人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課外輔導(dǎo)專題 全等三角形的認(rèn)識(shí)(有答案)

全等三角形的認(rèn)識(shí)全等三角形的概念和性質(zhì)知識(shí)導(dǎo)航一、 概念全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)角：完全重合時(shí)，互相重合的角為對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊：完全重合時(shí)，互相重合的邊為對(duì)應(yīng)邊如圖，若與全等，記作“”，其中頂點(diǎn)、分別與頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)注意：尋找全等三角形的對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊的一般規(guī)律是：把其中一個(gè)圖形通過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，能與另一個(gè)圖形完全重合，則重合的邊就是對(duì)應(yīng)邊，重合的角就是對(duì)應(yīng)角，表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，要把對(duì)應(yīng)字母寫在對(duì)應(yīng)位置上有公共邊時(shí)，則公共邊為對(duì)應(yīng)邊；有公共角時(shí)，則公共角為對(duì)應(yīng)角（對(duì)頂角為對(duì)應(yīng)角）；最大邊與最大邊（最小邊與最小邊）為對(duì)應(yīng)邊；最大角與最大角（最小角與最小角）為對(duì)應(yīng)角二、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等夯實(shí)基礎(chǔ)【例1】 如果，則的對(duì)應(yīng)邊是_，的對(duì)應(yīng)邊是_ ，的對(duì)應(yīng)角是_ ，的對(duì)應(yīng)角是_兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)_，兩個(gè)三角形的面積_（填“”、“=”、“”、“=”、“”） 如圖，若，則對(duì)應(yīng)結(jié)論； 中 正確結(jié)論共有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)如圖所示，若ABE ACF，且AB=5，AE=3，則EC的長(zhǎng)為（ ）A2 B3 C4 D2.5【解析】 ，=，=；C；A. 【例10】 如圖，已知，且，求的度數(shù).又【教師備選】如圖，ABC ADE中，BAAE，BAC=30，AD=5，求BD的長(zhǎng)【解析】由題意得：BAC=DAE=30，AB=AD，BAE=90，CAD=30，BAD=60，ABD是等邊三角形故可得：BD=AD=51. 全等三角形的判定（一）【引例】已知：如圖，求證：分析：要證，需證，只要證_證明：（ ） 即_ 在和中， _（ ）【解析】 分析：只要證證明：（已知） （等量加等量和相等） 即 在和中， （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） （同位角相等，兩直線平行） 【點(diǎn)評(píng)】 此題非?；A(chǔ)，就是要給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的書寫格式，每一步都要有理有據(jù)，老師們一定要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)到位，突出證明過程的重要性.【例11】 已知：如圖，、四點(diǎn)在同一直線上，AB=DE，BF=EC，AC=DFADFCBE求證：；又知D=30，DEC=15，求CFB的度數(shù)【解析】 AC=DF，即在和中，D=AD=A=30，DEC=ABF=15CFB=A+ABF=452. 全等三角形的判定（二）尺規(guī)作圖：已知，畫一個(gè)，使并判斷和是否全等【點(diǎn)評(píng)】 學(xué)生版方框內(nèi)需要填充.【例12】 如圖，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC求證：ABE CBD；若CAE=30，求BCD的度數(shù)【解析】 ABC=90，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ABE=CBD=90 . 在ABE和CBD中, ABE CBD (SAS) AB=CB，ABC=90， CAB=45. 又 CAE=30， BAE =15. ABE CBD， BCD=BAE =15. 3. 全等三角形的判定（三）【例13】 已知，如圖，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，1=2=3求證：BC=DE 【解析】1=2=3BAC=DAE 又DFC=AFEC=E 在ABC和ADE中ABC ADE (AAS)BC=DE 4. 全等三角形的判定（四）【例14】 已知：如圖，AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BC=DC，求證：BE=DF【解析】AC平分BADFAC=EAC又CEAB于E，CFAD于FF=CEA=90在FAC和EAC中FAC EAC (AAS)CF=CE，在RtBEC和RtDFC中RtBEC RtDFC (HL)BE=DF【探究對(duì)象】全等三角形中圖形所涉及的基本構(gòu)圖【探究目的】從構(gòu)圖角度更加熟悉全等三角形的圖形及常規(guī)解法，輔以全國(guó)中考題作為例題【探究一】共邊型平移對(duì)稱 (翻折) 【變式1】如圖，己知AC=BD，要使ABCDCB，則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是 (填一個(gè)即可) 【解析】AC=BD，BC是公共邊，要使ABCDCB，需添加：AB=DC（SSS）或ACB=DBC（SAS）【變式2】如圖，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，求證：DBC=DCB【解析】AD平分BAC，BAD=CAD 又AB=AC，AD=AD，BADCAD（SAS） BD=CD DBC=DCB【備注】等腰三角形基本知識(shí)請(qǐng)老師酌情補(bǔ)充【變式3】如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，A=D，B=C，求證：AB=DC【解析】點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，BE+EF=CFR+EF，即BF=CE在ABF和DCE中，A=D，B=C，BF=CE，ABF DCE（AAS） AB=DC【探究二】共角型【變式4】如圖：點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)O，AE=AD，要使ABE ACD，需添加一個(gè)條件是 （只需一個(gè)即可，圖中不能再添加其他點(diǎn)或線）【解析】A=A，AE=AD添加：ADC=AEB（ASA），B=C（AAS），AB=AC（SAS），BDO=CEO（ASA）可得ABE ACD 故填：ADC=AEB或B=C或AB=AC或BDO=CEO【變式5】如圖所示，AB=DB，ABD=CBE，要使ABC DBE，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 (只需添加一個(gè)即可) 【解析】ABD=CBE，ABD+ABE=CBE+ABE即ABC=DBE 又AB=DB添加：BDE=BAC （ASA），BE=BC （SAS），ACB=DEB （AAS）可得ABC