測量誤差及其產(chǎn)生的原因.ppt

1,測量誤差及其產(chǎn)生的原因 測量誤差的分類與處理原則 偶然誤差的特性 精度評定的指標 誤差傳播定律及其應用,第五章 測量誤差基本知識,本章主要內(nèi)容如下：,2,一、觀測誤差 當對某觀測量進行觀測，其觀測值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱為測量誤差。 用數(shù)學式子表達： i = Li X (i=1,2n) L 觀測值 X真值,5-1 測量誤差概述,1、儀器的原因 儀器結(jié)構(gòu)、制造方面，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測結(jié)果的精確度受到一定限制。,二、測量誤差的來源 測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有以下三個方面：,3,例 如： DJ6型光學經(jīng)緯儀基本分劃為1，難以確保分以下 估讀值完全準確無誤。 使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米以下估讀值的準確性。,儀器構(gòu)造本身也有一定誤差。 例 如： 水準儀的視準軸與水準軸不平行，則測量結(jié)果中含有i 角誤差或交叉誤差。 水準尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準尺的分劃誤差。,4,2、人的原因 觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測者的習慣因素、工作態(tài)度、技術熟練程度等也會給觀測者成果帶來不同程度的影響。,人、儀器和外界環(huán)境通常稱為觀測條件； 觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測； 觀測條件不相同的各次觀測稱為不等精度觀測。,3、外界條件 例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風力、大氣折光等因素的變化，均使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。 例如：溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮陽光曝曬使水準氣泡偏移，大氣折光使望遠鏡的瞄準產(chǎn)生偏差，風力過大使儀器安置不穩(wěn)定等。,5,三、測量誤差的分類,先作兩個前提假設： 觀測條件相同. 對某一量進行一系列的直接觀測在此基礎上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號及變化規(guī)律。,6,先看兩個實例： 例1：用名義長度為30米而實際長度為30.04米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見下表5-1： 表5-1,可以看出： 誤差符號始終不變，具有規(guī)律性。 誤差大小與所量直線成 正比，具有累積性。 誤差對觀測結(jié)果的危害性很大。,7,例 2： 在厘米分劃的水準尺上估讀毫米時，有時估讀過大，有時估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶然。 大氣折光使望遠鏡中目標成像不穩(wěn)定，則瞄準目標有時偏左、有時偏右。,可以看出： 從個別誤差來考察，其符號、數(shù)值始終變化，無任 何規(guī)律性。 多次重復觀測，取其平均數(shù)，可抵消一些誤差的影響。,8,1.系統(tǒng)誤差 - 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。 系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。,2.偶然誤差-在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列 的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面 上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。 個別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。,3.粗差-觀測中的錯誤叫粗差。 例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標等。 錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤。 一旦發(fā)現(xiàn)，應及時更正或重測。,引進如下概念：,9,(二) 測量誤差的處理原則,在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。 系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應盡可能地加以改正、抵消或削弱。 對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多次觀測，消弱其影響。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。 采用合理的觀測方法：如對向觀測。 研究偶然誤差是測量學的重要課題。 消除或削弱偶然誤差的有效方法： 適當提高儀器等級。 進行多余觀測，求最或是值。,10,四、 偶然誤差的特性,若i= Li X （i=1,2,3,358）,表5-2,11,從表5-2中可以歸納出偶然誤差的特性, 在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值； 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小； 絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的頻率； 當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。 用公式表示為： 實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當觀測的個數(shù)愈大 時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。,為了直觀地表示偶然誤差的正負和大小的分布情況，可以按表5-2的數(shù)據(jù)作誤差頻率直方圖(圖5-1)。,12,-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 圖5-1 頻率直方圖,13,若誤差的個數(shù)無限增大(n)，同時又無限縮小誤差的區(qū)間d，則圖5-1中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“正態(tài)分布曲線”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P。 即當n時，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為 : (5-3) 為標準差，標準差的平方為 方差。,14,從5-3式可以看出正態(tài)分布具有前述的偶然誤差特性。即: 1.f()是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負誤差求得的f()相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。 2.愈小，f()愈大。當=0時，f()有最大值; 反之，愈大，f()愈小。當n時，f() 0,這就是偶然誤差的第一和第二特性。 3.如果求f()二階導數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點橫坐標： 拐= 如果求f()在區(qū)間 的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對次數(shù)是某個定值 ，所以當 愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差分布比較密集；當 愈大時，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù) 的值表征了誤差擴散的特征。