實(shí)變函數(shù)論西南輔導(dǎo)課程一至九.ppt

實(shí)變函數(shù),主講教師 ：吳行平,輔導(dǎo)課程一,第一章 集 合,本章主要介紹集合的基本概念，運(yùn)算及其運(yùn)算性質(zhì)。通過本章的學(xué)習(xí)，要掌握集合的基本概念及運(yùn)算規(guī)律，掌握可數(shù)集的基本概念及其性質(zhì)，理解集合對(duì)等的概念，了解基數(shù)的概念，同時(shí)我們要知道一些常用的可數(shù)集與不可數(shù)集。,第一節(jié) 集 合,一、概念 二、表示法 三、簡單術(shù)語,一、概 念,集合：在一定范圍內(nèi)的個(gè)體事物的全體， 當(dāng)把它們看作一個(gè)整體時(shí)，我們把這個(gè)整體稱為一個(gè)集合，其中的每個(gè)事物叫做該集合元素。 注意：1 集合的對(duì)象是確定的。 2 集合的元素是互異的. 3 任一對(duì)象或事物x被當(dāng)作某一給定集合A的元素時(shí),x或者是A的元,或者不是A的元,二者必居其一,而且只居其一. 例1：1，2，3，5，8五個(gè)自然數(shù)構(gòu)成一 個(gè)集合。 例2：全體自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合。 例3：全體大個(gè)子不構(gòu)成一個(gè)集合。,二、表示法,1、列舉法： 2、描述法：,如果A的元均為B的元,如果A與B有完全相同的元,結(jié)論:對(duì)任何集合,有,(1),(2),則,(3),注意 定理中的結(jié)論（2）是證明兩個(gè)集合 相等的重要方法，以后我們經(jīng)常用到。,則,第二節(jié) 集合的運(yùn)算,一、概念 1 并集 2 交集 3 差集 4 上限集與下限集 二、運(yùn)算規(guī)律,1 并集,（1）設(shè)A,B是兩個(gè)集。由A中的元以及B中的元的全體所成的集稱為 A,B兩者的并，記成,例1,（2）設(shè),=,例2 設(shè),是一組集，這里I是指標(biāo)集，在I中取值，那么它們的并定義為,2 交 集,例1 A,（1） 設(shè)A,B是兩個(gè)集，由同時(shí)屬于A與B兩者的那些元所成的集稱為A與B的交，記成,（2）設(shè) ，,例2,在I中取值，那么它們的交定義為,是一組集，這里I是指標(biāo)集,3 差集 設(shè)A,B是兩個(gè)集，由屬于A而不屬于B的那些元 所成的集稱為A與B的差，記成A-B. 當(dāng)B,例1 A,A時(shí)，差集A-B又稱為B關(guān)于A 的補(bǔ)集，,記成,4 上限集與下限集,（1）上限集,設(shè),=,易知：,，可它表示為,是任意一列集.由屬于上述集列中,無限多個(gè)集的那種元素的全體所組成的集稱為這一集列的上限集或上極限記為,實(shí)變函數(shù),主講教師 ：吳行平,輔導(dǎo)課程二,4 上限集與下限集,（1）上限集,設(shè) 是任意一列集.由屬于上述集列中無限 多個(gè)集的那種元素的全體所組成的集稱為這一集列的上 限集或上極限記為 ，可它表示為,=,易知：,（2）下限集,設(shè) 是任意一列集，對(duì)于集列那種除有限個(gè)下標(biāo)外，屬于集列中每個(gè)集的元素全體所組成的集稱為這一集列 的下限集或下極限，記為 ，可它表示為,=,（）極限集,如果 ，則稱集列 收斂，并將這一集稱為 的極限，記為,易知：,如果 為單調(diào)增加（減少）集列， 即 （ ），則 收斂，且有 = （ = ）。,二 運(yùn)算規(guī)律,定理,（參見書上第頁定理）,（交換律）,（結(jié)合律）,（分配律）,定理2 對(duì)于基本集X中的并集與交集的余集運(yùn)算，有 （1） = （2） = 證 設(shè) ，則不屬于任何 ，故屬于每個(gè)C , 因此 ，可見 ，同理可證， 右邊是左邊的子集故得（1） 由（1）取余集得C( )=C( ) 即 = C( ） 再將 換成C ,即得（2）。 所證定理常稱為笛摩根法則。它提供一種對(duì)偶方法，能將已證明的關(guān)于集的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到它們的余集上去。