格林公式·曲線積分與線路的無關(guān)性.ppt

3 格林公式曲線積分與線路的無關(guān)性,一 格林公式,主題：平面區(qū)域D上的二重積分與D的邊界L上的 第二型曲線積分的關(guān)系,1. 單連通區(qū)域, 復(fù)連通區(qū)域, 區(qū)域邊界的方向,(單連通區(qū)域),(復(fù)連通區(qū)域),區(qū)域邊界的方向:,當(dāng)人沿邊界行走時, 區(qū)域D總在其左邊, 該方向為邊界的正向, 相反為邊界的負(fù)向.,2. 格林公式,定理22.3,若函數(shù)P(x,y), Q(x,y) 平面有界閉區(qū)域D上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則,其中L為D的邊界曲線, 并取正向.,(1),公式(1)可表示為:,(2),若L為復(fù)連通區(qū)域,則L不止是一條曲線.,2. 格林公式,其中L為D的邊界曲線, 并取正向.,(1),證:,只要證,(i),設(shè)D為x型區(qū)域,同理可證:,(ii),若D由一條按段光滑的閉曲線圍成,如圖所示, 將D分為D1, D2, D3,由(i)易得結(jié)論.,(iii),對復(fù)連通區(qū)域可作類似討論.,定理22.3,若函數(shù)P(x,y), Q(x,y) 平面有界閉區(qū)域D上連續(xù), 且有 連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則,注:,兩個條件: P(x,y), Q(x,y) 及它們的偏導(dǎo)數(shù)都在D連續(xù); D為有界閉區(qū)域;,(ii) 表明曲線積分與二重積分之間的關(guān)系.,(iii) 可利用二重積分計算曲線積分, 可利用曲線積分計算二重積分,3. 例,例1,計算,其中曲線AB是半徑為r的圓在第一象限部分.,A,B,o,D,解:,P(x,y)=0, Q(x,y)=x,都在以半徑為r的四分之一圓域D連續(xù).,在D上用格林公式, 得,其中L的封閉曲線: AOBA,所以,例2,計算,其中L為任一不包含原點的閉區(qū)域的邊界線.,D,L,解:,因為,顯然, P(x,y), Q(x,y) 及其偏導(dǎo)數(shù)都在D連續(xù),由格林公式, 得,例3,計算,其中L為圓心在原點半徑為r 的圓周(取正向).,解:,L的參數(shù)方程為,注意r 的任意性.,例4,計算,其中L為以原點內(nèi)點的有界閉區(qū)域的邊界 (取正向).,L,解:,任作圓心在原點, 含于L內(nèi)的圓周L1(設(shè)其半徑為r).,L1,設(shè)L與L1圍成的區(qū)域為D, 則由例2, 沿D的 邊界的正向的第二型曲線積分為0, 即,其中L取逆時針方向, L1取順時針方向.,(根據(jù)例3),4. 區(qū)域面積的曲線積分形式,若P(x,y)= - y, Q(x,y)=x, 則有,故D的面積為:,例5,求由星形線,所圍成的面積.,解:,由上所述, 所求的面積為,應(yīng)用格林公式計算第二型曲線積分:,其中L為圓周,的正向.,其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5),為頂點的三角形,方向取正向.,其中m為常數(shù),AB為由(a,0)到(0,0)經(jīng)過,上半部的路線.,二 曲線積分與路線的無關(guān)性,例,計算,其中：,(i) 沿拋物線 y=2x2, 從O到B的一段；,(ii) 沿直線 y=2x 從O到B的一段；,(iii) 沿封閉線路OABO。,解:,(i),(ii),(ii),定理22.4 設(shè)D為平面單連通閉區(qū)域. 若函數(shù)P(x,y), Q(x,y)在D內(nèi)連續(xù), 且有 一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù), 則以下四個條件等價:,(i) 沿D中任一按段光滑的閉曲線L, 有,(ii) 沿D中任一按段光滑的曲線L,與線路無關(guān), 只與L的起點終點有關(guān);,(iii),是D內(nèi)某一函數(shù)的,的全微分, 即存在,D內(nèi)的函數(shù),(iv) 在D的每一點處, 有,證:,(i),(ii),(i) 沿D中任一按段光滑的閉曲線L, 有,(ii) 沿D中任一按段光滑的曲線L,與線路無關(guān), 只與L的起點終點有關(guān);,A,B,R,S,設(shè)ARB與ASB為聯(lián)結(jié)點A, B的任兩條光滑曲線.,由(i),由ARB與ASB的任性, 故(ii)得證.,證:,(ii),(iii),(ii) 沿D中任一按段光滑的曲線L,與線路無關(guān), 只與L的起點終點有關(guān);,(iii),是D內(nèi)某一函數(shù)的,的全微分, 即存在,D內(nèi)的函數(shù),由(ii)知,曲線積分,與積分路線無關(guān), 故當(dāng)B(x,y)在D內(nèi)變動時, 其積分 值為B(x,y)的函數(shù).,記,以下證:,記,以下證:,由積分中值定理, 得,所以,同理可證:,(iii),(iv),(iii),是D內(nèi)某一函數(shù)的,的全微分, 即存在,D內(nèi)的函數(shù),(iv) 在D的每一點處, 有,由(iii)有,又P(x,y), Q(x,y) 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，故,(iv),(i),(iv) 在D的每一點處, 有,(i) 沿D中任一按段光滑的閉曲線L, 有,設(shè)L為D中任一按段光滑的閉曲線L,記L圍成的區(qū)域為D1.,由于D為單連通區(qū)域, 故D1含在D內(nèi). 在D1應(yīng)用格林公式, 并注意到,得,定理22.4 設(shè)D為平面單連通閉區(qū)域. 若函數(shù)P(x,y), Q(x,y)在D內(nèi)連續(xù), 且有 一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù), 則以下四個條件等價:,(i) 沿D中任一按段光滑的閉曲線L, 有,(ii) 沿D中任一按段光滑的曲線L,與線路無關(guān), 只與L的起點終點有關(guān);,(iii),是D內(nèi)某一函數(shù)的,的全微分, 即存在,D內(nèi)的函數(shù),(iv) 在D的每一點處, 有,注:,1) D為單連通區(qū)域,L,L1,D,例,考察,其中L為復(fù)連通區(qū)域D的邊界(取正向).,則,滿足(iv): 在D的每一點處, 有,滿足(i)?,2) 通常用(iv)來判斷第二型曲線積分與線路的無關(guān)性:,例 判斷下列積分是否與積分線路有關(guān):,(1),(2),L為右半平面的路線.,(3),L為不包圍原占的路線.,(4),(x),(y)為連續(xù)函數(shù).,3) 當(dāng)與線路無關(guān)時，從A(x0,y0)到B(x1,y1)的第二型曲線積分可表示為,4) 當(dāng)與線路無關(guān)時，可選擇適當(dāng)?shù)穆肪€計算第二型曲線積分,例 計算下列第二型曲線積分:,(1),(2),L為右半平面的路線.,(3),L為不包圍原占的路線.,(4),(x),(y)為連續(xù)函數(shù)