函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值.ppt

函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值,要點梳理 1.函數(shù)的單調(diào)性 （1）單調(diào)函數(shù)的定義,基礎(chǔ)知識 自主學習,f（x1）f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)單調(diào)區(qū)間的定義 若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是_或_，則稱 函數(shù)f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性， _叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間.,增函數(shù),減函數(shù),區(qū)間D,2.函數(shù)的最值,f（x）M,f（x0）=M,f（x）M,f（x0）=M,基礎(chǔ)自測 1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是 ( ) A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D. 解析 y=-x+1,y=x2-4x+5, 分別為一次函 數(shù)、 二次函數(shù)、反比例函數(shù)，從它們的圖象上可 以看出在（0，2）上都是減函數(shù).,B,2.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f(x)=0的 根 （ ） A.有且只有一個 B.有2個 C.至多有一個 D.以上均不對 解析 f（x）在R上是增函數(shù)， 對任意x1,x2R,若x1x2,則f(x1)f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,則x0只有一個. 若對任意xR都無f(x)=0,則f(x)=0無根.,C,3.已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足 的實數(shù)x的取值范圍是 （ ） A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)(0,1) D.（-,-1)(1,+) 解析 由已知條件： 不等式等價于 解得-1x1,且x0.,C,4.函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-，+）上是減函數(shù)，則 ( ) A. B. C. D. 解析 使y=(2k+1)x+b在（-，+）上是減函數(shù), 則2k+10，即,D,5.設(shè)x1,x2為y=f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個變量，有以 下幾個命題： (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； (x1-x2)f(x1)-f(x2)0； 其中能推出函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)的命題為_. 解析 依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對于，當自變 量增大時，相對應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以可推 出函數(shù)y=f（x）為增函數(shù).,題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷 【例1】已知函數(shù) 證明：函數(shù)f(x)在(-1,+)上為增函數(shù). （1）用函數(shù)單調(diào)性的定義. （2）用導數(shù)法. 證明 方法一 任取x1,x2(-1,+), 不妨設(shè)x10,思維啟迪,題型分類 深度剖析,又x1+10,x2+10, 于是f(x2)-f(x1)= 故函數(shù)f(x)在（-1,+）上為增函數(shù).,方法二 求導數(shù)得 a1,當x-1時，axln a0, f(x)0在（-1，+）上恒成立， 則f(x)在（-1,+）上為增函數(shù). 對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明 其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義（基本步 驟為取點、作差或作商、變形、判斷）求解.可導函 數(shù)則可以利用導數(shù)解之.,探究提高,知能遷移1 試討論函數(shù) x(-1,1)的單 調(diào)性（其中a0）. 解 方法一 根據(jù)單調(diào)性的定義求解. 設(shè)-10, 即-10.,因此，當a0時，f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2),此時函數(shù)為減函數(shù)； 當a0時，f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2),此時函數(shù)f(x)為增函數(shù). 方法二,當a0時，-10時，f（x)在（-1，1）上為減函數(shù)； a0時，f(x)在（-1，1）上為增函數(shù).,題型二 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 【例2】已知函數(shù)f(x)=log2(x2-2x-3)，則使f(x)為減 函數(shù)的區(qū)間是 ( ) A.(3,6) B.(-1,0) C.(1,2) D.（-3,-1） 先求得函數(shù)的定義域,然后再結(jié)合二次 函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行考慮. 解析 由x2-2x-30,得x3,結(jié)合二次函數(shù)的 對稱軸直線x=1知,在對稱軸左邊函數(shù)y=x2-2x-3是 減函數(shù)，所以在區(qū)間（-，-1）上是減函數(shù),由 此可得D項符合.