,定理 對(duì)于集E與任意一組集 ， ，恒有分配律 E （ ） 證 任取 E （ ），則 且 ，于是知 且屬于某個(gè) ，對(duì)于這個(gè) ，有 ，從而更有 ，這就證明了E （ ） 反之 ，設(shè) ，則屬于某個(gè) ，從而 且 （對(duì)于這個(gè) ），故更有 且 ，這就證明了 E （ ） 由所得兩步結(jié)果便證明了定理中的等式。,第三節(jié) 對(duì)等與基數(shù),一 對(duì)等,定義1 設(shè)A,B是兩個(gè)非空集，若依一定的法則f, 對(duì)每個(gè)x A, 在B中有唯一確定的元y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在A上而在B中取值的映射，記成 ，并將x與y的關(guān)系寫成 。我們稱A為f的定義域， 為f的值域。 設(shè)給定映射 ，而 ，稱f為到上的映射；如果對(duì)每個(gè) ，僅有唯一的 使 ，稱f為 1-1的 設(shè)給定兩映射 ， ，稱映射 由關(guān)系式 ( ) 定義。 定義2 設(shè)A,B為兩個(gè)非 空集，如有1-1的，到上 的 存在，使 ，則稱A與B對(duì)等，記成 B,例1 自然數(shù)全體與正偶數(shù)全體對(duì)等。 證明 令 即可 例2 全體正奇數(shù)與全體正偶數(shù)對(duì)等 證明 令 即可 例3 （0，1）與全體實(shí)數(shù)對(duì)等 證明 令 即可 注意 例1表明一個(gè)無限集可以和它的一個(gè) 真子集對(duì)等，這正是無限集的本質(zhì)特性。,定理1 對(duì)任何集合A、B、C，均有 （1）（反射性） AA （2）（對(duì)稱性） 若AB，則BA （3）（傳遞性） 若AB,BC,則AC 由此可知，當(dāng)兩個(gè)有限集互相對(duì)等時(shí)， 它們的元素個(gè)素必相同。因此，我們可以 用對(duì)等的概念對(duì)兩個(gè)無限集的元的個(gè)數(shù)進(jìn) 行比較,二 基 數(shù),根據(jù)定理1，我們可把彼此對(duì)等的集合歸做一類。這樣任何集合屬于一類。我們把兩個(gè)彼此對(duì)等的集合稱為具有相同的基數(shù)（亦稱勢、濃度），用 表示集合A的基數(shù),定義3 設(shè) A 、B是兩個(gè)集合，如果A不和B 對(duì)等，但存在B的真子集 ，有A ,則稱A比B有較小的基數(shù)（B比A有較大的基數(shù)）并記為,定理 2（Bernstein定理） 設(shè) A 、B是兩個(gè)非空集合，如果 存在 使A T, B S, 則A B. 注 利用基數(shù)的說法是: 設(shè) ， ，則,注意：這一定理提供了一個(gè)判定兩個(gè)集合 對(duì)等的一個(gè)工具，以后我們經(jīng)常用到。,第四節(jié) 可數(shù)集,本節(jié)我們主要介紹一類非常重要的無限集可數(shù)集。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們要掌握可數(shù)集的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)我們還要知道一些常用的可數(shù)集。,一、可數(shù)集合的概念,定義1 如果集 A與自然數(shù)集對(duì)等，就稱它為 可數(shù)集（可列集）。 顯然，可數(shù)集的一切元可用自然數(shù)編號(hào)使之成 為無窮序列的形式:,結(jié)論：集合A是可數(shù)集合的充要條件是： A可以排成一個(gè)無窮序列,例1 全體正偶數(shù)可數(shù)。 例2 全體整數(shù)可數(shù)。,二、可數(shù)集的性質(zhì),定理1 任何無限集必含有可數(shù)子集。 證,-,可取出可數(shù)子集,定理2 可數(shù)集的子集至多是可數(shù)的。 即或?yàn)橛邢藜驗(yàn)榭蓴?shù)集。,定理3 設(shè)A為可數(shù)集，B 為有限集合或 可數(shù)集，則 可數(shù),證明 （1）先設(shè) 由于可數(shù)集總可排成無窮序列，不妨設(shè) 或 則,或,（2） 一般情形 可由已知結(jié)論得出,定理4 可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并集是可數(shù)集。 