概統(tǒng)42隨機(jī)變量及其分布.ppt

4.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布,定義,若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限 個或可列個, 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,分布律的性質(zhì),X ,或,F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取 值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點為第一類跳躍間 斷點,在間斷點處有躍度 pk .,其中 .,解,例1 設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng) 過 4 盞信號燈, 每盞信號燈獨立地 以概率 p 允許汽車通過.,首次停下時已通過的信號燈盞數(shù), 求 X 的概 率分布與 p = 0.4 時的分布函數(shù).,令 X 表示,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,1,用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率,例2 在上例中, 分別用分布律與分布函數(shù)計 算,解,或,此式應(yīng)理解為極限,例3 一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo) 必須被擊中r 次才能被摧毀. 若每次擊中目 標(biāo)的概率為p (0 p 1), 且各次轟擊相互獨 立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需 轟擊次數(shù) X 的概率分布.,帕斯卡 分 布,注,利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì),當(dāng),歸納地,令,(1) 0 1 分布,是否超標(biāo)等等.,凡試驗只有兩個結(jié)果, 常用0 1,分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人,口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗,0 p 1,或,(2) 二項分布,n 重Bernoulli 試驗中, X 是事件A 在 n 次試 驗中發(fā)生的次數(shù) , P (A) = p ,若,則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項分布，記作,01 分布是 n = 1 的二項分布,二項分布的取值情況,設(shè),由圖表可見 , 當(dāng) 時，,分布取得最大值,此時的 稱為最可能成功次數(shù),設(shè),由圖表可見 , 當(dāng) 時，,分布取得最大值,二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo),則稱 為最可能出現(xiàn)的次數(shù),當(dāng)( n + 1) p 整數(shù)時, 在 k = ( n + 1) p 處的概率取得最大值,例4 獨立射擊5000次, 命中率為0.001,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,求 (1) 最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；,(2) 命中次數(shù)不少于1 次的概率.,(2) 令X 表示命中次數(shù),則 X B(5000,0.001),本例 啟示,由此可見日常生活中“提高警惕, 防火,由于時間無限, 自然界發(fā)生地震、海,嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的,同樣, 人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕,癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正常,現(xiàn)象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不開而,防盜”的重要性.,事，不用奇怪，不用驚慌.,跳樓自殺.,啟示,Poisson定理說明若X B( n, p), 則當(dāng)n 較大， p 較小, 而 適中, 則可以用近似公式,問題 如何計算 ？,證,記,類似地, 從裝有 a 個白球，b 個紅球的袋中 不放回地任取 n 個球, 其中恰有k 個白球的 概率為,對每個 n 有,結(jié) 論,超幾何分布的極限分布是二項分布,二項分布的極限分布是 Poisson 分布,解 令X 表示命中次數(shù), 則,令,此結(jié)果也可直接查 P.378 附表2 泊松 分布表得到，它與用二項分布算得的結(jié)果 0.9934僅相差萬分之一.,利用Poisson定理再求例4 (2),X B( 5000,0.001 ),由題意,多少個產(chǎn)品？,得 n +1 = 6 , n = 5,故每箱至少應(yīng)裝105個產(chǎn)品,才能符合要求.,應(yīng)用Poisson定理,在實際計算中,當(dāng) n 20, p 0.05時, 可用上 述公式近似計算; 而當(dāng) n 100, np 10 時, 精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,在Poisson 定理中，,由此產(chǎn)生了一種離散型隨機(jī)變量的概率分布 Poisson 分布,(3) Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,在某個時段內(nèi)：,大賣場的顧客數(shù)；,某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；,市級醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)., ,一個容器中的細(xì)菌數(shù)；,一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；,一匹布上的疵點個數(shù)；, ,放射性物質(zhì)發(fā)出的 粒子數(shù)；,都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī) 質(zhì)點流 , 若它們滿足一定的條件, 則稱為 Poisson 流, 在 長為 t 的時間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì) 點數(shù) Xt P ( t ),例6 設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機(jī)變 量 X ,設(shè)各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是 相互獨立的.,已知X P()，且每個蟲卵發(fā)育,成幼蟲的概率為 p.,求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù) Y 的概率分布.,解,昆蟲,X 個蟲卵,Y 個幼蟲,已知,由全概率公式,故,作業(yè) P46,4 6 10,自動生產(chǎn)線調(diào)整以后出 現(xiàn)廢品的概率為 p, 當(dāng)生產(chǎn) 過程中出現(xiàn)廢品時立即重新 進(jìn)行調(diào)整, 求在兩次調(diào)整之 間的合格產(chǎn)品數(shù)的分布.,問 題,已知運(yùn)載火箭在飛行中進(jìn)入其儀,器艙的宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為 2 的泊,松分布. 而進(jìn)入儀器艙的粒子隨機(jī)落,到儀器重要部位的概率為 0.1, 求落到,儀器重要部位的粒子數(shù)的概率分布 .,問題,Blaise Pascal 1623-1662,帕斯卡,法國數(shù)學(xué)家 物理學(xué)家 思想家,帕斯卡四歲喪母, 在父親精心培養(yǎng) 下, 16歲時發(fā)現(xiàn)帕斯卡六邊形定理,寫成 圓錐曲線論,由此定理導(dǎo)出400余條 推論, 這是古希臘阿波羅尼奧斯以來圓 錐曲線論的最大進(jìn)步.,帕斯卡簡介,1642年發(fā)明世界上第一臺機(jī)械加法 計算機(jī)帕斯卡計算器.,他應(yīng)用此方法解決了擺線問題.,1654年研究二項系數(shù)性質(zhì),寫出 論算術(shù)三角形一文,還深入討論 不可分原理,這實際上相當(dāng)于已知道,1647年他發(fā)現(xiàn)了流體靜力學(xué)的帕斯卡原理.,三十歲時他曾研究過賭博問題, 對早期概率論的發(fā)展頗有影響.,1658年完成了擺線論,這給 G.W.萊布尼茨以很大啟發(fā),促使了微 積分的建立.,在離散型隨機(jī)變量的分布中有個 以帕斯卡名字命名的分布，它應(yīng)用于 重復(fù)獨立試驗中，事件發(fā)生 次的場,帕斯卡還寫過不少文學(xué)著作.,1654年他進(jìn)入修道院,獻(xiàn)身于哲,合.而有名的幾何分布正是其 時的特例.,學(xué)和宗教.,解 (1) 設(shè) 需要配備 N 個維修工人,設(shè) X 為90 臺,設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則 X B( 90, 0.01),自學(xué)