高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課時(shí)提升作業(yè)（二十四）3.3.3函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)檢測（含解析）.docx

課時(shí)提升作業(yè)(二十四)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2015綿陽高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+3bx(a,b為實(shí)數(shù),a0),當(dāng)x0,1時(shí),有f(x)0,1,則b的最大值是()A.12B.24C.32D.3+14【解析】選C.因?yàn)閒(x)=3ax2+3b,所以令f(x)=3ax2+3b=0,可得x=,1時(shí),f(x)max=f(1)=1,所以b,00)的導(dǎo)數(shù)f(x)的最大值為5,則在函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程是()A.3x-15y+4=0B.15x-3y-2=0C.15x-3y+2=0D.3x-y+1=0【解題指南】首先由導(dǎo)函數(shù)的最大值可以求出a值,再求切線方程.【解析】選B.因?yàn)閒(x)=-x3+2ax2+3x,所以f(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,因?yàn)閷?dǎo)數(shù)f(x)的最大值為5,所以2a2+3=5,因?yàn)閍0,所以a=1,所以f(1)=5,f(1)=,所以在函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.5.(2015銀川高二檢測)已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在-2,2上有最大值3,那么此函數(shù)在-2,2上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不對【解題指南】利用已知的最大值可以求出m值,再求函數(shù)的最小值.【解析】選A.因?yàn)閒(x)=6x2-12x=6x(x-2),因此f(x)在(-2,0)上為增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù),所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)=m最大,所以m=3,從而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值為-37.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)=2x2-lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)存在最小值,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.1,+)B.1,32C.1,2)D.32,2【解析】選B.因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0,+),又f(x)=4x-,由f(x)=0,得x=.根據(jù)函數(shù)在區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)存在最小值,可得函數(shù)在區(qū)間k-1,12內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),即函數(shù)f(x)在區(qū)間k-1,12內(nèi)小于零,在區(qū)間內(nèi)大于零.故有解得1k.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2014湖州高二檢測)當(dāng)x-1,1時(shí),函數(shù)f(x)=x2ex的值域是.【解析】f(x)=,故當(dāng)-1x0時(shí),f(x)0,當(dāng)0x0,故當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)取極小值,也是最小值,f(0)=0,又f(-1)=e,f(1)=.故函數(shù)的值域?yàn)?,e.答案:0,e7.函數(shù)f(x)=ax4-4ax2+b(a0,1x2)的最大值為3,最小值為-5.則a=,b=.【解析】因?yàn)閒(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2),令f(x)=0,解得x=0,-,.因?yàn)?,2,且當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取極小值,故f()=4a-8a+b=-4a+b=-5,又f(1)=-3a+b,f(2)=b,a0,故f(2)=b=3,故a=2.答案:238.若函數(shù)f(x)=xx2+a(a0)在1,+)上的最大值為33,則a的值為.【解析】f(x)=,當(dāng)x時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)-x0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x=時(shí),f(x)=a2a=33,解得=321不合題意,所以f(x)max=f(1)=33,所以a=-1.答案:-1三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)若f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.【解析】(1)f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,解得x3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,-1)和(3,+).(2)因?yàn)閒(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因?yàn)樵?-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上單調(diào)遞增,又由于f(x)在-2,-1上單調(diào)遞減,因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上的最小值為-7.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)ex在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程是y=-2x+1,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a,b的值.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,3上的值域.【解析】(1)由f(x)=(x2+ax+b)ex,得f(x)=x2+(a+2)x+a+bex,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程是y=-2x+1,所以即解得a=-3,b=1.