證明 參見書第17頁定理4。,=,（按下標(biāo)遞增）,例3,全體有理數(shù)為可數(shù)集。 事實(shí)上，把非零的有理數(shù)a寫成既約分?jǐn)?shù) 的形式， 0, 把和n=|p|+q稱為a的?！，F(xiàn)規(guī)定0的模為1，很明顯，模為n的有理數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，于是把一切有理數(shù)按模遞增編組，其模相同的編在同一組，最后再依次把這些有理數(shù)逐個(gè)編號(hào)，但重復(fù)者除去不計(jì)。這樣，每一個(gè)有理數(shù)得到了一個(gè)確定的號(hào)碼。因而建立了有理數(shù)與自然數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，這就證明了有理數(shù)集的可數(shù)性,定理 5 若A中每個(gè)元素由n個(gè)互相獨(dú)立的記 號(hào)所決定,各記號(hào)跑遍一個(gè)可數(shù)集 A= ， 則A為可數(shù)集。 證明 用數(shù)學(xué)歸納法予以證明。,若n=1,則定理顯然成立。今假設(shè)當(dāng) n=m時(shí)定理成立，由此證明當(dāng)n=m+1時(shí)也成立。 設(shè)A= ，A中滿足 的元素，記其全體為 , 則由假定 為一可數(shù)集而,故A可數(shù),例4 平面上坐標(biāo)為有理點(diǎn)的全體所成的集 為一可數(shù)集。 例5 整系數(shù)多項(xiàng)式的全體所成的集為一 可數(shù)集。,A=(x,y)|x,y為有理數(shù),因此全體n次多項(xiàng)式可數(shù)，故整系數(shù)多項(xiàng)式 可數(shù),第五節(jié) 不可數(shù)集,一、概念 不是可數(shù)集的無限集合稱為不可數(shù)集合 二、不可數(shù)集合,定理1 全體實(shí)數(shù)不可數(shù)。（見第20頁） 用c表示連續(xù)基數(shù)，a表示可數(shù)集的基數(shù) 定理2 任意區(qū)間均具有連續(xù)基數(shù)。,實(shí)變函數(shù),主講教師 ：吳行平,輔導(dǎo)課程三,第三節(jié) 對(duì)等與基數(shù),一 對(duì)等,定義1 設(shè)A,B是兩個(gè)非空集，若依一定的法則f, 對(duì)每個(gè)x A, 在B中有唯一確定的元y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在A上而在B中取值的映射，記成 ，并將x與y的關(guān)系寫成 。我們稱A為f的定義域， 為f的值域。 設(shè)給定映射 ，而 ，稱f為到上的映射；如果對(duì)每個(gè) ，僅有唯一的 使 ，稱f為 1-1的 設(shè)給定兩映射 ， ，稱映射 由關(guān)系式 ( ) 定義。 定義2 設(shè)A,B為兩個(gè)非 空集，如有1-1的，到上 的 存在，使 ，則稱A與B對(duì)等，記成 B,例1 自然數(shù)全體與正偶數(shù)全體對(duì)等。 證明 令 即可 例2 全體正奇數(shù)與全體正偶數(shù)對(duì)等 證明 令 即可 例3 （0，1）與全體實(shí)數(shù)對(duì)等 證明 令 即可 注意 例1表明一個(gè)無限集可以和它的一個(gè) 真子集對(duì)等，這正是無限集的本質(zhì)特性。,定理1 對(duì)任何集合A、B、C，均有 （1）（反射性） AA （2）（對(duì)稱性） 若AB，則BA （3）（傳遞性） 若AB,BC,則AC 由此可知，當(dāng)兩個(gè)有限集互相對(duì)等時(shí)， 它們的元素個(gè)素必相同。因此，我們可以 用對(duì)等的概念對(duì)兩個(gè)無限集的元的個(gè)數(shù)進(jìn) 行比較,二 基 數(shù),根據(jù)定理1，我們可把彼此對(duì)等的集合歸做一類。這樣任何集合屬于一類。