第六章時(shí)變電磁場典型例題.doc

第六章 時(shí)變電磁場6.1 在的平面內(nèi)，長度的導(dǎo)線沿軸方向排列。當(dāng)該導(dǎo)線以速度在磁感應(yīng)強(qiáng)度的磁場中移動(dòng)時(shí)，求感應(yīng)電動(dòng)勢。 解：給定的磁場為恒定磁場，故導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢只能是導(dǎo)線在恒定磁場中移動(dòng)時(shí)由洛侖茲力產(chǎn)生的。有 根據(jù)已知條件，得 故感應(yīng)電動(dòng)勢為 6.2 長度為的細(xì)導(dǎo)體棒位于平面內(nèi)，其一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)其在恒定磁場中以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，求導(dǎo)體棒中的感應(yīng)電動(dòng)勢。解：導(dǎo)體中的感應(yīng)電動(dòng)勢是由洛侖茲力產(chǎn)生的，即根據(jù)已知條件，導(dǎo)體棒上任意半徑處的速度為 故感應(yīng)電動(dòng)勢為6.3 試推出在線性、無耗、各向同性的非均勻媒質(zhì)中的麥克斯韋方程。解：考察麥克斯韋方程中的參量，利用它們與電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系，將代入即可，注意在非均勻媒質(zhì)中是空間坐標(biāo)的函數(shù)?？疾禧溈怂鬼f第一方程，有 所以 而 ，于是，微分形式的麥克斯韋方程用和表示為 對(duì)于無耗媒質(zhì)，因此有。6.4 試由麥克斯韋方程推導(dǎo)出電流連續(xù)性方程。 解：對(duì)麥克斯韋第一方程兩邊取散度，得 又因?yàn)?，所?.5 設(shè)真空中電荷量為的點(diǎn)電荷以速度向正方向勻速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，計(jì)算任一點(diǎn)位移電流密度（不考慮滯后效應(yīng)）。解：選取圓柱坐標(biāo)系，由題意知點(diǎn)電荷在任意時(shí)刻的位置為，且產(chǎn)生的場強(qiáng)與角度無關(guān)，如習(xí)題所示。設(shè)為空間任一點(diǎn)，則點(diǎn)電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 其中為點(diǎn)電荷到點(diǎn)的位置矢量，即 那么，由，得 6.6 已知自由空間的磁場為式中的、為常數(shù)，試求位移電流密度和電場強(qiáng)度。 解： 隨時(shí)間變化的磁場要產(chǎn)生電場，隨時(shí)間變化的電場又要產(chǎn)生磁場，它們之間的相互聯(lián)系和制約由麥克斯韋方程來表征。自由密度空間的傳導(dǎo)電流密度，故由麥克斯韋第一方程得 而，故則6.7 由麥克斯韋方程出發(fā)，試導(dǎo)出靜電場中點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度和泊松方程。 解：對(duì)于靜電場，不存在位移電流，由麥克斯韋方程，有 即 根據(jù)上式，利用球坐標(biāo)，則對(duì)于孤立的、位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷有，所以距離該點(diǎn)電荷處的電場強(qiáng)度為靜電場為無旋場，因此有，則 所以有 即泊松方程。6.8 由麥克斯韋方程組出發(fā)，導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律。解： 由麥克斯韋方程組，有 因?yàn)槭噶康男热∩⒍葹榱?，故可令在庫侖?guī)范下，因而即由的解為可得對(duì)于線電流于是6.9 如圖所示，同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑，外導(dǎo)體內(nèi)半徑，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣介質(zhì)，且電場強(qiáng)度為 （1）求磁場強(qiáng)度的表達(dá)式（2）求內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度；（3）計(jì)算中的位移電流。解： （1）將表示為復(fù)數(shù)形式，有由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得磁場的瞬時(shí)表達(dá)式為（2）內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度 (3) 位移電流密度所以中的位移電流6.10試由麥克斯韋方程組中的兩個(gè)旋度方程和電流連續(xù)性方程，導(dǎo)出麥克斯韋方程組中的兩個(gè)散度方程。