人教版高中數(shù)學(xué)選修22第二章第3節(jié)《數(shù)學(xué)歸納法典型例題》專題

數(shù)學(xué)歸納法典型例題【典型例題】 例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，。解析：當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，所以等式成立。假設(shè)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，等式也成立。由，可知，對一切等式都成立。點(diǎn)評：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由到時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)。（2）在本例證明過程中，（I）考慮“n取第一個(gè)值的命題形式”時(shí)，需認(rèn)真對待，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假，（II）步驟在由到的遞推過程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。本題證明時(shí)若利用數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法，即，則這不是歸納假設(shè)，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。（3）在步驟的證明過程中，突出了兩個(gè)湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由到時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。 例2. 。解析：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，命題成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即那么當(dāng)時(shí)，左邊上式表明當(dāng)時(shí)命題也成立。由（1）（2）知，命題對一切正整數(shù)均成立。 例3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式成立。解析：當(dāng)時(shí)，左=，右，左右，不等式成立。假設(shè)時(shí)，不等式成立，即那么當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式也成立。由，知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立。點(diǎn)評：（1）本題證明命題成立時(shí)，利用歸納假設(shè)，并對照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式成立。（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要注意兩個(gè)步驟缺一不可，第步成立是推理的基礎(chǔ)，第步是推理的依據(jù)（即成立，則成立，成立，從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立）。另一方面，第步中，驗(yàn)證中的未必是1，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2，3等；第步中，證明時(shí)命題也成立的過程中，要作適當(dāng)?shù)淖冃?，設(shè)法用上歸納假設(shè)。 例4. 若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論。解析：取，。令，得，而，所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，（1）時(shí)，已證結(jié)論正確（2）假設(shè)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有因?yàn)?，所以，所以，即時(shí)，結(jié)論也成立，由（1）（2）可知，對一切，都有，故a的最大值為25。 例5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。解析：方法一：令，（1）能被9整除。（2）假設(shè)能被9整除，則能被9整除。由（1）（2）知，對一切，命題均成立。方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，則時(shí)時(shí)也能被9整除。由（1），（2）可知，對任何，能被9整除。點(diǎn)評：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。 例6. 求證：能被整除，。解析：（1）當(dāng)時(shí)，命題顯然成立。（2）設(shè)時(shí)，能被整除，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被整除，故時(shí)命題成立。由（1）（2）可知，對，命題成立。 例7. 平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成個(gè)部分。解析：時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2部分，顯然命題成立。假設(shè)時(shí)，個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，當(dāng)時(shí)，第k+1個(gè)圓交前面k個(gè)圓于2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個(gè)區(qū)域，所以這k+1個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，即個(gè)部分。故時(shí)，命題成立 。由，可知，對命題成立。 點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析，在實(shí)在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。 例8. 設(shè)，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，使等式對于的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論。解析：當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，等式恒成立。當(dāng)時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立。假設(shè)成立，那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，等式也成立。由知，對一切的自然數(shù)n，等式都成立。故存在函數(shù)，使等式成立。點(diǎn)