我們把兩個(gè)彼此對(duì)等的集合稱為具有相同的基數(shù)（亦稱勢、濃度），用 表示集合A的基數(shù),定義3 設(shè) A 、B是兩個(gè)集合，如果A不和B 對(duì)等，但存在B的真子集 ，有A ,則稱A比B有較小的基數(shù)（B比A有較大的基數(shù)）并記為,定理 2（Bernstein定理） 設(shè) A 、B是兩個(gè)非空集合，如果 存在 使A T, B S, 則A B. 注 利用基數(shù)的說法是: 設(shè) ， ，則,注意：這一定理提供了一個(gè)判定兩個(gè)集合 對(duì)等的一個(gè)工具，以后我們經(jīng)常用到。,第四節(jié) 可數(shù)集,本節(jié)我們主要介紹一類非常重要的無限集可數(shù)集。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們要掌握可數(shù)集的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)我們還要知道一些常用的可數(shù)集。,一、可數(shù)集合的概念,定義1 如果集 A與自然數(shù)集對(duì)等，就稱它為 可數(shù)集（可列集）。 顯然，可數(shù)集的一切元可用自然數(shù)編號(hào)使之成 為無窮序列的形式:,結(jié)論：集合A是可數(shù)集合的充要條件是： A可以排成一個(gè)無窮序列,例1 全體正偶數(shù)可數(shù)。 例2 全體整數(shù)可數(shù)。,二、可數(shù)集的性質(zhì),定理1 任何無限集必含有可數(shù)子集。 證,-,可取出可數(shù)子集,定理2 可數(shù)集的子集至多是可數(shù)的。 即或?yàn)橛邢藜驗(yàn)榭蓴?shù)集。,定理3 設(shè)A為可數(shù)集，B 為有限集合或 可數(shù)集，則 可數(shù),證明 （1）先設(shè) 由于可數(shù)集總可排成無窮序列，不妨設(shè) 或 則,或,（2） 一般情形 可由已知結(jié)論得出,定理4 可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并集是可數(shù)集。 證明 參見書第17頁定理4。,=,（按下標(biāo)遞增）,例3,全體有理數(shù)為可數(shù)集。 事實(shí)上，把非零的有理數(shù)a寫成既約分?jǐn)?shù) 的形式， 0, 把和n=|p|+q稱為a的?！，F(xiàn)規(guī)定0的模為1，很明顯，模為n的有理數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，于是把一切有理數(shù)按模遞增編組，其模相同的編在同一組，最后再依次把這些有理數(shù)逐個(gè)編號(hào)，但重復(fù)者除去不計(jì)。這樣，每一個(gè)有理數(shù)得到了一個(gè)確定的號(hào)碼。因而建立了有理數(shù)與自然數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，這就證明了有理數(shù)集的可數(shù)性,定理 5 若A中每個(gè)元素由n個(gè)互相獨(dú)立的記 號(hào)所決定,各記號(hào)跑遍一個(gè)可數(shù)集 A= ， 則A為可數(shù)集。 證明 用數(shù)學(xué)歸納法予以證明。,若n=1,則定理顯然成立。今假設(shè)當(dāng) n=m時(shí)定理成立，由此證明當(dāng)n=m+1時(shí)也成立。 設(shè)A= ，A中滿足 的元素，記其全體為 , 則由假定 為一可數(shù)集而,故A可數(shù),例4 平面上坐標(biāo)為有理點(diǎn)的全體所成的集 為一可數(shù)集。 例5 整系數(shù)多項(xiàng)式的全體所成的集為一 可數(shù)集。,A=(x,y)|x,y為有理數(shù),因此全體n次多項(xiàng)式可數(shù)，故整系數(shù)多項(xiàng)式 可數(shù),第五節(jié) 不可數(shù)集,一、概念 不是可數(shù)集的無限集合稱為不可數(shù)集合 二、不可數(shù)集合,定理1 全體實(shí)數(shù)不可數(shù)。