概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題和課件(歷史上最好的2-4.ppt

問題的提出,在實際中，人們有時對隨機變量的函數(shù)更感興趣。如: 已知圓軸截面直徑 D 的分布,2.4 隨機變量函數(shù)的分布,求截面面積 的分布。,又如：已知 t=t0 時刻噪聲電壓 I 的分布，,求功率 W=I2R (R為電阻) 的分布等。,一般地，設隨機變量 X 的分布已知，求Y = g(X) (設 g 是連續(xù)函數(shù)) 的分布。,這個問題無論在理論上還是在實實際中都非常重要。,2.4.1 離散型隨機變量函數(shù)的分布,解：當 X 取值 -1，0，1，2 時， Y 取對應值 4，1，0 和 1。,由 PY=0 = PX=1=0.1， PY=1 = PX=0+PX=2 = 0.3+0.4 = 0.7， PY=4 = PX=-1 = 0.2 .,例1：設隨機變量 X 有如下概率分布：,求 Y= (X 1)2 的概率分布。,得 Y 的概率分布：,一般地，若X是離散型 隨機變量，概率分布為,如果 g(x1), g(x2), , g(xk), 中有一些是相同 的，把它們作適當并項即可得到一串互不相同 (不妨認為從小到大) 的 y1, y2 , yi ,.,把 yi 所對應的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加， 記成 qi , 則 q1, q2, , qi ,就是Y = g(X) 的概率分布。,例2：在應用上認為: 單位時間內(nèi)，一個地區(qū)發(fā) 生火災的次數(shù)服從泊松分布。設某城市一個月 內(nèi)發(fā)生火災的次數(shù) XP(5)，試求隨機變量Y= |X-5|的概率分布。,解：由于X的所有可能取值為0, 1, 2, , 對應的概率分布為,及Y=|X-5|可知，Y 的所有可能取值為0, 1, 2, 。且對每個 i，當 0 i 5時，有 k=5+i 和 k=5-i 兩個 k 值與 i 對應, 使 |k-5|=i ;,當i=0 或 i6 時，只有一個 k 值與 i 對應，使|k-5|=i 。 于是，Y的概率分布為：,2.4.2 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,解：設 Y 的分布函數(shù)為 FY(y)，則,例3：設隨機變量X 有概率密度,求 Y = 2X+8 的概率密度。,于是Y 的密度函數(shù),注意到,得,求導可得,當 y0 時,例4：設 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。,解：設Y 和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0，故當 y0時，F(xiàn)Y(y)=0；,若,則 Y=X2 的概率密度為：,從上述兩例中可以看到, 在求P(Yy)的過程中, 關鍵的一步是設法從 g(X)y 中解出X,從而得到與 g(X)y 等價的X的不等式 。 例如: 用X(y-8)/2 代替 2X+8y,用 代替 X2 y 。,這樣做是為了利用已知的 X的分布，求出相應的Y的分布函數(shù) FY (y)。,這是求隨機變量函數(shù) Y = g(X) 的分布函數(shù)的一種常用方法。,例5：設隨機變量X的概率密度為,求 Y = sinX 的概率密度。,解：注意到,當 y0 時， FY(y)=0；,當 y1時，F(xiàn)Y(y)=1；,當 0 y 1時,而,對 FY (y) 求導，得,所以,例6：已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù), 證明Y=F(X)服從0,1上的均勻分布。,又由于X的分布函數(shù)F是嚴格遞增的連續(xù)函數(shù), 其反函數(shù) F-1 存在，且嚴格遞增。,證明: 設Y 的分布函數(shù)是 G(y)，,于是，,對 y1, G(y)=1;,對 y0, G(y)=0;,由于0y1，,對0y1,G(y)=P Y y ,=P F(X) y ,=F (y)= y，,即Y的分布函數(shù)是,=P F-1 F(X)F-1 (y) ,=P XF-1 (y) ,Y 的密度函數(shù),故, Y 服從0，1上的均勻分布。,下面給出一個定理，當定理的條件滿足時，可直接求隨機變量函數(shù)的概率密度 。,定理的證明與前面的解題思路類似。,其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函數(shù)，,定理1: 設 X是一個取值于區(qū)間a, b, 具有概率密度 fX(x)的連續(xù)型隨機變量, 又設 y= g(x)處處可導的嚴格單調(diào)函數(shù), 記 (, ) 為g(x)的值域，則隨機變量Y = g(X)是連續(xù)型隨機變量，概率密度為,例6：設隨機變量X在 (0,1) 上服從均勻分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。,解：在區(qū)間 (0, 1) 上，函數(shù) ln x 0，,故 y = -2ln x 0,于是 y = -2ln x 在區(qū)間 (0,1) 上單調(diào)下降， 有反函數(shù),由前述定理，得,注意取 絕對值,已知 X 在 (0,1) 上服從均勻分布，,代入 的表達式中,得,即Y 服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布。,本節(jié)