周長(zhǎng)等于 15(1)等腰三角形底邊長(zhǎng)為6cm，一腰上的中線把它的周長(zhǎng)分成兩部分的差為2cm，則腰長(zhǎng)為 (2)已知ABC的周長(zhǎng)為于點(diǎn)D，若ABD的周長(zhǎng)為20，則AD的長(zhǎng)為 (3)已知等腰三角形的周長(zhǎng)為24，腰長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是 16.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為則這個(gè)等腰三角形的頂角為 17.如圖13 -2 -12所示，在ABC中，是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD的三等分點(diǎn)，若ABC的面積為則圖中陰影部分的面積為 18.如圖13 -2 -13所示，已知在ABC中，的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F求證：19如圖13 -2 -14所示，在ABC中，求證：20.如圖13 -2 -15所示，已知ABC是等腰直角三角形，是ABC的平分線，DEIBC，垂足為D.(1)請(qǐng)你寫出圖中所有的等腰三角形(2)請(qǐng)你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由(3)如果求的長(zhǎng)21.兩個(gè)全等的含角的三角板ADE和三角板ABC按圖13 -2 -16所示方式放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MC.試判斷EMC的形狀，并說明理由22.如圖13 -2 -17所示，在ABC中，平分于點(diǎn)D，且于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)H.(1)求證：(2)探究BH與CD的大小關(guān)系，并證明中 考 鏈 接23(1)如圖13 -2 -18所示，在RtABC中，的垂直平分線DE交于BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若則EF的長(zhǎng)是( )(2)如圖13 -2 -19所示，若則24.如圖13-2-20所示，ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點(diǎn)E、A在直線DC的同側(cè)，連接AE.求證：AEBC.巔 峰 突 破25.如圖132- 21所示，過邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作于點(diǎn)E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接PQ交邊AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為 26數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：(1)特殊情況探索結(jié)論 當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖13-2-23 (a)所示，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE DB（填“”，“”，“”或“=”）理由如下：如圖13-2-23(b)所示，過點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F，（請(qǐng)你完成以下解答過程）(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題 在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED= EC.若ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）27(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖13-2-24 (a)所示，D是等邊三角形ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊三角形DCF，連接AF.你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 (2)類比猜想：如圖13-2-24(b)所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊三角形ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與(1)相同，猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立？（直接寫出結(jié)論） (3)深入探究 如圖13-2-24(c)所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊三角形A