（見第20頁） 用c表示連續(xù)基數(shù)，a表示可數(shù)集的基數(shù) 定理2 任意區(qū)間均具有連續(xù)基數(shù)。,實(shí)變函數(shù),主講教師 ：吳行平,輔導(dǎo)課程四,例3,全體有理數(shù)為可數(shù)集。 事實(shí)上，把非零的有理數(shù)a寫成既約分?jǐn)?shù) 的形式， 0, 把和n=|p|+q稱為a的?！，F(xiàn)規(guī)定0的模為1，很明顯，模為n的有理數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，于是把一切有理數(shù)按模遞增編組，其模相同的編在同一組，最后再依次把這些有理數(shù)逐個(gè)編號(hào)，但重復(fù)者除去不計(jì)。這樣，每一個(gè)有理數(shù)得到了一個(gè)確定的號(hào)碼。因而建立了有理數(shù)與自然數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，這就證明了有理數(shù)集的可數(shù)性,定理 5 若A中每個(gè)元素由n個(gè)互相獨(dú)立的記 號(hào)所決定,各記號(hào)跑遍一個(gè)可數(shù)集 A= ， 則A為可數(shù)集。 證明 用數(shù)學(xué)歸納法予以證明。,若n=1,則定理顯然成立。今假設(shè)當(dāng) n=m時(shí)定理成立，由此證明當(dāng)n=m+1時(shí)也成立。 設(shè)A= ，A中滿足 的元素，記其全體為 , 則由假定 為一可數(shù)集而,故A可數(shù),例4 平面上坐標(biāo)為有理點(diǎn)的全體所成的集 為一可數(shù)集。 例5 整系數(shù)多項(xiàng)式的全體所成的集為一 可數(shù)集。,A=(x,y)|x,y為有理數(shù),因此全體n次多項(xiàng)式可數(shù)，故整系數(shù)多項(xiàng)式 可數(shù),第五節(jié) 不可數(shù)集,一、概念 不是可數(shù)集的無限集合稱為不可數(shù)集合 二、不可數(shù)集合,定理1 全體實(shí)數(shù)不可數(shù)。（見第20頁） 用c表示連續(xù)基數(shù)，a表示可數(shù)集的基數(shù) 定理2 任意區(qū)間均具有連續(xù)基數(shù)。,實(shí)變函數(shù),主講教師 ：吳行平,輔導(dǎo)課程六,定義 4 設(shè)E為n維空間 中一點(diǎn)集，有 （1） E的全體內(nèi)點(diǎn)所成的集合，稱為E的開核 或內(nèi)部，記為 （2） E的全體界點(diǎn)所成的集合，稱為E的邊界， 記為 （3） E的全體聚點(diǎn)所成的集合，稱為E的導(dǎo)集， 記為 （4） 稱為E的閉包，記為,例1 設(shè) 是普通的平面， 求,解,例2 設(shè) ，則 的充要條件是 對(duì)任意的鄰域 有,證明 由于 必要性顯然 下證充分性 有假設(shè),對(duì)任意的鄰域有,若 ，則 由聚點(diǎn)的定義,定理2 設(shè) 則 定理3 定理4 設(shè) E是一個(gè)有界無限集合，則 E 至少有一個(gè)聚點(diǎn)。,定理5 任何非空真子集至少有一個(gè)界點(diǎn),（參見書上第37頁）,第三節(jié) 開集 閉集 完備集,定義1 設(shè)E為 中的一點(diǎn)集，若E的每個(gè) 點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集。,例 1 開區(qū)間 ，空集及R均為開集。,定義2 設(shè)E為 中的一點(diǎn)集，若E的每個(gè) 聚點(diǎn)都屬于E,則稱E為閉集。,例 2 閉區(qū)間a,b，空集及R均為閉集。,定理1 E為開集的充要條件是 。,定理2 非空集E為閉集的充要條件是,定理3 對(duì)任何 是開集，,和 是閉集,例 點(diǎn)集 為閉集的充要條件是,證明 顯然,又 從而,充分性顯然,定理 4 設(shè)E為開集，則CE是閉集； 設(shè)E為閉集，則CE是開集。,證明 第一部分：設(shè)E為開集，而 是 CE的任一聚點(diǎn)，那么， 的任一鄰域都有 不屬于E的點(diǎn)。這樣， 就不可能是E的 內(nèi)點(diǎn)，從而不屬于E,也就是 。