故選D.,思維啟迪,D,（1）復(fù)合函數(shù)是指由若干個函數(shù)復(fù)合而 成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u) 的單調(diào)性密切相關(guān)，其單調(diào)性的規(guī)律為“同增異減”， 即f(u)與g(x)有相同的單調(diào)性，則fg(x)必為增函 數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則fg(x)必為減函數(shù). （2）討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是： 求出復(fù)合函數(shù)的定義域； 把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)并判斷其 單調(diào)性； 把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍； 根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性.,探究提高,知能遷移2 函數(shù)y= 的遞減區(qū)間為 （ ） A.(1,+) B. C. D. 解析 作出t=2x2-3x+1的示意 圖如圖所示， 0 1, 遞減. 要使 遞減, t應(yīng)該大于0且遞增, 故x(1,+).,A,題型三 函數(shù)的單調(diào)性與最值 【例3】已知函數(shù) x1,+). (1)當a= 時,求f(x)的最小值; (2)若對任意x1,+),f(x)0恒成立，試求實 數(shù)a的取值范圍. 第(1)問可先證明函數(shù)f(x)在1,+) 上的單調(diào)性,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對于第 (2)問可采用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)在1,+)上的最小 值大于0的問題來解決.,思維啟迪,解 設(shè)1x10,2x1x22, f(x2)-f(x1)0,f(x1)0恒成立 x2+2x+a0恒成立.,設(shè)y=x2+2x+a,x1,+), 則函數(shù)y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在區(qū)間1,+)上是 增函數(shù). 當x=1時，ymin=3+a, 于是當且僅當ymin=3+a0時,函數(shù)f(x)0恒成立， 故a-3. 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運 用,(1)中用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值;(2)中用函 數(shù)的最值解決恒成立問題.在(2)中，還可以使用分 離參數(shù)法，要使x2+2x+a0在1,+)上恒成立, 只要a-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函數(shù) 的性質(zhì)得-(x+1)2+1-3,所以只要a-3即可.,探究提高,知能遷移3 已知函數(shù) (a0,x0), (1)求證:f(x)在(0,+)上是單調(diào)遞增函數(shù); (2)若f(x)在 上的值域是 求a的值. (1)證明 設(shè)x2x10,則x2-x10,x1x20, f(x2)f(x1), f(x)在(0,+)上是單調(diào)遞增的.,題型四 函數(shù)單調(diào)性與不等式 【例4】(12分)函數(shù)f(x)對任意的a、bR,都有f(a+b) =f(a)+f(b)-1,并且當x0時，f(x)1. （1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3. 問題(1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,所 以要用單調(diào)性的定義. 問題(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號“f”運 用單調(diào)性“去掉”,為此需將右邊常數(shù)3看成某個 變量的函數(shù)值.,思維啟迪,解 （1）設(shè)x1,x2R，且x10,f(x2-x1)1. 2分 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. 5分 f（x2）f(x1). 即f(x)是R上的增函數(shù). 6分,（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5， f（2）=3， 8分 原不等式可化為f(3m2-m-2)f(2), f(x)是R上的增函數(shù)，3m2-m-22, 10分 解得-1m ,故解集為 12分 f(x)在定義域上（或某一單調(diào)區(qū)間上） 具有單調(diào)性，則f(x1)f(x2) f(x1)-f(x2)0,若函數(shù)是 增函數(shù),則f(x1)f(x2) x1x2,函數(shù)不等式（或方程） 的求解，總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號，化為一 般不等式（或方程）求解，但無論如何都必須在定義 域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進行.,探究提高,知能遷移4 已知定義在區(qū)間（0，+）上的函數(shù)f(x) 滿足 =f(x1)-f(x2)，且當x1時，f(x)0, 代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.,（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,則 由于當x1時，f(x)9,x9或x9或x-9.,1.