例題與探究（§5.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入）

高手支招3綜合探究1.含有參數(shù)形式的復(fù)數(shù)何時(shí)表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).此類(lèi)問(wèn)題是涉及到復(fù)數(shù)的分類(lèi)及各自概念,在理解的基礎(chǔ)上注意它們的聯(lián)系與區(qū)別,以此作為判斷它們?yōu)閷?shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件.復(fù)數(shù)z=a+bi當(dāng)且僅當(dāng)b0時(shí)為虛數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)為實(shí)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b0為純虛數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=0時(shí)為0.下面以3m+9+(m2+5m+6)i,m為何值時(shí)表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)為例說(shuō)明.(1)若表示實(shí)數(shù)則:m2+5m+6=0(即虛部必須為零);(2)若表示虛數(shù)則:m2+5m+60(即虛部不能為零);(3)若表示純虛數(shù)則:3m+9=0且m2+5m+60(即實(shí)部必須為零,虛部不能為零).2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件及應(yīng)用時(shí)應(yīng)特別注意的問(wèn)題.因?yàn)閺?fù)數(shù)可以用向量來(lái)表示,所以可以結(jié)合向量相等來(lái)理解.在向量坐標(biāo)表示中,兩個(gè)向量相等則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)要相等.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)部與虛部分別相等.在兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件中,注意前提條件是a、b、c、dR,即當(dāng)a、b、c、dR時(shí),a+bi=c+di但忽略條件后,則不能成立,因此解決復(fù)數(shù)相等問(wèn)題,一定要把復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分離出來(lái).再利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,化復(fù)數(shù)問(wèn)題為實(shí)數(shù)問(wèn)題.3.復(fù)系數(shù)一元二次方程根的問(wèn)題與實(shí)系數(shù)一元二次方程根的問(wèn)題.利用復(fù)數(shù)相等可解決復(fù)系數(shù)方程根的問(wèn)題,如果復(fù)系數(shù)方程有實(shí)根,我們將其中的未知數(shù)視為等式中的一個(gè)實(shí)數(shù),將方程變形化簡(jiǎn)為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問(wèn)題.這里要特別注意,方程有實(shí)根務(wù)必注意不能用判別式0來(lái)處理方程的根的問(wèn)題,否則出錯(cuò). 如果復(fù)系數(shù)一元二次方程無(wú)實(shí)根,則同樣不能用0來(lái)處理.此時(shí),方程有復(fù)數(shù)根,可設(shè)方程的根為z=m+ni(m,nR),然后,化簡(jiǎn)方程,使方程變形化簡(jiǎn)為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問(wèn)題.另外,當(dāng)實(shí)系數(shù)一元二次方程無(wú)實(shí)根時(shí),方程的判別式0,此時(shí)雖無(wú)實(shí)根,但有虛數(shù)根,如實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR)無(wú)實(shí)根,則其有兩個(gè)虛根,分別為:x=. 當(dāng)然,也可以設(shè)方程的根為z=m+ni(m,nR),然后,化簡(jiǎn)方程,使方程變形化簡(jiǎn)為s+ti=0(s,tR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問(wèn)題.高手支招4典例精析【例1】 如果用C、R和I分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集和純虛數(shù)集,其中C為全集,那么有（ ）A.CRI B.RI C.RCI D.RI思路分析:復(fù)數(shù)系的構(gòu)成是復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)由此不難判斷正確答案為D項(xiàng).答案:D【例2】 若z1=sin2+icos,z2=cos+isin,當(dāng)z1=z2時(shí)的值為（ ）A.k B.2k+C.2k D.2k+(以上kZ)思路分析:由已知z1=z2,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,然后解三角方程即得.z1=z2,=2k+（kZ）.故選D項(xiàng).答案:D【例3】 m為何實(shí)數(shù)時(shí),復(fù)數(shù)z=+(m2+3m-10)i(1)是實(shí)數(shù);(2)是虛數(shù);(3)是純虛數(shù).思路分析:利用復(fù)數(shù)分類(lèi),是實(shí)數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的虛部為零即可;是虛數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的虛部不為零即可;是純虛數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的實(shí)部為零,虛部不為零即可.解:(1)令m2+3m-10=0,得m=2或m=-5.分母m2-250,m-5.m=2;(2)令m2+3m-100,又分母m2-250,得m2,且m-5,且m5;(3)令m2+3m-100,得m=.【例4】 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)位于第四象限;(2)位于x軸的負(fù)半軸上:思路分析:復(fù)數(shù)a+bi(a,bR)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)：對(duì)于(1)應(yīng)滿(mǎn)足對(duì)于(2)應(yīng)滿(mǎn)足解:(1)由已知-7m3.(2)由已知解之得:m=4.【例5】 已知aR,問(wèn)復(fù)數(shù)z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是什么？思路分析:根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限,與復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號(hào)有關(guān).所以本題的關(guān)鍵是判斷a2-2a+4與-(a2-2a+2)的符號(hào).而求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題,首先把z表示成z=x+yi的形式,然后尋求x,y之間的關(guān)系,但要注意參數(shù)限定的條件.解:a2-2a+4=(a-1)2+33,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1-1.由此可知,z的實(shí)部為正數(shù),z的虛部為負(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限.設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR),則消去a2-2a得y=-x+2(x3),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一條射線,其方程為y=-x+2(x3).【例6】 用復(fù)數(shù)表示下圖各題的陰影部分.思路分析:本題關(guān)鍵在于要設(shè)出復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yC),并利用其坐標(biāo)在復(fù)平面內(nèi)的范圍寫(xiě)出用復(fù)數(shù)表示平面區(qū)域中陰影部分的圖形.解:設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR),則有:(1)z|z=x+yi,1x3;(2)z|z=x+yi,x3,y1;(3)z|z=x+yi,1|z|2,x0,y0;(4)z|z=x+yi,|y|x,x0.宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的教師稱(chēng)謂皆稱(chēng)之為“教諭”。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱(chēng)“教習(xí)”。到清末，學(xué)堂興起，各科教師仍沿用“教習(xí)”一稱(chēng)。其實(shí)“教諭”在明清時(shí)還有學(xué)官一意，即主管縣一級(jí)的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者則謂“教授”和“學(xué)正”。“教授”“學(xué)正”和“教諭”的副手一律稱(chēng)“訓(xùn)導(dǎo)”。于民間，特別是漢代以后，對(duì)于在“?！被颉皩W(xué)”中傳授經(jīng)學(xué)者也稱(chēng)為“經(jīng)師”。在一些特定的講學(xué)場(chǎng)合，比如書(shū)院、皇室，也稱(chēng)教師為“院長(zhǎng)、西席、講席”等?！纠?】 設(shè)z1=-i,z2=-i,zC.若全集I=z|z|z1|,zC,A=z|z|z2|,zC,那么中所有z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么圖形？思路分析:解決復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的幾何圖形問(wèn)題,要熟練掌握兩點(diǎn):復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(x,y);|z|的幾何含義為z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z與原點(diǎn)的距離.本題關(guān)鍵是求出|z|的取值范圍,就可確定z在復(fù)平面上的圖形.解:由已知:|z1|=3,|z2|=1,I=z|z|3,zC,A=z|z|1,zC,=z|1|z|3,zC,中的z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合應(yīng)是與原點(diǎn)距離大于1而不大于3的所有點(diǎn).中的所有z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心,以1和3為半徑的圓所夾的圓環(huán),但不包括小圓的邊界(如圖).【例8】 設(shè)zC,滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)|z|=2;(2)2|z|3.解:(1)因?yàn)閨z|=2,即|=2,如果設(shè)z=x+yi(x,yR）,所以滿(mǎn)足|z|=2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓.(2)不等式2|z|2的點(diǎn)的集合是圓|z|=2外部所有的點(diǎn)組成的集合,滿(mǎn)足不等式|z|3的點(diǎn)的集合是圓|z|=3內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合,這兩個(gè)集合的交集就是上述不等式組的解所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合.因此,滿(mǎn)足條件2|z|3的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,分別以2和3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán),但不包括圓環(huán)的邊界.如下圖所示.高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1.對(duì)于復(fù)數(shù)用非標(biāo)準(zhǔn)形式給出,應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式a+bi的形式,使復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化,這是解復(fù)數(shù)問(wèn)題的基本思想,也是化歸思想的重要表現(xiàn).2.對(duì)于復(fù)數(shù)分類(lèi)問(wèn)題的求解,主要包含四類(lèi):是實(shí)數(shù),是虛數(shù),是純虛數(shù),是零.是實(shí)數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部為零;是虛數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部不為零;是純虛數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部不為零,同時(shí)要使復(fù)數(shù)的實(shí)部為零;是零就必須使復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部均為零.3.對(duì)于涉及到利用復(fù)數(shù)相等的問(wèn)題,求解時(shí)關(guān)鍵是要抓住兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件,從而將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題的主要方法.此外,要明確由一個(gè)復(fù)數(shù)等式可得到兩個(gè)實(shí)數(shù)等式這一性質(zhì),并在解題中會(huì)運(yùn)用它.語(yǔ)文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對(duì)提高學(xué)生的水平會(huì)大有裨益?，F(xiàn)在,不少語(yǔ)文教師在分析課文時(shí),把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費(fèi)勁,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒(méi)過(guò)幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的尷尬局面的關(guān)鍵就是對(duì)文章讀的不熟。常言道“書(shū)讀百遍,其義自見(jiàn)”,如果有目的、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽(tīng)讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫(xiě)作技巧,可以在讀中自然加強(qiáng)語(yǔ)感,增強(qiáng)語(yǔ)言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、寫(xiě)作技巧和語(yǔ)感就會(huì)自然滲透到學(xué)生的語(yǔ)言意識(shí)之中,就會(huì)在寫(xiě)作中自覺(jué)不自覺(jué)地加以運(yùn)用、創(chuàng)造和發(fā)展。4.在設(shè)復(fù)數(shù)的過(guò)程中常設(shè)為z=a+bi(a,bR);在有關(guān)的解決軌跡問(wèn)題中常設(shè)z=x+yi從而與解析幾何聯(lián)系起來(lái);當(dāng)復(fù)數(shù)的模為1時(shí)也可以設(shè)為z=cos+isin用三角函數(shù)解決相關(guān)最值等.家庭是幼兒語(yǔ)言活動(dòng)的重要環(huán)境，為了與家長(zhǎng)配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開(kāi)家長(zhǎng)會(huì)，給家長(zhǎng)提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動(dòng)及閱讀情況及時(shí)傳遞給家長(zhǎng)，要求孩子回家向家長(zhǎng)朗誦兒歌，表演故事。我和家長(zhǎng)共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀能力提高很快。5.復(fù)數(shù)相等是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題常用的方法,這是一個(gè)將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的過(guò)程,轉(zhuǎn)化后再用實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相關(guān)方法來(lái)解.6.在判定復(fù)系數(shù)一元二次方程根的問(wèn)題時(shí)不能用判定實(shí)系數(shù)一元二次方程根的問(wèn)題的方法來(lái)解決,否則就會(huì)出錯(cuò).如果復(fù)系數(shù)一元二次方程有實(shí)根,那么就將未知數(shù)視作實(shí)數(shù),將方程化為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件解之.其實(shí),任何一門(mén)學(xué)科都