解：本題的結(jié)果表明麥克斯韋方程組的相容性，而導(dǎo)出此結(jié)果的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用矢量分析的基本關(guān)系式。對(duì)方程兩邊取散度，得 而電流連續(xù)性方程 矢量恒等式 故得即可見，是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的常量。若取時(shí)，該常量為零，則的任何時(shí)刻， 皆滿足需要。故得同樣，對(duì)方程兩邊取散度，得故得6.11 如圖所示，兩種理想介質(zhì)，介電常數(shù)分別為和，分界面上沒有自由電荷。在分界面上，靜電場電力線在介質(zhì)中與分界面法線的夾角分別為和。求和之間的關(guān)系。解：利用和的關(guān)系以及理想介質(zhì)分界面的邊界條件求解。設(shè)和分別為介質(zhì)中電通量密度。，分別為介質(zhì)中電場強(qiáng)度。在各向同性介質(zhì)中，和具有相同的方向。由邊界條件和，得而根據(jù)圖可知 則得 6.12 寫出在空氣和的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件。 解：空氣和理想導(dǎo)體分界面的邊界條件為根據(jù)電磁對(duì)偶原理，采用以下對(duì)偶形式即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條件式中，為表面磁流密度。6.13 在由理想導(dǎo)電壁限定的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)由以下各式表示的電磁場： 這個(gè)電磁場滿足的邊界條件如何？導(dǎo)電壁上的電流密度的值如何？ 解：應(yīng)用理想導(dǎo)體的邊界條件可以得出在處， 在處， 上述結(jié)果表明，在理想導(dǎo)體的表面，不存在電場的切向分量和磁場的法向分量。另外，在的表面上，電流密度為 在的表面上，電流密度則為 6.14 設(shè)電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為 證明其坡印廷矢量的平均值為證明：坡印廷矢量的瞬時(shí)值為 故平均坡印廷矢量為 6.15 一個(gè)真空中存在的電磁場為其中是波長。求，各點(diǎn)的坡印廷矢量的瞬時(shí)值和平均值。解：坡印廷矢量的瞬時(shí)值為故當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有任一點(diǎn)的坡印廷矢量的平均值為6.16 寫出存在電荷和電流密度的無耗媒質(zhì)中的和的波動(dòng)方程的瞬時(shí)值形式解： 由麥克斯韋方程的微分形式 （1） （2） （3） （4）由式（1）兩邊取旋度，得利用矢量恒等式，所以將式（2）和式（3）代入上故得 （5）同理可得 （6）式（5）式（6）則為所求的有源空間中和所滿足的波動(dòng)方程，是非齊次波動(dòng)方程。6.17 在應(yīng)用電磁位時(shí)，如果不采用洛侖茲規(guī)范條件，而是采用庫侖規(guī)范條件，即令，導(dǎo)出和所滿足的微分方程。解： 將電磁位定義代入麥克斯韋方程，利用算子的二階運(yùn)算恒等式將所得式子簡化，然后引入庫侖規(guī)范條件就可得到和所滿足的方程即代入麥克斯韋方程，得由恒等式 于是有 （1）又將電磁矢量位和標(biāo)量位代入得即 （2）令代入（1）和（2）得 （3） （4）（3）和（4）式即為在庫侖規(guī)范條件下的電磁位所滿足的微分方程。6.18 海水的電導(dǎo)率，在頻率時(shí)的相對(duì)介電常數(shù)。如果把海水視為一等效的電介質(zhì)，寫出的微分方程。對(duì)于良導(dǎo)體，例如銅，比較在時(shí)的位移電流和傳導(dǎo)電流的幅度?？梢钥闯觯词乖谖⒉l率下，良導(dǎo)體中的位移電流也是可以忽略的。寫出的微分方程。解：對(duì)于海水，寫出的微分方程為即把海水視為等效介電常數(shù)為的電介質(zhì)。代入給定的參數(shù)得對(duì)于銅，傳導(dǎo)電流的幅度為，位移電流的幅度。故位移電流與傳導(dǎo)電流的幅度之比為可見，即使在微波頻率下，銅中的位移電流也是可以忽略不計(jì)的。故對(duì)于銅，的微分方程為6.19 給定標(biāo)量位及矢量位，式中。（1） 試證明：；（2） 求、和；（3） 證明上述結(jié)果滿足自由空間中的麥克斯韋方程。解：（1） 故則（2） 而 （3）這是無源自由空間的零場，自然滿足麥克斯韋方程。6.20 無源、無損耗媒質(zhì)中的電場矢量為（1） 求與相伴的磁場矢量；（2） 討論、存在的必要條件。解：維系電場和磁場是麥克斯韋方程，求解就從麥克斯韋方程入手。在無源（）、無損耗媒質(zhì)（