,第二部分：設(shè) E為閉集，對(duì)任一 ，假如 不是CE的內(nèi)點(diǎn)，則 的任一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)屬于E的點(diǎn)，而且這點(diǎn)又必然異于 （因 ），這樣 就是E的聚點(diǎn)，從而必屬于E, 這和假設(shè)矛盾。,定理5 開集有下列性質(zhì) （1）任意個(gè)開集的并是開集； （2）有限個(gè)開集的交是開集。,證 （1）設(shè) 是一組開集，令 。任取 ，則有某個(gè) 故 的內(nèi)點(diǎn)，從而更是G的內(nèi)點(diǎn)。故G是開集。,（2）設(shè) 為開集。令 ，任取 則對(duì)每個(gè)k=1,2,n有 ，于是有 的鄰域 ，k=1,2,n使 ，令 ，則 ，可見 是內(nèi)點(diǎn)，這就證明了 G為開集。,實(shí)變函數(shù),主講教師 ：吳行平,輔導(dǎo)課程七,注意 無限個(gè)開集的交不一定是開集。 例如 令 則 ，不是開集。,定理6 閉集有下列性質(zhì)： （1） 任意個(gè)閉集的交是閉集； （2） 有限個(gè)閉集的并是閉集。,證 設(shè)為 閉集類，則 為開 集類。據(jù)定理3,據(jù)定理5的（1），任意的指標(biāo)集I， 為開集，,從而 是開集，,是閉集,同樣，對(duì)于有限指標(biāo)集I，據(jù)定理3的（2） 即得結(jié)論（2）。定理得證。,注意 無限個(gè)閉集的并集可能不是閉集 例如 取 每個(gè) 都是閉集，但它們的并 不是閉集。,定義3 若 ,則稱E為完備集或 完全集。,可以證明，在數(shù)直線的一切集中，只有 空集與整個(gè)直線才是既開又閉的集合。,第四節(jié) 直線上的開集、閉集 及完備集的構(gòu)造,本節(jié)主要討論直線上的開集、閉集的構(gòu)造。通過學(xué)習(xí)我們要掌握直線上的開集、閉集的結(jié)構(gòu)，同時(shí)要理解康托爾集的重要性質(zhì)。,在本節(jié)中，我們將詳細(xì)討論直線上有界開集的構(gòu)造，以下考慮的點(diǎn)集都是有界集。,設(shè)G是任一非空的有界開集。任取 ，由開集的定義，存在開區(qū)間使 。顯然，這種開區(qū)間有無窮多個(gè)，把它們的并記為U，那么可以證明，U是含有 的這種開區(qū)間的最大者。也就是說，令 ，則有， （1） ， （2） ， 。 我們把G中具有性質(zhì)（1），（2）的區(qū)間稱為G的構(gòu)成區(qū)間。,由上所述，G中任一點(diǎn)必屬于G的某一構(gòu)成區(qū)間。,定理1 有界非空開集G可表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的構(gòu)成區(qū)間的并。當(dāng)非空開集G表示成互不相交的開區(qū)間的并時(shí)，這些區(qū)間必是構(gòu)成區(qū)間。,證 （1） G的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)有一個(gè)G的構(gòu)成區(qū)間，因而G可表示成一些構(gòu)成區(qū)間的并：。,（2） G的任意兩個(gè)構(gòu)成區(qū)間若有公共點(diǎn)，則必重合，否則就不相交。因而G可表示成一些互不相交的構(gòu)成區(qū)間的并。,（3） 由第二節(jié)的結(jié)論知道，這些區(qū)間是至多可列的（G的構(gòu)成區(qū)間集與有理數(shù)集的子集一一對(duì)應(yīng)）。 （4） 當(dāng) 非空開集G表示成互不相交的開區(qū)間的并時(shí)，這些區(qū)間必是構(gòu)成區(qū)間。 該定理提出的表示，以后將稱為G的結(jié)構(gòu)表示。,注 對(duì)于無界開集情形，定理1的結(jié)論本質(zhì)上也是正確的，只是要把 與 都算成構(gòu)成區(qū)間的表現(xiàn)形式,定義1 設(shè)A是直線上的閉集，稱A的余集的構(gòu)成區(qū)間為A的余區(qū)間或鄰接區(qū)間。 