數(shù)理統(tǒng)計CH概率分布.ppt

2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,1,第1章 概率分布 Probability Distribution,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,2,事件和概率：討論描述隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的術(shù)語及概念、現(xiàn)象發(fā)生可能性的計量、相互關(guān)系和運算； 隨機變量及分布：討論隨機現(xiàn)象的確定性數(shù)學(xué)表達，相同條件、大量重復(fù)觀測下隨機變量所遵循的取值規(guī)律； 數(shù)字特征：討論分布特征的數(shù)字表達； 大數(shù)定律：討論重復(fù)試驗次數(shù)對頻率和均值觀測穩(wěn)定性的影響。,1 概率分布,本章內(nèi)容,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,3,1.1 事件與概率 Event and Probability,1 概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,4,自然界存在兩種現(xiàn)象，確定性現(xiàn)象：一定條件下必然發(fā)生；隨機性現(xiàn)象：一定條件下可能發(fā)生，但結(jié)果不止一個，哪個結(jié)果發(fā)生預(yù)先并不知道。 隨機現(xiàn)象雖然表現(xiàn)為不確定性，但在大量、相同條件重復(fù)試驗下，其觀測結(jié)果會呈現(xiàn)出某種特定的規(guī)律，稱作隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律。比如，多次拋擲一枚均質(zhì)硬幣，正面朝上的頻率接近0.5。,隨機現(xiàn)象(Random Phenomenon),1.1 事件與概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,5,數(shù)理統(tǒng)計學(xué)就是研究大量的隨機現(xiàn)象，但限定為一類特定的隨機現(xiàn)象，即在相同條件重復(fù)試驗下所能觀測到的隨機現(xiàn)象。它研究隨機現(xiàn)象的發(fā)生機制、統(tǒng)計規(guī)律和統(tǒng)計特征，研究解決工程實際問題的統(tǒng)計方法。,隨機現(xiàn)象(Random Phenomenon),1.1 事件與概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,6,1.1.1 事件 Random Event,1.1 事件與概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,7,滿足下述三個條件的試驗稱為隨機試驗： （1）試驗可在相同條件下重復(fù)進行； （2）試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個； （3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在試驗之前卻不能肯定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。 隨機試驗在統(tǒng)計學(xué)里可簡稱為試驗。,1.1.1 事件,(1)隨機試驗(Random Experiment),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,8,1.1.1 事件,E1：一枚硬幣拋一次，觀察出現(xiàn)哪一面； E2：一枚硬幣拋三次，觀察正反面的排列； E3：一枚硬幣拋三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)； E4：一顆骰子拋一次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)； E5：在一批燈泡產(chǎn)品中，測定任一只的壽命； E6：在一批燈泡產(chǎn)品中，測定任一只的阻值。 E7：在一超市里，觀察每10分鐘進來的人數(shù)；,(1)隨機試驗(Random Experiment),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,9,廣義地講，對任何一個特定對象的隨機抽查或觀測，均可看作是隨機試驗。比如，多次拋一枚均質(zhì)硬幣是隨機試驗，觀測一個種族的身高、體重等是隨機試驗，觀測某作物的株高是隨機試驗，觀測條件近似動物對某種藥物的生理反應(yīng)是隨機試驗，小區(qū)測產(chǎn)是隨機試驗，等等。,1.1.1 事件,(1)隨機試驗(Random Experiment),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,10,1.1.1 事件,隨機試驗的每一個可能結(jié)果，稱作基本事件（elementary event），亦稱作簡單事件（simple event），基本事件是描述隨機試驗不可能再分的事件。,(2)基本事件(Elementary Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,11,1.1.1 事件,拋硬幣試驗，正面朝上是一個基本事件，反面朝上也是一個基本事件。觀測一個種族的身高狀況，1.75米是一個基本事件，1.83米是一個基本事件，1.45米也是一個基本事件。小區(qū)測產(chǎn)，25.4kg是一個基本事件，26.7kg也是一個基本事件?；ɡɑ±▋?nèi)容表達事件，常用于利用文字或表達式陳述事件的場合。