實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化.ppt

四. 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣是一類特殊的矩陣，它們一定可以對(duì)角化。,即存在可逆矩陣 , 使得,更可找到正交矩陣 ，使得,定理1：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).,證：設(shè) 是 的任一特征值，（往證 ）,是對(duì)應(yīng)于 的特征向量，,則,設(shè),用 表示 的共軛復(fù)數(shù)， 表示 的共軛復(fù)向量。,則,又 是實(shí)對(duì)稱矩陣， 且,由(1)(2)有,等號(hào)兩邊同時(shí)左乘,左邊,右邊,即,考慮,即 為實(shí)數(shù)。,定理2：實(shí)對(duì)稱矩陣 的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。,是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量。,證：設(shè) 是對(duì)稱矩陣 的兩個(gè)特征值，且,則,于是,為實(shí)對(duì)稱矩陣，,考慮,即 正交。,定理3： 為 階實(shí)對(duì)稱矩陣， 是 的 重特征值，,即 的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為,則對(duì)應(yīng)于 的特征向量中，線性無(wú)關(guān)的向量的個(gè)數(shù)為,（則 ）,知道結(jié)論即可,定理4：(實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化),對(duì)于任一 階實(shí)對(duì)稱矩陣 ，,一定存在 階正交矩陣 使得,其中 是以 的 個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。,證：設(shè)實(shí)對(duì)稱陣 的互不相等的特征值為,它們的重?cái)?shù)依次為,則,由定理，特征值 （重?cái)?shù)為 ）對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的 特征向量為 個(gè)。,把它們正交化，再單位化，即得 個(gè)單位正交的特征向量。,所以，可得這樣的單位正交向量 個(gè)。,又 是實(shí)對(duì)稱陣，,上面得到的 個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧弧?以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，有,不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，,其中 的對(duì)角元素含有 個(gè),個(gè),個(gè),恰是 的 個(gè)特征值。,求正交矩陣 ，把實(shí)對(duì)稱矩陣 化為對(duì)角陣的方法：,1. 解特征方程,求出對(duì)稱陣 的全部不同的特征值。,3. 將屬于每個(gè) 的特征向量先正交化，再單位化。,2. 對(duì)每個(gè)特征值 ，求出對(duì)應(yīng)的特征向量，,這樣共可得到 個(gè)兩兩正交的單位特征向量,4. 以 為列向量構(gòu)成正交矩陣,有,即,必須注意：對(duì)角陣中 的順序,要與特征向量 的排列順序一致。,解：,當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為,得基礎(chǔ)解系,令,再單位化：令,當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為,單位化得,得正交矩陣,有,例2：設(shè),求正交矩陣 ，,使得 為對(duì)角陣。,解：,當(dāng) 時(shí)，由,只需把 單位化