2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精品課件（蘇教版）：第十單元第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系.ppt

第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,1. 平面的基本性質(zhì) 平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ),即三個公理和公理3的三個推論. 公理1:如果一條直線上的 在一個平面內(nèi),那么這條直線上 都在這個平面內(nèi). 公理2:如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,這些公共點的集合是 .,基礎(chǔ)梳理,兩點,所有的點,經(jīng)過這個公共點的一條直線,公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點, . 推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點, . 推論2:經(jīng)過兩條相交直線, . 推論3:經(jīng)過兩條平行直線, .,2. 空間兩條直線的位置關(guān)系,有且只有一個平面,有且只有一個平面,有且只有一個平面,有且只有一個平面,異面直線,在同一平面內(nèi),有且只有一個,3. 平行直線的公理及定理 (1)公理4:平行于同一條直線的兩條直線 . (2)定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別 并且方向 ,那么這兩個角相等.,4. 異面直線的判定及所成的角 (1)異面直線的判定 過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線, 和這個平面內(nèi) 的直線是異面直線.,互相平行,平行,相同,不經(jīng)過該點,(3)異面直線垂直的定義 若兩條異面直線a,b所成的角是直角,則稱異面直線a,b ,記作 .,(2)異面直線所成的角 如果a,b是兩條異面直線,那么經(jīng)過空間任意一點o,作直線aa,bb,直線a和b所成的 (或直角)叫做異面直線a,b所成的角.,銳角,互相垂直,ab,【例1】下列命題: 空間不同三點確定一個平面; 有三個公共點的兩個平面必重合; 空間兩兩相交的三條直線確定一個平面; 三角形是平面圖形; 平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形; 垂直于同一直線的兩直線平行; 一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交; 兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形. 其中正確的命題是 .,典例分析,題型一 點、線、面的位置關(guān)系,分析 根據(jù)公理及其推論作判斷.,解 由公理3知,不共線的三點才能確定一個平面, 所以知命題、均錯,中有可能出現(xiàn)兩平面 只有一條公共線(當(dāng)這三個公共點共線時); 對于,空間兩兩相交的三條直線有三個交點或 一個交點,若為三個交點,則這三條直線共面,若只有一個交點,則可能確定一個平面或三個平面;正確;中平行四邊形和梯形由公理3的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;對于,如圖,在正方體abcdabcd中,直線 bbab,bbbc,但ab與bc不平行,所以錯;abcd, bbab=b,但bb與cd不相交,所以錯;四邊形adbc中,ad=db=bc=ca,但它不是平行四邊形,所以也錯.故只有正確.,學(xué)后反思 平面性質(zhì)的三個公理及其推論,是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應(yīng)用.,舉一反三 1. 給出下列命題: 如果平面與平面相交,那么它們只有有限個公共點; 經(jīng)過空間任意三點的平面有且只有一個; 如果兩個平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合為一個平面; 不平行的兩直線必相交. 其中正確命題的序號為 .,解析: 由公理2知,錯;由公理3知,錯;對;不平行的兩直線可能異面.,答案： ,題型二 證明三點共線 【例2】如圖， 是正方體 的上底面 的中心，m是對角線 和截面 的交點. 求證： 、m、a三點共線.,分析 要證明 、m、a三點共線，只需證明三點都在平面 和平面 的交線上.,學(xué)后反思 證明多點共線的方法：以公理2為依據(jù)，先找出兩個平面的交線，再證明各個點都是這兩個面的公共點，即在交線上，則多點共線.或者，先證明過其中兩點的直線是這兩個平面的交線，然后證明第三個點也在交線上，同理其他的點都在交線上，即多點共線.,證明 = , 平面 ， 平面 平面 , 平面 平面 =m， 平面 m平面 ,m平面 又a平面 ,a平面 、m、a在兩個平面 和平面 的交線上，由公理2可知 、m、a三點共線.,舉一反三 2. 已知e、f、g、h分別是空間四邊形abcd(四條線段首尾相接,且連接點不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊ab、ad、cb、cd上的點,且直線ef和gh的延長線交于點p(如圖). 求證:點b、d、p在同一條直線上.,證明： 由于直線ef和gh交于點p, p直線ef. 又直線ef 平面abd,p平面abd. 同理,p平面cbd. p在平面abd與平面cbd的交線bd上, 即b、d、p三點在同一條直線上.,題型三 證明點線共面,【例3】求證:兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).,分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點，故有兩種情況：一種是三條直線交于一點，另一種是任何三條直線都不共點，故分兩種情況證明.,證明 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點o,直線d和a,b,c分別相交于a,b,c三點,直線d和點o確定平面.