,(2)基本事件(Elementary Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,12,1.1.1 事件,由若干個基本事件組合而成的事件，稱作復(fù)合事件（compound event），也稱作復(fù)雜事件。 通常所說的隨機事件（random event）是基本事件和復(fù)合事件的統(tǒng)稱，即可指基本事件又可指復(fù)合事件。,(3)復(fù)合事件(Compound Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,13,事件A=HHH,HHT,HTH,HTT表示“第一次出現(xiàn)的是正面” 用t表示燈泡的使用壽命（h），則 事件B1=t1000表示“燈泡是次品” 事件B2=t1000表示“燈泡是合格品” 事件B3=t1500表示“燈泡是一級品”,1.1.1 事件,(3)復(fù)合事件(Compound Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,14,1.1.1 事件,連續(xù)兩次拋擲一枚硬幣，均出現(xiàn)正面是一個復(fù)合事件，出現(xiàn)一正一反是一個復(fù)合事件，均出現(xiàn)反面也是一個復(fù)合事件。觀測一個種族分區(qū)域的身高，平均1.77米、平均1.68米均是復(fù)合事件。小區(qū)測產(chǎn)，產(chǎn)量在10kg20kg之間是一個復(fù)合事件，產(chǎn)量在20kg30kg之間也是一個復(fù)合事件。,(3)復(fù)合事件(Compound Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,15,1.1.1 事件,每次試驗中一定發(fā)生的事件稱作必然事件（certain event），在任何一次試驗中都不可能發(fā)生的事件稱作不可能事件（impossible event）。 隨機事件簡稱作“事件”，而將不可能事件和必然事件視作隨機事件的兩個極端事件。,(4)必然事件與不可能事件(Certain and Impossible Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,16,擲一枚均質(zhì)硬幣試驗，出現(xiàn)兩個面之一是必然事件，兩個面誰也不出現(xiàn)是不可能事件。小區(qū)測產(chǎn)，產(chǎn)量小于0kg是不可能事件，產(chǎn)量大于等于0kg是必然事件。,1.1.1 事件,(4)必然事件與不可能事件(Certain and Impossible Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,17,我們稱一個隨機事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個基本事件在試驗中出現(xiàn),1.1.1 事件,考察拋一枚硬幣的試驗，事件 A=出現(xiàn)正面 若試驗結(jié)果為出現(xiàn)反面，則事件A未發(fā)生 若試驗結(jié)果為出現(xiàn)正面，則事件A發(fā)生 考察小區(qū)測產(chǎn)的事件 A=產(chǎn)量大于10kg 若試驗結(jié)果為11.2kg，則事件A發(fā)生 若試驗結(jié)果為5.4kg，則事件A未發(fā)生,(5)事件發(fā)生(Event come about),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,18,1.1.2 概率 Probability,1.1 事件與概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,19,用于度量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱作事件的概率（probability）。事件通常可用大寫字母表示，如A、B等，相應(yīng)的概率可用P(A)、P(B)等表示。,1.1.2 概率,(1)事件的概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,20,概率具有下述性質(zhì)： 設(shè)A為任一事件，則0P(A)1； 對于必然事件，有P()=1； 對于不可能事件，有P()=0。,1.1.2 概率,(2)概率的性質(zhì),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,21,不可能事件P()=0，必然事件P()=1。但反過來不成立，因為概率只代表“可能性”的大小，可能性為0的事件不一定總不發(fā)生，可能性為1的事件不一定總是發(fā)生 比如小區(qū)測產(chǎn)，事件產(chǎn)量是25kg的概率等于0，但它不一定總不發(fā)生；事件產(chǎn)量不是25kg的概率等于1，但它不一定總是發(fā)生,1.1.2 概率,(2)概率的性質(zhì),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,22,在相同的條件下進行了n次試驗，在這n 次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA 稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nA/n 稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A)，即,1.1.2 概率,(3)概率的統(tǒng)計定義,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,23,歷史上曾有幾個著名的拋一枚均質(zhì)硬幣試驗，試驗者觀測了拋擲次數(shù)、正面出現(xiàn)次數(shù)和正面出現(xiàn)頻率等。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，頻率在0.5附近擺動，詳見表1.1。