高中數(shù)學(xué)第三章生活中的優(yōu)化問題舉例課時(shí)提升作業(yè)（二十五）3.4生活中的優(yōu)化問題舉例檢測(cè)（含解析）.docx

課時(shí)提升作業(yè)(二十五)生活中的優(yōu)化問題舉例(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-13x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A.13萬(wàn)件B.11萬(wàn)件C.9萬(wàn)件D.7萬(wàn)件【解析】選C.y=-x2+81,令導(dǎo)數(shù)y=-x2+810,解得0x9;令導(dǎo)數(shù)y=-x2+819,在區(qū)間(0,9)上是增函數(shù),在區(qū)間(9,+)上是減函數(shù),所以在x=9處取極大值,也是最大值.2.圓柱形金屬飲料罐的體積一定,要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省,它的高與底面半徑比為()A.21B.12C.14D.41【解題指南】設(shè)出高及底面半徑,當(dāng)飲料罐用料最省時(shí),用體積表示出高及半徑后求比值.【解析】選A.設(shè)圓柱形飲料罐的高為h,底面半徑為R,則表面積S=2Rh+2R2.由V=R2h,得h=,則S(R)=2R+2R2=+2R2,令S(R)=-+4R=0,解得R=,從而h=2,即h=2R,因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值,所以它是最小值,當(dāng)飲料罐的高與底面直徑相等,即hR=21時(shí)所用材料最省.3.已知球O的半徑為R,圓柱內(nèi)接于球,當(dāng)內(nèi)接圓柱的體積最大時(shí),高等于()A.233RB.33RC.32RD.3R【解析】選A.設(shè)球內(nèi)接圓柱的高為h,圓柱底面半徑為r,則h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-h2(0h2R).所以圓柱的體積為V(h)=r2h=hR2-14h2=R2h-h3(0h2R).求導(dǎo)數(shù),得V(h)=R2-h2=R+3h2R-3h2,所以0h0;h2R時(shí),V(h)0,由此可得:V(h)在區(qū)間0,23R3上是增函數(shù);在區(qū)間上是減函數(shù),所以當(dāng)h=時(shí),V(h)取得最大值.4.(2015益陽(yáng)高二檢測(cè))某箱子的體積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)=x260-x2(0x60),則當(dāng)箱子的體積最大時(shí),箱子底面邊長(zhǎng)為()A.30B.40C.50D.60【解題指南】V(x)是三次函數(shù),其最值問題可用求導(dǎo)法.【解析】選B.V(x)=-x2+60x=-x(x-40),因?yàn)?x60,所以當(dāng)0x0,此時(shí)V(x)單調(diào)遞增;當(dāng)40x60時(shí),V(x)0,此時(shí)V(x)單調(diào)遞減所以x=40是V(x)的極大值,即當(dāng)箱子的體積最大時(shí),箱子底面邊長(zhǎng)為40.5.用長(zhǎng)為90cm,寬為48 cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖),當(dāng)容器的體積最大時(shí),該容器的高為()A.8cmB.9cmC.10cmD.12cm【解析】選C.設(shè)容器的高為xcm,容器的體積為V(x)cm3,則V(x)=(90-2x)(48-2x)x=4x3-276x2+4320x(0x24),因?yàn)閂(x)=12x2-552x+4320,由12x2-552x+4320=0得x=10或x=36(舍),因?yàn)楫?dāng)0x0,當(dāng)10x24時(shí),V(x)0,所以當(dāng)x=10時(shí),V(x)在區(qū)間(0,24)內(nèi)有唯一極大值,所以容器高x=10cm時(shí),容器體積V(x)最大.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,則體積的最大值為.【解析】設(shè)圓柱底面半徑為R,高為H,圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,則4R+2H=l,所以H=-2R,所以V=SH=R2H=R2(-2R) =R2-2R3,則V=Rl-6R2,令V=0,可得Rl-6R2=0,所以R(l-6R)=0,所以l-6R=0,所以R=,當(dāng)R0,R時(shí),V0,故當(dāng)R=時(shí),V取極大值.故當(dāng)R=時(shí),圓柱體積有最大值,圓柱體積的最大值是:V=R2-2R3=.答案:7.統(tǒng)計(jì)表明:某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y=1128 000x3-380x+8,x(0,120,且甲、乙兩地相距100千米,則當(dāng)汽車以千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少.【解析】當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí),汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí),設(shè)耗油量為h(x)升,依題意得h(x)=x2+-(0x120),h(x)=-=(0x120).令h(x)=0,得x=80.當(dāng)x(0,80)時(shí),h(x)0,h(x)是增函數(shù).所以當(dāng)x=80時(shí),h(x)取到極小值h(80)=11.25.故當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少,最少為11.25升.答案:80【補(bǔ)償訓(xùn)練】甲乙兩地相距240km,汽車從甲地以速度v(km/h)勻速行駛到乙地.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成,固定成本為160元,可變成本為16 400v3元.為使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以速度行駛.【解析】設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,由題意,得y=240,v0,y=240.令y=0,得v=80.當(dāng)v80時(shí),y0;當(dāng)0v80時(shí),y0),即L(x)=x-1200-x3,L(x)=-,令L(x)=0,即-=0,得x=25,因?yàn)閤=25是函數(shù)L(x)在(0,+)上唯一的極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),從而是最大值點(diǎn).答案:25三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015泰安高二檢測(cè))某工廠共有10臺(tái)機(jī)器,生產(chǎn)一種儀器元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制,會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4x12)之間滿足關(guān)系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元,但每產(chǎn)生1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元.(利潤(rùn)=盈利-虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù).(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為多少?【解析】(1)由題意得,所獲得的利潤(rùn)為y=102(x-P)-P=20x-3x2+96lnx-90(4x12).