(2)由(1)知f(x)=(x2-3x+1)ex,f(x)=(x2-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex,令f(x)=0,得x1=-1或x2=2.f(x)與f(x)的關(guān)系如表:x-2(-2,-1)-1(-1,2)2(2,3)3f(x)+0-0+f(x)11e-2-e2e3由上表可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,3上的值域是-e2,e3.10.(2015全國卷)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=-a.若a0,則f(x)0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.若a0,則當(dāng)x時(shí),f(x)0;x時(shí),f(x)0時(shí),f(x)在x=處取得最大值,最大值為f=ln+a=-lna+a-1.因此f2a-2等價(jià)于lna+a-10,令g(a)=lna+a-1,則g(a)在(0,+)上單調(diào)遞增,g(1)=0.于是,當(dāng)0a1時(shí),g(a)1時(shí),g(a)0.因此,a的取值范圍是(0,1).(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.函數(shù)y=lnxx的最大值為()A.e-1B.eC.e2D.103【解析】選A.函數(shù)的定義域?yàn)?0,+),y=,令y=0,解得x=e,易知當(dāng)x=e時(shí),函數(shù)取極大值,同時(shí)也是最大值,故ymax=e-1.2.(2015重慶高二檢測)函數(shù)f(x)=-x3+3x在區(qū)間(a2-12,a)上有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-1,11)B.(-1,2)C.(-1,2D.(1,4)【解析】選C.由題f(x)=3-3x2,令f(x)0解得-1x1;令f(x)0解得x1,由此得函數(shù)在(-,-1)上是減函數(shù),在(-1,1)上是增函數(shù),在(1,+)上是減函數(shù),故函數(shù)在x=-1處取到極小值-2,判斷知此極小值必是區(qū)間(a2-12,a)上的最小值,所以a2-12-1a,解得-1a,又當(dāng)x=2時(shí),f(2)=-2,故有a2,綜上知a(-1,2.二、填空題(每小題5分,共10分)3.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)=x2+2xf(2)+15,在閉區(qū)間0,m上有最大值15,最小值-1,則m的取值范圍是.【解析】函數(shù)f(x)=x2+2xf(2)+15的導(dǎo)函數(shù)為f(x)=2x+2f(2),所以f(2)=4+2f(2),所以f(2)=-4,所以f(x)=x2-8x+15,且對稱軸為x=4.又因?yàn)樵陂]區(qū)間0,m上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,所以0,40,m,且f(m)f(0)=15,所以4m8.答案:4,8【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014大慶高二檢測)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n-1,1,則f(m)+f(n)的最小值是.【解析】因?yàn)閒(x)=-3x2+2ax,函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,所以-12+4a=0,解得a=3,所以f(x)=-3x2+6x,所以n-1,1時(shí),f(n)=-3n2+6n,當(dāng)n=-1時(shí),f(n)最小,最小為-9,當(dāng)m-1,1時(shí),f(m)=-m3+3m2-4,f(m)=-3m2+6m,令f(m)=0得m=0或m=2(舍去),所以m=0時(shí),f(m)最小為-4,故f(m)+f(n)的最小值為-9+(-4)=-13.答案:-134.(2015福州高二檢測)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2,6,x與f(x)部分對應(yīng)值如表,f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.給出下列說法:x-2056f(x)3-2-23函數(shù)f(x)在(0,3)上是增函數(shù);曲線y=f(x)在x=4處的切線可能與y軸垂直;如果當(dāng)x-2,t時(shí),f(x)的最小值是-2,那么t的最大值為5;x1,x2-2,6,都有|f(x1)-f(x2)|a恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值是5.正確的個(gè)數(shù)是.【解析】由圖象得:x-2,0時(shí),f(x)0,f(x)遞增,f(x)-2,x(3,5)時(shí),f(x)-2,x5,6時(shí),f(x)0,f(x)遞增,-2f(x)3,故正確,錯(cuò)誤.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)5.已知M(-1,m),N(2,n)是二次函數(shù)f(x)=ax2(a0)圖象上兩點(diǎn),且MN=32.(1)求a的值.(2)求f(x)的圖象在N點(diǎn)處切線的方程.(3)設(shè)直線x=t與f(x)和曲線y=lnx的圖象分別交于點(diǎn)P,Q,求PQ的最小值.【解析】(1)由題意得:解得a=1.(2)由(1)可得:f(x)=x2,N(2,4),所以f(x)=2x,則f(x)的圖象在N點(diǎn)處切線的斜率為4,所以f(x)的圖象在N點(diǎn)處的切線方程為y=4x-4,(3)由題意可得:PQ=|t2-lnt|,t0,令g(t)=t2-lnt,t0,g(t)=2t-=,t0,所以當(dāng)t0,22時(shí),g(t)0,g(t)單調(diào)遞增.所以g(t)g=+ln2.所以PQ的最小值為+ln2.6.(2015浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,bR).(1)當(dāng)b=a24+1時(shí),求函數(shù)f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表達(dá)式.(2)已知函數(shù)f(x)在-1,1上存在零點(diǎn),0b-2a1,求b的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)b=+1時(shí),f(x)=+1,故其對稱軸為x=-.當(dāng)a-2時(shí),g(a)=f(1)=+a+2,當(dāng)-22時(shí),g(a)=f(-1)=-a+2.綜上,g(a)=(2)設(shè)s,t為方程f(x)=0的解,且-1t1,則由于0b-2a1,因此s(-1t1),當(dāng)0t1時(shí),b,由于-0和-9-4,所以-b9-4,當(dāng)-1t0時(shí),b,由于-20和-30,所以-3bx成立,求m的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)間(x)=ex-1,由g(x)=0,得x=0,所以當(dāng)x0時(shí),g