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明（判定）函數(shù)f(x) 在其區(qū)間上的單調(diào)性，其步驟是 （1）設(shè)x1、x2是該區(qū)間上的任意兩個值，且x1x2； （2）作差f（x1）-f（x2），然后變形； （3）判定f（x1）-f（x2）的符號； （4）根據(jù)定義作出結(jié)論.,方法與技巧,思想方法 感悟提高,2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的增減區(qū)間都是其 定義域的子集;其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本 初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.常用方法有：根據(jù)定義，利用 圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導數(shù)的性質(zhì). 3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 對于復(fù)合函數(shù)y=fg(x),若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是 單調(diào)函數(shù),且y=f(t)在區(qū)間(g(a),g(b)或者(g(b), g(a)上是單調(diào)函數(shù),若t=g(x)與y=f(t)的單調(diào)性相同 (同時為增或減),則y=fg(x)為增函數(shù);若t=g(x)與 y=f(t)的單調(diào)性相反,則y=fg(x)為減函數(shù). 簡稱為:同增異減.,1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上 單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.單調(diào)區(qū)間要分開寫,即使在兩 個區(qū)間上的單調(diào)性相同,也不能用并集表示. 2.兩函數(shù)f(x)、g(x)在x(a,b)上都是增(減)函數(shù),則 f(x)+g(x)也為增(減)函數(shù),但f(x)g(x), 等的 單調(diào)性與其正負有關(guān)，切不可盲目類比.,失誤與防范,一、選擇題 1.若函數(shù)y=ax與 在(0,+)上都是減函數(shù)， 則y=ax2+bx在（0，+）上是 （ ） A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減 D.先減后增 解析 y=ax與 在(0,+)上都是減函數(shù), a0,b0，y=ax2+bx的對稱軸方程 y=ax2+bx在（0，+）上為減函數(shù).,B,定時檢測,2.函數(shù) （a0且a1）是R上 的減函數(shù)，則a的取值范圍是 ( ) A.（0，1） B. C. D. 解析 據(jù)單調(diào)性定義，f（x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：,B,3.下列四個函數(shù)中,在(0,1)上為增函數(shù)的是 ( ) A.y=sin x B.y=-log2x C. D. 解析 y=sin x在 上是增函數(shù)， y=sin x在（0，1）上是增函數(shù).,A,4.(2009天津理，8)已知函數(shù) 若f(2-a2)f(a)，則實數(shù)a 的取值范圍是 （ ） A.（-,-1）(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) 解析 由f(x)的圖象 可知f(x)在(-,+)上是單調(diào)遞增函數(shù),由f(2-a2) f(a)得2-a2a,即a2+a-20,解得-2a1.,C,5.若函數(shù)f(x)=x3 (xR)，則函數(shù)y=f(-x)在其定義域 上是 ( ) A.單調(diào)遞減的偶函數(shù) B.單調(diào)遞減的奇函數(shù) C.單調(diào)遞增的偶函數(shù) D.單調(diào)遞增的奇函數(shù) 解析 f(x)=x3 (xR)，則函數(shù)y=f(-x)=-x3 (xR) 顯然在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的奇函數(shù).,B,6.函數(shù)f(x)=ln(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( ) A. B. C. D. 解析 函數(shù)f(x)的定義域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4 的減區(qū)間為 e1,函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為,D,二、填空題 7.若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+mx+3 (xR)是偶函數(shù)，則 f(x)的單調(diào)減區(qū)間是_. 解析 f（x）是偶函數(shù)，f（-x）=f（x）， (m-1)x2-mx+3=(m-1)x2+mx+3， m=0.這時f(x)=-x2+3， 單調(diào)減區(qū)間為0，+).,0,+),8.若函數(shù) 在區(qū)間(m，2m+1)上是單調(diào)遞 增函數(shù)，則m_. 解析 令f(x)0,得-1m,m-1. 綜上，-1m0.,(-1,0,9.已知定義域為D 的函數(shù)f(x)，對任意xD,存在正 數(shù)K，都有|f(x)|K成立，則稱函數(shù)f(x)是D上的 “有界函數(shù)”.已知下列函數(shù):f(x)=2sin x; f(x)= f(x)=1-2x; 其中 是“有界函數(shù)”的是_.（寫出所有滿足要求 的函數(shù)的序號）,解析 中|f（x）|=|2sin x|2,中|f（x）|1; 當x=0時，f(x)=0，總之，|f(x)| f(x)1,|f（x）|+,故填. 答案 ,三、解答題 10.判斷f(x)= 在(-,0)(0,+)上的單調(diào)性. 解 -1f(-1)=-1, f(x)在（-，0）（0，+）上不是增函數(shù). f（x）在（-，0）(0,+)上不具有單調(diào)性.,11.已知 （1）若a=-2,試證f(x)在（-,-2）內(nèi)單調(diào)遞增； （2）若a0且f(x)在（1,+）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取 值范圍. （1）證明 任設(shè)x10,x1-x20, f(x1