我們又可得到閉集的構(gòu)造如下： 定理2 直線上的閉集或者是全直線，或者是從直線上挖掉有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間所得到的集。 最后，我們舉出一個(gè)閉集的例子，它是不可數(shù)的，但不含有任何區(qū)間。這個(gè)集將稱為康脫三分集，今后將不止一次用到。,例1 康脫三分集,第一步 將區(qū)間三等分，并除去中間的開區(qū)間 ，剩下2個(gè)長為 的閉區(qū)間,第二步 將剩下的2個(gè)閉區(qū)間三等分，并除去中間的 開區(qū)間 ，剩下 個(gè)長為 的閉區(qū)間,第三步 將剩下的 個(gè)閉區(qū)間各自三等分，并除去中間的開區(qū)間 ，剩下 個(gè)長為 的閉區(qū)間,第n步 將剩下的 個(gè)閉區(qū)間各自三等分， 并除去中間的開區(qū)間 ，剩下 個(gè)長為 的 閉區(qū)間,這樣便得到所謂康脫三分集P與開集 ：,P具有以下性質(zhì)：,（1） P 是完備集；,顯然 是閉集，只須證明 無孤立點(diǎn)。 假定相反， 有一孤立點(diǎn) 。由于0與1顯然是 的聚點(diǎn)，故可以設(shè) 。那么，在 中存在開區(qū)間 與 ，其中均無 的點(diǎn)，即 ， ，且 從而可知， ， 將分別含在 的某兩個(gè)構(gòu)成區(qū)間 中，于是 將成為 的某兩個(gè)構(gòu)成區(qū)間的公共端點(diǎn)。但據(jù) 的作法，這是不可能的。,（2） 不含任何區(qū)間，即P沒有內(nèi)點(diǎn)；,事實(shí)上，由P的作法中知道，“去掉”手續(xù)進(jìn)行到第n次為止時(shí)，剩下 個(gè)長度是 的互相隔離的閉區(qū)間，因此任何一點(diǎn) 必含在這 個(gè)閉區(qū)間的某一個(gè)里面，從而在 的任一鄰域 內(nèi)至少有一點(diǎn)不屬于P, 但 ，故不可能是P的內(nèi)點(diǎn)。,（3） 是不可數(shù)的。,用反證法 設(shè) 是可數(shù)的，將 中的點(diǎn)編號(hào) 成點(diǎn)列,故 中任意一點(diǎn)必在上述點(diǎn)列中出現(xiàn)。 與 中應(yīng)有一個(gè)閉區(qū)間不含點(diǎn) ，用 表示這個(gè)閉區(qū)間。將 三等分所得的左與右兩個(gè)閉區(qū)間中，應(yīng)有一個(gè)不含 的，用 表示這個(gè)閉區(qū)間。然后把 三等分，記不含 的左或右的那個(gè)閉區(qū)間為 ，如此等等，這樣，據(jù)歸納法我們得到一個(gè)閉區(qū)間列,=,易見 的長度,據(jù)區(qū)間套定理，必有點(diǎn) 可是， 是 等的端點(diǎn)集的聚點(diǎn)， 因而也是閉集 的,聚點(diǎn)，故 。,由于上面已指出 這將是矛盾。,這樣，我們證明了： 是不可數(shù)的完備集,（4） P有連續(xù)基數(shù),實(shí)變函數(shù),主講教師 ：吳行平,輔導(dǎo)課程八,第三章 勒貝格測度,從本章開始，我們將討論歐幾里德空間點(diǎn)集的測度理論。測度概念在 中是長度概念的推廣，在 中是面積概念的推廣，在 中是體積概念的推廣。我們首先介紹外測度、內(nèi)測度等概念，然后采用卡拉皆屋鐸利的方法在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上直接定義中L測度，最后討論可測集的性質(zhì)和可測集類。,第一節(jié) 外 測 度,本節(jié)主要討論有界點(diǎn)集的外測度及其性質(zhì)。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們要掌握外測度的概念及其性質(zhì)，知道區(qū)間的外測度就是區(qū)間的體積，可數(shù)點(diǎn)集的外測度為零。,定義1 設(shè) 為 任一點(diǎn)集，對(duì)于每一列覆蓋 的開區(qū)間， ，作出它的體積和 （ 可以等于 ，不同的區(qū)間列一般有不同的 ），所有這一切的 組成一個(gè)下方有界的數(shù)集，它的下確界（由 完全決定）稱為 的勒貝格外測度，簡稱 外測度或外測度，記為 ，即,=,定理1 外測度具有下列性質(zhì)： （1） ，當(dāng) 為空集時(shí)，則 =0