DBE故填：BDE=BAC或BE=BC或ACB=DEB【探究三】平行型【變式6】如圖，ADBC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BC邊上，且GDF=ADF求證：ADE BFE【解析】ADBC，ADE=BFEE是AB的中點(diǎn)，AE=BE又AED=BEFADE BFE（AAS）【變式7】如圖，點(diǎn)E、F在AC上，ABCD，ABCD，AECF求證：ABF DCE【解析】 ABCD， AC AECF， AEEFCFEF，即 AFCE又 ABDC， ABF DCE（SAS）【變式8】如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一直線上，AD=EB，BCDF，C=F求證：AC=EF【解析】AD=EBADBD=EBBD，即AB=ED又BCDF，CBD=FDB ABC=EDF又C=F，ABC EDF（AAS）AC=EF【點(diǎn)評(píng)】此題AB=ED的證明，也可看成是共邊型【探究四】垂直型【變式9】如圖，在ABC中，C=90，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，DMAB，且AC=MD，過點(diǎn)M作MEBC交AB于點(diǎn)E求證：ABC MED【解析】MDAB，MDE=C=90MEBC，B=MED又AC=MDABC MED（AAS）【變式10】如圖，已知ABC中，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段DF的長(zhǎng)度為（ ）. A B 4 C D【解析】，AD是ABC的高在等腰RtABD中，AD=BDBDF=ADC=90，則根據(jù)“8字型”FBD=CADBDFADC（ASA）DF=CD=4，故選B【變式11】如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，CEBE，CE與AB相交于點(diǎn)F，ADCF于點(diǎn)D，且AD平分FAC，請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)全等三角形，并選擇其中一對(duì)加以證明【解析】ADC ADF、ADC CEB、ADF CEB（寫出其中兩對(duì)即可）證法一：若選擇ADC ADFAD平分FAC，CAD=FADADCF，ADC=ADF=90ADC ADF（ASA）證法二：若選擇ADC CEBADCE，BECE，ADC=CEB=90ACB=90，ACD+ECB=90又ACD+DAC=90，DAC=ECB又AC=CB，ADC CEB（AAS）【例15】 如圖所示為我國(guó)邊境線上某界河，其中A點(diǎn)在境外，我國(guó)地質(zhì)勘探人員在不跨越國(guó)界的情況下要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B間的距離，請(qǐng)你給出解決方案并加以證明【解析】可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC再作出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，這時(shí)測(cè)得的DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng) 證明：在ABC和EDC中ABC EDC（ASA）AB=ED【例16】 如圖所示，是的角平分線，你能找出圖中的全等三角形嗎？如果再加上呢？在的基礎(chǔ)上，連接交于，你能找出圖中的全等三角形嗎？在的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，你能找出圖中的全等三角形嗎？【解析】AEDAFD；AEDAFD，BED CFD，ABDACDABDACD，ADEADF，BDECDF，AEMAFM， DEM DFMABDACD，ADEADFBDECDF， AEMAFM DEM DFM【教師備選】為什么不能判定全等尺規(guī)作圖：已知線段和角，求作，使得，這樣的三角形有幾個(gè)？中，另：證明也可訓(xùn)練4. 如右圖所示，與交于，于，于，那么圖中全等的三角形有哪幾對(duì)？并簡(jiǎn)單說明理由【解析】 7對(duì)：理由略訓(xùn)練5. 請(qǐng)分別按給出的條件畫（不寫畫法），并說明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，為什么？【解析】 只有所作的三角形不唯一訓(xùn)練6. 我們知道，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等那么在什么情況下，它們會(huì)全等？ 請(qǐng)你畫圖舉例說明兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不全等； 閱讀與證明：對(duì)于兩個(gè)三角形均為銳角三角形，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形它們?nèi)? 可證明如下：已知：、均為銳角三角形，求證：（先把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言）證明：分別過點(diǎn)，作于，于，則 ，（如果需要添加輔助線，先說明輔助線做法） 在和中，在和中，在和中，對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)葘?duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)饶銈儊碓囋嚢?！歸納與敘述：由、可得到一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)你寫出這個(gè)結(jié)論【解析】 ；略；若、均為銳角三角形或均為直角三角形或均為鈍角三角形，且，則課后作業(yè)：（小測(cè)）題型一 全等三角形的概念和性質(zhì) 鞏固練習(xí)【練習(xí)6】 判定兩個(gè)三角形全等的方法是： ； ； ；全等三角形的性質(zhì)是對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、周長(zhǎng)、面積都分別 兩個(gè)三角形具備下列（ ）條件，則它們一定全等A兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等B三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等C兩角和一組對(duì)應(yīng)邊相等D兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等 下列命題錯(cuò)誤的是（ ） A全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等B全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等C全等三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線相等D有兩邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【解析】 定義，；相等C；D【練習(xí)7】 如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，若 ，則的度數(shù)為_題型二 全等三角形的判定 鞏固練習(xí)ACEDB【練習(xí)8】 已知：如圖，為上一點(diǎn)，點(diǎn)分別在兩側(cè)，求證：在和中，【練習(xí)9】 如圖所示，已知，垂足分別為、，試證明【分析】 法一，根據(jù)題目中給出的條件，可以利用“HL”證明，得到，然后再利用“AAS”證明，即可得出法二，此題在證明了后，根據(jù)全等三角形的面積相等，即，而這兩個(gè)三角形又是同底的，可以得出高等于高【解析】 法一：，在和中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角