2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精品課件（蘇教版）：第五單元第五節(jié)兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角的三角函數(shù).ppt

第五節(jié) 兩角和與差的三角函數(shù)及二倍角的三角函數(shù),基礎(chǔ)梳理,1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 c(-):cos(-)= cos cos +sin sin ; c(+):cos(+)= cos cos -sin sin ; s(+):sin(+)= sin cos +cos sin ; s(-):sin(-)= sin cos -cos sin ;,2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 s2:sin 2= 2sin cos ; c2:cos 2= cos2-sin2 = 2cos2-1 = 1-2sin2; 3. 形如asin +bcos 的化簡(jiǎn) asin +bcos = sin(+),其中cos = ,的終邊所在象限由a、b的值來(lái)確定.,題型一 化簡(jiǎn)求值,【例1】求2sin 50+sin 10(1+ tan 10) 的值.,分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它們的和60、90都是特殊角，因此可考慮用和角公式求其值；另外含有正切函數(shù)，切化弦后出現(xiàn)分式，可通過(guò)約分以去掉非特殊角.,解 原式=（2sin 50+sin 10 ） sin 80 =2sin 50+2sin 10 cos 10 =2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10) =2 sin(50+10)= .,(2)根據(jù)本題點(diǎn)撥采用“切化弦”是解決本題的關(guān)健.它為逆用差角公式與和角公式鋪平了道路.在三角函數(shù)式化簡(jiǎn)或求值過(guò)程中,還要注意利用和、差角的三角函數(shù)公式,它們可將三角函數(shù)式化為一個(gè)角的三角函數(shù)式，為化簡(jiǎn)或求值提供方便.,學(xué)后反思 (1)解決這類三角求值問(wèn)題的一般規(guī)律是:恰當(dāng)、準(zhǔn)確地應(yīng)用誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)公式,合理地進(jìn)行角的變換,使其轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值的求解問(wèn)題.,舉一反三 1. 求sin 50(1+ tan 10)的值.,解析: 原式,題型二 給值求角,【例2】已知、為銳角，向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c = .若ab= ,ac= ,求角2-的值.,分析 由ab= ,ac= 及a,b,c的坐標(biāo)，可求出關(guān)于、的三角函數(shù)值，進(jìn)而求出角.,解 （1）ab=(cos ,sin )(cos ,sin ) =cos cos +sin sin =cos(-)= , ac=(cos ,sin ) = cos - sin = . 0 ,0 ,- - . 由得-= ,由得= . 又、為銳角，= . 從而2-= .,學(xué)后反思 解決給值求角問(wèn)題一般分如下三個(gè)步驟： （1）求角的某一個(gè)三角函數(shù)值； （2）確定角所在的范圍； （3）確定所求角的值.,舉一反三 2. 已知tan = ,tan = ,并且、均為銳角，求+2. 解析： tan = 1,tan = 1,且、均為銳角， 0 ,0+2 . 又,題型三 給值求值,【例2】 設(shè)cos(-)=- ,cos(+)= ,- ,+ ,求cos 2,cos 2.,分析 本題“2”角與條件中出現(xiàn)的兩個(gè)整體角+與-之間恰有關(guān)系(+)+(-)=2,(+)-(-)=2,使問(wèn)題迎刃而解.諸如此類的整體還有=(+)-,2=( +)-( -),應(yīng)注意在解題中的運(yùn)用.,解 由cos(-)=- ,- ,得sin(-)= . 同理，可得sin(+)=- . cos 2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)= . 同理可得,cos 2=- .,學(xué)后反思 給值求值，即由給出的某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于將“目標(biāo)角”變換成已知角.若角所在的象限沒(méi)有確定，則應(yīng)分情況討論.應(yīng)注意公式的運(yùn)用、逆用、變形運(yùn)用，掌握拆角、拼角、配角等技巧.,舉一反三 3. 已知 解析：,題型四 實(shí)際應(yīng)用,【例3】(14分)已知向量m=(sin b,1-cos b),且與向量n=(2,0)所成角為 ，其中a、b、c是abc的內(nèi)角. （1）求角b的大小； （2）求sin a+sin c的取值范圍.,分析 （1）先利用向量的夾角公式求出角b的余弦值，進(jìn)而求b的大小. （2）利用三角形的內(nèi)角和定理將原式表示為一個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算.,解 (1)m=(sin b,1-cos b),與向量n=(2,0)所成角為 , cos = ,2 2 -cos b -1=0, cos b=- 或cos b=1(舍去)， b= .8,(2)由(1)可得a+c= , sin a+sin c=sin a+sin（ -a） = sin a+ cos a=sin（a+ ）.10 0a , a+ , sin（a+ ） , sin a+sin c . 14,學(xué)后反思 新課標(biāo)對(duì)三角恒等變換的要求：“經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用”.向量是公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)與工具，那么，考查向量與三角恒等變換的綜合題必然成為高考合理的動(dòng)向.這種綜合題是高考中的中檔題，向量的作用是用坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)構(gòu)造成一個(gè)三角函數(shù)，關(guān)鍵是把得到的三角函數(shù)式進(jìn)行三角恒等變形，得到函數(shù)f(x)=asin(x+)+b,從而求周期、最值、單調(diào)性等問(wèn)題.,舉一反三 4. 