試驗重復(fù)次數(shù)愈大頻率與0.5的偏差愈小，表現(xiàn)出向0.5穩(wěn)定趨近的傾向，因此預(yù)測事件的概率為0.5。試驗次數(shù)愈大，事件頻率在某個定值兩側(cè)擺動的幅度愈小，稱作事件頻率具有穩(wěn)定性。,1.1.2 概率,(3)概率的統(tǒng)計定義,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,24,251 249 256 253 251 246 244 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012,nA fn(A),n=500時拋硬幣試驗,實 驗 者 德摩根 蒲豐 K 皮爾遜 K 皮爾遜,n nH fn(H),2048 4040 12000 24000,1061 2048 6019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,表1.1,1.1.2 概率,(3)概率的統(tǒng)計定義,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,25,1.1.2 概率,隨試驗次數(shù)n的增大，若事件A的頻率fn(A)越來越幅度變小地在某一常數(shù)p兩側(cè)擺動，則稱常數(shù)p為事件A的概率(probability)，記作P(A)=p。稱此陳述為概率的統(tǒng)計定義。(statistical probability)。,(3)概率的統(tǒng)計定義,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,26,1.2 隨機變量及分布 Random Variable and Probability Distribution,1 概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,27,前面事件與概率的研究僅僅實現(xiàn)了隨機現(xiàn)象及其關(guān)系的概念描述，遠沒有達到工程應(yīng)用的程度，難于解決復(fù)雜多樣的實際問題； 引入人們熟悉的微積分實現(xiàn)隨機現(xiàn)象的數(shù)值化定量分析，使能用計算機高效地處理工程實際的統(tǒng)計學(xué)問題； 隨機變量及其分布的理論和方法，實質(zhì)上就是利用確定性數(shù)學(xué)方法研究和解決隨機數(shù)學(xué)（統(tǒng)計學(xué)）問題。,1.2 隨機變量及分布,(1)隨機現(xiàn)象定量分析的意義,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,28,實施某隨機試驗，若用實數(shù)變量X表示試驗結(jié)果，則X的取值明確可知且不止一個，試驗前并不知道X會取那個值，表征隨機試驗結(jié)果的實數(shù)變量X稱作隨機變量； X的值用實數(shù)x表示，即一次試驗的結(jié)果，是所有可能試驗結(jié)果中的一個，稱x為X的觀察值，簡稱觀測(observation)；,(2)隨機變量(Random Variable),1.2 隨機變量及分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,29,由于隨機變量X量化（數(shù)值化或數(shù)字化）表達了隨機試驗結(jié)果，因此它也具有隨機試驗的三個基本特征： 隨機變量X可在相同條件下重復(fù)觀測； 隨機變量X的所有可能值明確可知，并且不止一個； 每次觀測總是恰好獲得X所有可能值中的一個，但觀測前卻不能肯定是哪一個。,1.2 隨機變量及分布,(2)隨機變量(Random Variable),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,30,擲一枚均質(zhì)硬幣試驗：樣本空間1=H,T，隨機變量表達該問題，以“X=1”表示正面向上的事件，以“X=0”表示反面向上的事件； 擲一枚骰子試驗：樣本空間=1,2,3,4,5,6，隨機變量表達該問題，以“X=1”表示出現(xiàn)1點的事件，“X=2”表示出現(xiàn)2點，以此類推； 作物育種試驗：以“X4.5”表示產(chǎn)量大于4.5kg的事件，不等式表達一個基本事件的集合。,1.2 隨機變量及分布,(3)隨機事件(Random Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,31,用隨機變量X和某指定觀測x可定義下述3種隨機事件：,試驗結(jié)果為x的事件：X=x 試驗結(jié)果小于或等于x的事件：Xx 試驗結(jié)果大于x的事件：Xx,1.2 隨機變量及分布,(3)隨機事件(Random Event),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,32,概率分布是概率論的基本概念之一，它用函數(shù)和微積分描述隨機變量取值的概率規(guī)律。 考察隨機變量X與某指定觀測x的關(guān)系，用事件概率P(Xx)以及事件概率的變化速率P(Xx)/1或dP(Xx)/dx描述概率分布； 離散隨機變量用求和函數(shù)描述概率分布； 連續(xù)隨機變量用積分函數(shù)描述概率分布。,1.2 隨機變量及分布,(4)概率分布(Probability Distribution),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,33,本節(jié)主要討論下述幾個問題： 隨機變量、隨機變量的觀測、事件、概率四者之間的關(guān)系； 離散變量的分布函數(shù)和概率密度； 連續(xù)變量的分布函數(shù)和概率密度； 常見離散分布和連續(xù)分布； 隨機變量的標準化變換； 正態(tài)分布的概率計算。