(2)由(1)知,y=當(dāng)4x0,函數(shù)在4,6上為增函數(shù);當(dāng)6x12時(shí),y0,函數(shù)在6,12上為減函數(shù),所以當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)取得極大值,且為最大值,最大利潤(rùn)為y=206-362+96ln6-90=96ln6-78(萬(wàn)元)答:當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為6萬(wàn)件時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為96ln6-78萬(wàn)元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某廠家擬對(duì)一商品舉行促銷活動(dòng),當(dāng)該商品的售價(jià)為x元時(shí),全年的促銷費(fèi)用為12(15-2x)(x-4)萬(wàn)元;根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn),實(shí)施促銷后的年銷售量t=12(x-8)2+ax-4萬(wàn)件,其中4x7.5,a為常數(shù).當(dāng)該商品的售價(jià)為6元時(shí),年銷售量為49萬(wàn)件.(1)求出a的值.(2)若每件該商品的成本為4元時(shí),寫出廠家銷售該商品的年利潤(rùn)y萬(wàn)元與售價(jià)x元之間的關(guān)系.(3)當(dāng)該商品售價(jià)為多少元時(shí),使廠家銷售該商品所獲年利潤(rùn)最大.【解析】(1)由已知:當(dāng)x=6元時(shí),t=49萬(wàn)件,所以49=12(6-8)2+,所以a=2.(2)因?yàn)閥=(x-4)t-12(15-2x)(x-4)所以y=(x-4)-12(15-2x)(x-4)=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2=12(x-4)(x-7)2+2(4x7.5).(3)y=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5),令y=0得x=7或x=5.列表如下x(4,5)5(5,7)7(7,7.5)y+0-0+y極大值50極小值2故當(dāng)x=5時(shí),y最大=50,故該商品售價(jià)為5元時(shí)廠家銷售該商品所獲年利潤(rùn)最大.【誤區(qū)警示】實(shí)際問題的求解不要忽視作答.10.(2015桂林高二檢測(cè))用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架,如果所制的容器的長(zhǎng)與寬之比為21,那么高為多少時(shí)容器的體積最大?并求出它的最大體積.【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm,則長(zhǎng)為2xm,高為(4.5-3x)m.由解得0x,故長(zhǎng)方體的體積為V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x30x32,從而V(x)=18x-18x2=18x(1-x),令V(x)=0,解得x=1或x=0(舍去),當(dāng)0x0;當(dāng)1x時(shí),V(x)0,故在x=1處V(x)取得極大值,并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值,從而最大體積為V(1)=912-613=3(m3),此時(shí)容器的高為4.5-3=1.5(m).因此,容器高為1.5m時(shí)容器的體積最大,最大體積為3m3.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.如圖所示,半徑為2的M切直線AB于點(diǎn)O,射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB.旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,OC交M于點(diǎn)P.記PMO為x,弓形PnO的面積為S=f(x),那么f(x)的圖象是下圖中的()【解析】選A.由所給的圖示可得,當(dāng)0x時(shí),弓形PnO的面積為S=f(x)=S扇形PnO-SMPO=2x-2sinx,其導(dǎo)數(shù)為f(x)=2-2cosx,由余弦函數(shù)的性質(zhì)知,此值越來(lái)越大,即f(x)的圖象上升得越來(lái)越快,由此可以排除B,C;再由所給圖示的對(duì)稱性知,弓形PnO的面積先是增加得越來(lái)越快,然后是增加得越來(lái)越慢,直到增加率為0,由此可以排除D,故選A.2.將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S=,則S的最小值是()A.3233B.1633C.833D.433【解題指南】設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x,用x表示出梯形周長(zhǎng)、梯形面積后代入求最值.【解析】選A.設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x,則S=(0x1).設(shè)S(x)=,則S(x)=.由S(x)=0,0x1,得x=,當(dāng)x0,13時(shí),S(x)0,S(x)單調(diào)遞增;故當(dāng)x=時(shí),S的最小值是.二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2015亳州高二檢測(cè))某超市中秋前30天,月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0t30,tZ)的關(guān)系大致滿足f(t)=t2+10t+12,則該超市前t天平均售出(如前10天的平均售出為f(10)10)的月餅最少為.【解析】記g(t)=t+10(00,得t2,令g(t)0,得0t0).令F(x)=-+1=0(x0),得惟一的極值點(diǎn)x=7;因?yàn)樽钍×Φ母軛U長(zhǎng)確實(shí)存在,所以當(dāng)杠桿長(zhǎng)為7m時(shí)最省力.答案:7m三、解答題(每小題10分,共20分)5.時(shí)下,網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì),假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價(jià)格x(單位:元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2,其中2x6,m為常數(shù).已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí),每日可售出套題21千套.(1)求m的值.(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資,辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.(保留1位小數(shù))【解析】(1)因?yàn)閤=4時(shí),y=21,代入關(guān)系式y(tǒng)=+4(x-6)2,得+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知,套題每日的銷售量y=+4(x-6)2,所以每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6),從而f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在上,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大.6.(2015江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直線分別為y,x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b為常數(shù))模型.(1)求a,b的值.(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度.【解析】(1)由題意知,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,40),N點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,2.5),代入曲線C的方程y=可得:解得(2)由(1)知曲線C的方程為y=(5x20),y=-,所以y|x=t=-即為l的