如圖所示，a、b是單位圓o上的點(diǎn)，且b在第二象限，c是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，a點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,aob為正三角形. (1)求sincoa; (2)求coscob.,解析: (1)因?yàn)閍點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,根據(jù)三角函數(shù)的定義，sincoa= (2)因?yàn)閍ob為正三角形，所以aob=60. 又sincoa= ,coscoa= 所以coscob=cos(coa+60)=coscoacos 60-.,【例】已知在abc中，sin(a+b)= ,cos b= - ,求cos a的值. 錯(cuò)解 方法一：sin(a+b)=sin acos b+cos asin b, 又,易錯(cuò)警示,錯(cuò)解分析 方法一應(yīng)用兩角和公式與已知函數(shù)值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于cos a的一元二次方程再求解，方程雖不簡(jiǎn)捷卻是可行的，然而，由于對(duì)abc中內(nèi)角的三角函數(shù)值的諸多限制認(rèn)識(shí)不足，對(duì)最后的解答沒(méi)有檢驗(yàn)，從而結(jié)論錯(cuò)誤.事實(shí)上，已知cos b0,表明了b是鈍角，由a+b+c=知,a為銳角， 不合題意，應(yīng)舍去.,正解 在abc中，由cos b=- ,得 .,考點(diǎn)演練,10. 若f()= ，求f（ ）.,解析: f()= . f（ ）= =8.,11. 已知 ,(0,)，求的值.,解析： 由已知條件得 . 即 sin - =0,解得sin = 或sin =0. 由0知sin = ,從而= 或= .,12. (2008江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以ox軸為始邊作兩個(gè)銳角、，它們的終邊分別與單位圓相交于a、b兩點(diǎn).已知a、b的橫坐標(biāo)分別為. （1）求tan(+)的值； （2）求+2的值.,解析：由條件得,（2）,第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算,基礎(chǔ)梳理,數(shù)量化,視覺(jué)化,1. 函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率 (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率為 , (2)平均變化率是曲線陡峭程度的“ ”，或者說(shuō)，曲線陡峭程度是平均變化率的“ ”. 2. 函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) （1）定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義， 若x無(wú)限趨近于0時(shí)，比值 無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，則稱f(x)在x=x0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)a為函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 .,(2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn) . 處的 .相應(yīng)地，切線方程為 .,3. 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 若f(x)對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自 變量x的 而 ，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作 .,切線的斜率,變化,變化,f(x).,4. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 (1)f(x)g(x)= ; (2)cf(x)= (c為常數(shù)); (3)f(x)g(x)= ;,f(x)g(x),cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,題型一 利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù) 【例1】用導(dǎo)數(shù)定義求y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)值. 分析 利用導(dǎo)數(shù)的定義,按求導(dǎo)數(shù)的步驟求解. 解 當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)， 趨近于2,y|x=1=2. 學(xué)后反思 利用導(dǎo)數(shù)的定義求在一點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是對(duì)yx進(jìn)行靈活變形，若求f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，只需將x0看成是(a,b)內(nèi)的任意點(diǎn)x,即可求得f(x).,舉一反三 1. 已知 ，利用定義求y,y|x=1.,題型二 利用求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù) 【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,解析,分析 直接利用導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.,學(xué)后反思 準(zhǔn)確記憶求導(dǎo)公式及四則運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),舉一反三 2. 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).,題型三 導(dǎo)數(shù)的物理意義及在物理上的應(yīng)用 【例3】一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=8-3t2. (1)求質(zhì)點(diǎn)在1,1+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度； (2)求質(zhì)點(diǎn)在t=1的瞬時(shí)速度.,解析,分析 第（1）問(wèn)可利用公式 求解；第（2）問(wèn)可利用第（1）問(wèn)的結(jié)論求解，也可利用求導(dǎo)公式及四則運(yùn)算法則求解.,解 (1)質(zhì)點(diǎn)在1,1+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 (2)方法一（定義法）： 質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度v=,方法二（求導(dǎo)法）： 質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度v=s(t)=-6t,當(dāng)t=1時(shí)，v=-6.,學(xué)后反思 導(dǎo)數(shù)的概念是通過(guò)函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)變化率、物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、曲線的切線等實(shí)際背景引入的，所以在了解導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上也應(yīng)了解這些實(shí)際背景的意義.