,1.2 隨機變量及分布,本節(jié)內(nèi)容,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,34,1.2.1 離散變量的概率分布 Discrete Variable and Probability Distribution,1.2 隨機變量及分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,35,若隨機變量X或事件X=x的所有可能取值為有限個或可列個，即取值存在間隔，則稱X為離散隨機變量(discrete variable)。 比如，拋硬幣試驗取值0,1，播種穴粒數(shù)取值0,1,2,，以及其它“計數(shù)”類的隨機變量。 為便于數(shù)學(xué)處理，經(jīng)常將隨機變量的取值范圍擴展到離散無窮域0,1,2,+，只不過取某些值的概率等于0。,1.2.1 離散變量的概率分布,(1)離散隨機變量(Discrete Variable),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,36,離散隨機變量用X表示，它的觀察值用實數(shù)x表示，則離散變量隨機試驗中所發(fā)生的隨機事件用等式表示：,1.2.1 離散變量的概率分布,(2)隨機變量、觀察值和隨機事件,隨機事件,觀察值,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,37,觀察值x按大小順序分別記作xi，xixi-1， i=1,2,，則離散隨機變量X的分布函數(shù)F(xi) 定義如下：,分布函數(shù)亦稱作概率累積函數(shù) Cumulative Distribution Function,(3)分布函數(shù)(Distribution Function),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,38,事件X=xi的概率記作pi=P(X=xi)。則離散隨機變量X的概率密度f(xi)定義分布函數(shù)的變化率：,(4)概率密度(Probability Density),1.2.1 離散變量的概率分布,概率密度記為,離散變量的概率密度Probability Density亦稱作概率函數(shù)Probability Function,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,39,概率密度表征離散隨機變量取值x與取該值概率的函數(shù)關(guān)系，即描述按觀測值大小順序排列的概率分布規(guī)律。按定義，概率密度可理解為觀察值的一個單位增量所對應(yīng)的分布函數(shù)增量，或者發(fā)生事件離散隨機變量X等于某指定觀測x的概率。,1.2.1 離散變量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,40,概率密度可表示成如下的矩陣形式,矩陣的第1行為隨機變量的觀察值，第2行為事件X=xi的概率pi，矩陣元素上下對應(yīng)。,1.2.1 離散變量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,41,拋硬幣試驗,拋骰子試驗,1.2.1 離散變量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,42,所謂離散隨機變量X的概率分布，就是指分布函數(shù)F(xi)和概率密度f(xi)兩個基本函數(shù)，它們提供了隨機變量概率分布規(guī)律的完整信息。,(5)概率分布(Probability Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,43,概率值非負：,全概率和等于1：,兩極端事件的分布函數(shù)值：,(6)離散變量概率分布的性質(zhì),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,44,若離散隨機變量X的隨機試驗僅有兩個可能結(jié)果，可將其表述為X=1和X=0兩個事件，則X服從0-1分布。 拋硬幣試驗，出現(xiàn)正面為1，出現(xiàn)反面為0 種子發(fā)芽試驗，發(fā)芽為1，不發(fā)芽為0 殺蟲劑試驗，有效為1，無效為0 田間播種出苗試驗，出苗為1，不出苗為0,(7)0-1分布(0-1 Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,45,0-1分布概要：,(7)0-1分布(0-1 Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,46,(7)0-1分布(0-1 Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,47,遵循0-1分布規(guī)律的試驗稱作貝努利試驗(binomial experiment) 做n次貝努利試驗稱作n重貝努利試驗 n次拋硬幣試驗，統(tǒng)計正面出現(xiàn)的次數(shù) 發(fā)芽試驗，統(tǒng)計n粒種子中發(fā)芽的種子個數(shù) 殺蟲劑試驗，統(tǒng)計n條蟲子中被滅殺蟲口數(shù) 播種試驗，統(tǒng)計n粒種子中出苗的種子個數(shù),(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,48,設(shè)貝努里試驗隨機變量僅取0和1兩個觀察值，對于n重貝努里試驗，若每次試驗中事件=1發(fā)生的概率記為p，那么用以描述n次試驗中事件=1發(fā)生次數(shù)的隨機變量X可用隨機變量系之和表示：,(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,49,=1代表什么與我們所關(guān)心的問題有關(guān),(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,50,隨機變量系之和,服從參數(shù)為n,p的貝努利分布(binomial distribution)，亦稱二項分布，記作XB(n,p)，其中0p1。