由o平面,a平面,o直線a,a直線a,知直線a平面;同理b平面,c平面.故直線a,b,c,d共面于.,學(xué)后反思 證多線共面的方法： （1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個平面內(nèi).同理其他直線都在這個平面內(nèi). （2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.,(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點,交點分別是m,n,p,q,r,g.由直線ab=m,知直線a和b確定平面.由ac=n,bc=q,知點n、q都在平面內(nèi),故c;同理可證d.所以直線a,b,c,d共面于. 由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點的四條直線必在同一平面內(nèi).,舉一反三 3. 在正方體 中,e是ab的中點,f是 的中點. 求證:e、f、 、c四點共面.,證明： 如圖，連接 ,ef, . e是ab的中點,f是 的中點, ef ef 故e、f、 、c四點共面.,題型四證明三線共點,【例4】(14分)已知空間四邊形abcd中,e、f分別 是ab、ad的中點,g、h分別是bc、cd上的點, 且 . 求證:直線eg、fh、ac相交于同一點p.,分析 先證e、f、g、h四點共面，再證eg、fh交于一點，然后證明這一點在ac上.,證明 e、f分別是ab、ad的中點, efbd且ef= bd.3 又 ,ghbd且gh= bd, efgh且efgh,5 四邊形efhg是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰eg、fh的延長線相交于一點p. 7 eg平面abc,fh平面acd, p平面abc,p平面acd. .9 又平面abc平面acd=ac,pac. 12 故直線eg、fh、ac相交于同一點p. 14,學(xué)后反思 證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理2可知，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點.,舉一反三 4. 已知正方體 中，e、f分別為棱ab、 的中點. 求證：三條直線da,ce, 交于一點.,證明： 如圖，直線da平面 ， 直線 平面 ， 顯然直線da與直線 不平行， 設(shè)直線da與直線 交于點m.同理，直線da與直線ce都在平面ac內(nèi)且不平行，設(shè)直線ad與直線ce相交于點m. 又e，f為棱ab， 的中點, 易知ma=ad，ma=ad, 所以m、m為直線ad上的同一點, 因此，三條直線da，ce， 交于一點.,易錯警示,【例】如圖,過已知直線a外一點p,與直線a上的四個點a、b、c、d分別畫四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).,錯解 p、a、b三點不共線, p、a、b共面,即pa、pb、ab共面. 同理,pb、pc、bc共面,pc、pd、cd共面. a、b、c、d均在直線a上, pa、pb、pc、pd四條直線在同一平面內(nèi).,錯解分析 錯解在證明了四條直線分別在三個平面(平面pab、平面pbc、平面pcd)內(nèi)后,用a、b、c、d均在a上,而認為三個平面重合在同一個平面上,這種方法是錯誤的.錯誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個平面重合.,正解 過直線a及點p作一平面, a、b、c、d均在a上,a、b、c、d均在內(nèi). 直線pa、pb、pc、pd上各有兩點在內(nèi), 由公理1可知,直線pa、pb、pc、pd均在平面內(nèi),即四條直線共面.,考點演練,10. 異面直線a、b所成的角為60，p為空間一點，求過p與a、b均成60角的直線的條數(shù).,解析： 先利用平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個平面上的相交直線，且夾角為60，交點為p，然后利用圖形判斷把直線進行旋轉(zhuǎn)，可以得到這樣的直線僅有3條.,11. 如圖，在空間四邊形abcd中，e、g分別是bc、ab的中點，f在cd上，h在ad上，且有 試判定ef,gh,bd的位置關(guān)系，并證明.,解析： ef，gh，bd交于一點.證明如下: ,fhac，fh= ac. 又g，e分別為ab，bc的中點， geac，ge= ac，于是gefh且gefh， 四邊形eghf是梯形. gh與ef的延長線必相交于一點p. 則pgh,又gh 平面abd，p平面abd. 同理可證p平面bcd， 而平面abd平面bcd=bd， pbd,直線ef、gh、bd交于一點.,12. 在空間四邊形abcd中，ad=bc= ,e、f分別是ab、cd的中點，ef=1.求異面直線ad和bc所成的角，異面直線ef和bc所成的角.,解析： 如圖,取bd的中點m， 連接em,fm. e是ab的中點， emad,em= ad= . f是cd的中點, mfbc,mf= bc= . 在mef中， emmf,mfe=45. 異面直線ad、bc所成的角為90, 異面直線ef、bc所成的角為45.,第六節(jié) 幾個三角恒等式,基礎(chǔ)梳理,1. 兩角差的余弦公式為 cos(-)=cos cos +sin sin ;兩角和的余弦公式為cos(+)=cos cos -sin sin ;兩角差的正弦公式為sin(-)=sin cos -cos sin ;兩角和的正弦公式為sin(+)=sin cos +cos sin .上述公式對任意的、都成立.,2. 