對(duì)于作變速運(yùn)動(dòng)的物體來(lái)說(shuō)，其位移對(duì)時(shí)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是其運(yùn)動(dòng)的速度對(duì)時(shí)間的函數(shù)，速度對(duì)時(shí)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是其運(yùn)動(dòng)的加速度對(duì)時(shí)間的函數(shù)，這是導(dǎo)數(shù)的物理意義，利用導(dǎo)數(shù)的物理意義可以解決一些相關(guān)的物理問(wèn)題,舉一反三 3. 以初速度 作豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體，t秒時(shí)的高度為 ,求物體在時(shí)刻 時(shí)的瞬時(shí)速度.,解析： 物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為 .,題型四 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及在幾何上的應(yīng)用 【例4】(14分) 已知曲線 (1)求曲線在點(diǎn)p（2，4）處的切線方程； (2)求曲線過(guò)點(diǎn)p（2，4）的切線方程.,分析 (1)點(diǎn)p處的切線以點(diǎn)p為切點(diǎn),關(guān)鍵是求出切線斜率 k=f(2). (2)過(guò)點(diǎn)p的切線，點(diǎn)p不一定是切點(diǎn)，需要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).,解 （1)y=x2,2 在點(diǎn)p（2，4）處的切線的斜率k=y|x=2=4,3 曲線在點(diǎn)p（2,4）處的切線方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)設(shè)曲線 與過(guò)點(diǎn)p（2，4）的切線相切于點(diǎn) ,則切線的斜率k=y|x=x0=x20.6,切線方程為 即 點(diǎn)p（2，4）在切線上， 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.14,學(xué)后反思 （1）解決此類問(wèn)題一定要分清是“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”. （2）解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0),得出切線方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知點(diǎn)代入切線方程求(x0,y0)，進(jìn)而求出切線方程.,舉一反三 4. 求曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離.,解析： 設(shè)曲線上過(guò)點(diǎn) 的切線平行于直線2x-y+3=0, 即斜率是2，則. 解得 ,即點(diǎn)p(1,0), 點(diǎn)p到直線2x-y+3=0的距離為 , 曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是 .,題型五 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例5】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). .,分析 先確定中間變量轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)函數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法則求導(dǎo).也可直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則運(yùn)算.,解,學(xué)后反思 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是理解復(fù)合過(guò)程，選定中 間變量，弄清是誰(shuí)對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)，其一般步驟是: (1)分清復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系 （簡(jiǎn)稱分解復(fù)合關(guān)系）； （2）分層求導(dǎo)，弄清每一步中哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)數(shù) （簡(jiǎn)稱分層求導(dǎo)）.即：分解（復(fù)合關(guān)系）求導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)相乘）,舉一反三 5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。,解析：,易錯(cuò)警示,【例】已知曲線 上的點(diǎn)p（0,0）,求過(guò)點(diǎn)p(0,0)的切線方程. 錯(cuò)解 在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，因此過(guò)p點(diǎn)的切線不存在. 錯(cuò)解分析 本題的解法忽視了曲線在某點(diǎn)處的切線的定義.在點(diǎn)p處的切線是指曲線在點(diǎn)p附近取點(diǎn)q，當(dāng)點(diǎn)q趨近于點(diǎn)p時(shí)，割線pq的極限位置的直線就是過(guò)點(diǎn)p的切線，因此過(guò)點(diǎn)p的切線存在，為y軸（如下圖所示）.,正解 如右圖，按切線的定義，當(dāng)x0時(shí)割線pq的極限位置為y軸（此時(shí)斜率不存在），因此，過(guò)點(diǎn)p的切線方程為x=0.,考點(diǎn)演練,10. 已知函數(shù) 的圖象都過(guò)點(diǎn) p(2,0),且在點(diǎn)p處有相同的切線.求實(shí)數(shù)a,b,c的值.,解析： f(x)過(guò)點(diǎn)（2,0