二項分布的概率密度為：,(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,51,Binomial分布概要：,(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,52,(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,53,(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,事件X=x的概率等于n個0-1積事件的條件概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,54,P=0.3,0.5,0.7,(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,55,設(shè)Y=X/n，相當(dāng)于X乘了一個常數(shù)1/n，它指n重貝努利試驗中事件出現(xiàn)的頻率。不難推論，頻率Y仍服從二項分布。即,(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,56,二項分布是具有n重貝努里試驗背景的一種重要分布 當(dāng)n=1時，二項分布轉(zhuǎn)化成0-1分布。因此0-1分布可被視作二項分布的一個特例 由于二項分布隨機變量X是0-1分布隨機變量的線性組合，因而X可被視作0-1總體抽樣獲得的統(tǒng)計量,(8)二項分布(Binomial Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,57,觀察某作物田間出苗狀況，若每穴粒數(shù)相同，則沿播行單位長度上（當(dāng)作小區(qū)）的出苗數(shù)或出苗率服從泊松分布；對一個容器按等時間間隔（看作小區(qū)）觀測細菌的存活數(shù)；公路交叉路口單位時間間隔內(nèi)過往的汽車數(shù)；汽車站或理發(fā)館單位時間間隔內(nèi)到達的顧客數(shù)等均服從泊松分布。,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,58,Poisson分布概要：,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,59,以顧客去理發(fā)館為例導(dǎo)出Poisson分布： 設(shè)每人去理發(fā)館的概率是p，則不去的概率是1-p；當(dāng)顧客源容量n與理發(fā)館容量處于供需平衡狀態(tài)時，有np=，且n愈大p愈小 顧客是否去理發(fā)館是n重貝努利試驗，設(shè)去理發(fā)館的人數(shù)為X，則人數(shù)為x的概率為,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,60,顧客源容量n很大時則概率p很小，去理發(fā)館人數(shù)X等于x的概率可用下述極限近似,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,61,1.2.2.1 離散隨機變量的概率分布,(9)泊松分布(Poisson Distribution),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,62,分布函數(shù),概率本質(zhì)：,全概率和：,(9)泊松分布(Poisson Distribution),1.2.1 離散變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,63,1.2.2 連續(xù)變量的概率分布 Continuous Variable and Probability Distribution,1.2 隨機變量及分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,64,1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,若隨機變量X或事件Xx的中的臨界觀測x可在一定范圍內(nèi)連續(xù)(無縫、不間斷)取值，即值域為(,+)或任意指定區(qū)間；或者說某區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)值都是隨機試驗的可能結(jié)果；則稱X為連續(xù)隨機變量(Continuous Variable) 小區(qū)產(chǎn)量在(10,65)內(nèi)取值，是連續(xù)隨機變量 玉米株高在(135,195)內(nèi)取值，是連續(xù)隨機變量 其它“計量”類變量也是連續(xù)隨機變量。,(1)連續(xù)隨機變量(Continuous Variable),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,65,隨機事件,隨機事件,(2)隨機變量、臨界觀察值與事件,臨界觀察值,1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,66,若X為一連續(xù)隨機變量，x為任意實數(shù)，x+，則X的分布函數(shù)或概率累積函數(shù)F(x)定義為：,若將X看作數(shù)軸上的隨機點，那么分布函數(shù)F(x)的直觀意義就是隨機點X落在區(qū)間(,x)上的概率。定義域為整個數(shù)軸，值域在0,1上。