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無 窮 級 數(shù),從18世紀以來，無窮級數(shù)就被認為是微積分的一個不可缺少的部分，是高等數(shù)學的重要內容，同時也是有力的數(shù)學工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質等方面有巨大作用，在自然科學和工程技術領域有著廣泛的應用,本章主要內容包括常數(shù)項級數(shù)和兩類重要的函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)和三角級數(shù)，主要圍繞三個問題展開討論：級數(shù)的收斂性判定問題，把已知函數(shù)表示成級數(shù)問題，級數(shù)求和問題。,一、問題的提出,1. 計算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,二、級數(shù)的概念,1. 級數(shù)的定義:,一般項,(常數(shù)項)無窮級數(shù),級數(shù)的部分和,部分和數(shù)列,2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散:,余項,無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對 稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長無限的圖形“Koch雪花”,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,第 次分叉：,周長為,面積為,于是有,雪花的面積存在極限（收斂）,結論：雪花的周長是無界的，而面積有界,解,收斂,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,綜上,解,三、基本性質,結論: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), 斂散性不變.,結論: 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.,證明,類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.,證明,注意,收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,若記,則加括號后級數(shù)成為,的部分和記為,則,由數(shù)列和子數(shù)列的關系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,四、收斂的必要條件,級數(shù)收斂的必要條件:,證明,注意,1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,討論,2項,2項,4項,8項,項,由性質4推論,調和級數(shù)發(fā)散.,由定積分的幾何意義,這塊面積顯然大于定積分,就是圖中 n 個矩形的面積之和,即,故調和級數(shù)發(fā)散,調和級數(shù)的部分和,常數(shù)項級數(shù)審斂法,2、正項級數(shù)及其審斂法,(1) 比較審斂法,(2) 比較審斂法的極限形式,是同階無窮小,特別,（等價無窮?。?3、交錯級數(shù)及其審斂法,4、任意項級數(shù)及其審斂法,Leibniz定理,絕對收斂，條件收斂,附：,正項級數(shù)與任意項級數(shù)審斂程序,例1,求極限,解,考察正項級數(shù),由檢比法,收斂,由級數(shù)收斂的必要條件得,二、典型例題,例2 設,試證,發(fā)散,證,不妨設 a 0,由極限保號性知,由于,故由比較法的極限形式得,發(fā)散,則,例3,解,根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，,原級數(shù)發(fā)散,解,從而有,原級數(shù)收斂；,原級數(shù)發(fā)散；,原級數(shù)也發(fā)散,例4,解,即原級數(shù)非絕對收斂,由萊布尼茨定理：,所以此交錯級數(shù)收斂，,故原級數(shù)是條件收斂,證,再由比較審斂法知,而,即,可表為兩個收斂級數(shù),之和,證,由題設知,而,收斂,由比較法得,收斂,Cauchy積分審斂法,例7,證,由 f(x) 單調減少知,即,故,與,同斂散,例8,證,記,則,且,而正項級數(shù),的部分和,又,單調增加且有界,故由單調有界原理知,存在,即,收斂,進而,收斂,由比較法得,收斂,證,記,由,單調減少,故由單調有界原理知,存在,且,若,由Leibniz審斂法得,交錯級數(shù),收斂,與題設矛盾,由檢根法知,收斂,例9,已知,證明,由,知,對,有,證,例10,而,收斂,故由比較法知,收斂,由,知,有,而,發(fā)散,故由比較法知,發(fā)散,如,但,討論,的斂散性,解,對級數(shù),收斂,絕對收斂,發(fā)散,發(fā)散,分情況說明,例11,級數(shù)成為,收斂,發(fā)散,級數(shù)成為,絕對收斂,條件收斂,例12,對,的值，研究一般項為,的級數(shù)的斂散性,解,由于當 n 充分大時，,定號,故級數(shù)從某一項以后可視為交錯級數(shù),總有,級數(shù)發(fā)散,非增地趨于 0,由Leibniz審斂法知,收斂,但,而,發(fā)散,故由比較法的極限形式,發(fā)散,條件收斂,級數(shù)顯然收斂,正項級數(shù),由級數(shù)收斂的必要條件要使 收斂必須,但在一般項趨于 0 的級數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，,因此從原則上講，比較法是基礎，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實質，使用起來也更有效,的階,問題的實質是級數(shù)收斂與否取決于,關于常數(shù)項級數(shù)審斂,和,作為,變化快慢,得到檢比法和檢根法，檢比法,和檢根法的實質是把所論級數(shù)與某一幾何級數(shù),作比較，雖然使用起來較方便但都會遇到“失效”的情況。,這一結論將許多級數(shù)的斂散性判定問題歸結為正項級數(shù)的斂散性判定,注,比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對正項級數(shù)方可使用,的一種估計,檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件,L準則也是充分條件而非必要條件,通項中