公式t(-)是 ,公式t (+) 是 ，它們成立的條件是,3. 二倍角公式 在s (+)中，令 =,可得到sin 2= 2sin cos ,簡記為s2. 在c (+)中，令 =,可得到cos 2= cos2-sin2,簡記為c2. 在t (+)中，令 =,可得到tan 2=2tan 1-tan2，簡記為t2.,4. 在c2中考慮sin2+cos2=1可將c2變形為cos 2=cos2-sin2= 2cos2-1 = 1-2sin2，它簡記為c2.,5. 半角公式 在c2中,用 代替得 ,將 公式變形可得,的推導(dǎo)方法是 與 兩式相除，其公式為,6. 升降冪公式主要用于化簡、求值和證明，其形式為：升冪公式：1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2.降冪公式：,7. 派生公式 (1)(sin cos )2= 1sin 2; (2)1+cos = (3)1-cos = (4)tan +tan = tan(+)(1-tan tan );,典例分析,題型一 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x三者之間的轉(zhuǎn)換問題 【例1】 已知- x0,sin x+cos x= 求sin x-cos x的值. 分析 由（sin x-cos x）2=(sin x+cos x)2-4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可.,解 方法一：由sin x+cos x= 平方,得 sin2x+2sin xcos x+cos2x= ,即2sin xcos x= (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= 又- x0, sin x0,cos x0,sin x-cos x0, sin x-cos x=,方法二：聯(lián)立方程 sin x+cos x= , sin2x+cos2x=1. 由得sin x= -cos x,將其代入,整理,得 25cos2x-5cos x-12=0, 學(xué)后反思 sin xcos x,sin xcos x之間的關(guān)系為 (sin xcos x)2=12sin xcos x,（sin x+cos x）2+(sin x-cos x)2=2，三者知其一，可求其二，但須注意角x的范圍對結(jié)果的影響.,舉一反三 1. （2009梅州月考）已知 ,求sin 及 解析: 由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式,得 即sin -cos = . 由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式,得,故cos +sin = . 由和得sin = ,cos =- , 因此tan =- ,由兩角和的正切公式,得,題型二 三角函數(shù)公式的靈活應(yīng)用 【例2】化簡下列各式.,分析 （1）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式; （2）注意1sin ,1cos 形式的轉(zhuǎn)化.,解 (1),(2),sin 4+cos 40,cos 40, 原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.,學(xué)后反思 對于化簡的題目要側(cè)重于三角公式運用中的各種思想，對于一些固定形式套用相應(yīng)的公式.,舉一反三,2. 化簡（cos +sin ）（ cos -sin ）（ 1+tantan ）.,解析： 原式=cos（1+tan tan ）=cos +sin tan =cos +2sin cos =cos + =cos +1-cos =1.,題型三 三角恒等變換中角的拆、拼 【例3】已知 且 分析 抓住條件中的角“ ”、“ ”與結(jié)論中的角 的關(guān)系：,解,學(xué)后反思 掌握常用的拆角、拼角關(guān)系，如：,舉一反三 3. 已知 ,且02. (1)求 的值； (2)求.,解析,(2)由0 ,得0- ,cos(-)= 由=-(-),得 cos =cos -(-) =cos cos(-)+sin sin(-),題型四 三角恒等式證明 【例4】(14分)已知tan(+)=2tan . 求證 ：3sin =sin(+2).,分析 觀察條件與結(jié)論間的差異可知: (1)函數(shù)名的差異是正弦與正切，可考慮切化弦法化異為同. (2)角的差異是+,;,+2.通過觀察可得已知角與未知角之間關(guān)系為：(+)-=;(+)+=+2,由此可化異為同. 證明 由已知tan(+)=2tan ,可得 sin(+)cos =2cos(+)sin 4 而sin(+2)=sin (+)+ =sin(+)cos +cos(+)sin =2cos(+)sin +cos(+)sin =3cos(+)sin ,8,又sin =sin (+)- =sin(+)cos -cos(+)sin =2cos(+)sin -cos(+)sin =cos(+)sin 12 故sin(+2)=3sin 14,學(xué)后反思 分析條件等式與論證式中角和函數(shù)名稱的差異，從而進行配角，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消除函數(shù)名稱的差異.對于三角恒等式的證明，實質(zhì)也是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證.,舉一反三 4. 已知a、b為銳角，求證： 的充要條件是 （1+tan a）(1+tan b)=2.,證明：（充分性）(1+tan a)(1+tan b)=2, 1+(tan a+tan b)+tan atan b=2,且tan atan b1, tan(a+b)（1-tan atan b）=1-tan atan b, tan(a+b)=1. 0a ,0b ,0a+b,a+b= (必要性)a+b= ,tan(a+b)=tan ， 即 ,整理