,15,f(),+,-,1,1,1,2,1,-,+,f(),2,+,-,2,2,1,2,2,1,16,觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù) ； 觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù) ； 具有較小 的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較陡的趨勢迅速下降； 具有 較大 的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較平緩的趨勢伸展。,最大縱坐標點：,17,5-2 衡量觀測值精度的標準,一.中誤差 誤差的概率密度函數(shù)為： 標準差,在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述誤差公式： 標準差中誤差 m 的不同在于觀測個數(shù) n 上； 標準差表征了一組同精度觀測在(n)時誤差分布的擴散特征，即理論上的觀測指標； 而中誤差則是一組同精度觀測在為 n 有限個數(shù)時求得的觀測精度指標； 所以中誤差是標準差的近似值估值； 隨著 n 的增大，m 將趨近于。,18,必須指出： 同精度觀測值對應著同一個誤差分布，即對應著同一個標準差，而標準差的估計值即為中誤差。 同精度觀測值具有相同的中誤差。 例3: 設對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進行了10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為 第一組： +3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3, -1； 第二組： 0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1. 試求這兩組觀測值的中誤差。 由 解得：m1=2.7 m2=3.6 可見：第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。,19,二、容許誤差（極限誤差）,根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d中的概率： p()=f()d 設以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以k=1,2,3代入上式，可得： P(m)=0.683=68.3 P(2m)=0.955=95.5 P(3m)=0.997=99.7 由此可見：偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5，而大于3倍的誤差僅占誤差總數(shù)的0.3。 由于一般情況下測量次數(shù)有限，3倍中誤差很少遇到， 故以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差”，或 稱為“限差”即容=2m,20,三、相對誤差,在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。 例如: 用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關。 為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。 相對中誤差又可要求寫成分子為1的分式，即 。 上例為 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可見: 前者的精度比后者高。 與相對誤差相對應，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對誤差。,21,5-3 誤差傳播定律,若 Z=F（x1,x2,x3,，xn） 式中xi(i=1,2,3,，n)為獨立觀測值，其中誤差為mi (i=1,2,3,，n),求觀測值函數(shù)的中誤差mz。當觀測值xi分別具有真誤差xi時，則函數(shù)z也隨之產(chǎn)生相應的真誤差z 。 由數(shù)學分析可知，變量與函數(shù)的之間的誤差關系可近似用函數(shù)的全微分表達，即,22,一般函數(shù)： 倍數(shù)函數(shù)： 和差函數(shù)： 線性函數(shù)：,一、誤差傳播定律主要公式,23,二、誤差傳播定律的應用,應用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)的精度時，可按下述步驟進行： 1、按問題性質(zhì)先列出函數(shù)式： 2、對函數(shù)式進行全微分，得出函數(shù)真誤差與觀測值真誤差之間的關系式 3、將真誤差形式轉(zhuǎn)換成中誤差形式 注意：各觀測值之間必須互相獨立。,24,誤差傳播定律的應用,例題：設有函數(shù) 式中:s =150.11m，其中誤差ms =0.05m =1194500， 其中誤差m=20.6；求z的中誤差mz 解：因為 所以：,25,誤差傳播定律的應用,水準測量的高差中誤差： 若 hAB=h1+h2+hn 設每站高差中誤差均為m站，則有 mhAB=n m站 即水準測量高差中誤差與測站數(shù)的平方根成正比。 若水準路線為平坦地區(qū)，則每測站間距離S大致相等，設AB路線總長為L，則測站數(shù)n=L/S，則： 即水準測量高差中誤差與距離的平方根成正比。,26,由三角形閉和差求測角中誤差,27,5-4 等精度直接觀測平差,直接平差 等精度直接平差 不等精度直接平差 一、平差原則 按最小二乘原理 例如：測的某三角形的三個內(nèi)角的觀測值： 其閉合差 為消除閉合差，須對三個角度進行改正，即,28,滿足條件的改正數(shù)可以有無限多組，見下表： 根據(jù)最小二乘原理，應使,29,二、等精度直接平差 （一）求最或然值算術平均值 在相同的觀測條件下，對某量進行n次觀測，其值分別為l1，l2，ln，其算術平均值為 （二）觀測值的改正數(shù) 算術平均值與觀測值之差稱為觀測值的改正值（v）: 一組觀測值取算術平均值后，其改正值之和恒等于零。,30,（三）精度評定 1、觀測值的中誤差： 2、算術平均值的中誤差：,31,5-5、不等精度直接平差,（一）權(quán)與單位權(quán),例如：對某量分兩組觀測，第一組觀測2次，第二組觀測4次。每次觀測精度同，其中誤差都為m，求由兩組觀測結(jié)果計算該量的最或然值。,32,33,（二）不等精度觀測值的最或然值 （三）不等精度觀測值最或然值的中誤差 （四）單位權(quán)中誤差,34,本章小結(jié)： 1.測量誤差及其產(chǎn)生的原因 儀器的原因 人的原因 外界環(huán)境的影響 2.測量誤差的分類與處理原則 系統(tǒng)誤差 - 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。 偶然誤差-在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差”。,35, 誤差的處理原則 系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響顯著，應盡可能地加以改正、抵消或削弱。對情況不明的系統(tǒng)誤差，采用不同時間的多次觀測。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器： 求改正數(shù) 采用合理的觀測方法。 研究偶然誤差是測量學的重要課題。 消除或削弱偶然誤差的有效方法： 適當提高儀器等級 進行多余觀測，求最或是值。,36, 在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值； 絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率?。?絕對值相等的正、負誤差具有大致相等的頻率； 當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。