,(3)分布函數(shù)(Distribution Function),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,67,不可能事件： 事件 的概率F()=0； 必然事件： 事件 的概率F(+)=1,概率本質(zhì)：,單調(diào)非減：,(3)分布函數(shù)(Distribution Function),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,68,連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)F(x)是事件的概率，是連續(xù)函數(shù)，其函數(shù)曲線呈現(xiàn)為“S”形。,(3)分布函數(shù)(Distribution Function),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,69,設(shè)F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù)f(x)，即f(x)0，使對任意實數(shù)x有,則稱f(x)為連續(xù)隨機變量X的 概率密度(probability density) 或密度函數(shù)(density function) 或分布密度(distribution density),(4)概率密度(Probability Density),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,70,密度非負：,全概積分：,導(dǎo)數(shù)關(guān)系：,1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),概率密度是分布函數(shù)的變化速率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,71,概率密度曲線與x軸所圍面積等于1； 分布函數(shù)F(x)值等于密度曲線f(x)、x軸和X=x直線三者所圍區(qū)域的面積(圖中陰影面積)。,1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,(4)概率密度(Probability Density),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,72,即隨機變量X落在區(qū)間(x1,x2)上的概率，等于分布函數(shù)F(x)在該區(qū)間上的增量。由公式可知，X取任一定值 x1=x2=x的概率為0，這說明，雖然不可能事件的概率等于0，但反過來一個概率等于0的隨機事件未必是不可能事件，這一特點是連續(xù)隨機變量所特有的。公式可用于連續(xù)隨機變量的概率計算。,(5)區(qū)間事件的概率,1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,73,(5)區(qū)間事件的概率,1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,74,高斯(Carl Friedrich Gauss, 17771855)發(fā)表于1809年的繞日天體運動的理論一書涉及了誤差分布的確定問題； 設(shè)某個物理量的真值為，它的n個獨立測量值為x1,x2,xn，則可用最大似然法估計：,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,75,高斯(Carl Friedrich Gauss, 17771855)認為n個獨立測量值x1,x2,xn的算術(shù)平均是的合理估計，并證明誤差概率密度僅在具有下面形式的條件下，的最大似然估計才是n個獨立測量值的算術(shù)平均，亦即,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,76,拉普拉斯 (Laplace, 1749-1827)根據(jù)他所發(fā)現(xiàn)的中心極限定理推論，若誤差可看成許多量的疊加，誤差理應(yīng)有Gauss分布。這是歷史上第一次提到所謂的“元誤差學(xué)說”； 元誤差學(xué)說：誤差是由大量的、由種種原因產(chǎn)生的元誤差疊加而成； 1837年，海根(G.Hagen)在一篇論文中正式提出元誤差學(xué)說。他把誤差設(shè)想成由數(shù)量很多的、獨立同分布的“元誤差”疊加而成。,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,77,按照海根(G.Hagen)的元誤差學(xué)說：,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,78,玉米株高觀測和頻數(shù)、頻率統(tǒng)計,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,79,玉米株高分布,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,80,Normal分布概要：,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,81, 固定則概率密度曲線位置不變，曲線形狀隨的增大而峰值降低及兩尾變粗和拉長,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,82, 固定則概率密度曲線形狀不變，位置隨 的增大而右平移,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,83,分布函數(shù)形狀是S型曲線,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,84,分布函數(shù)與概率密度是積分關(guān)系,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,85,對稱性：概率密度曲線關(guān)于x=對稱,極值點：x= 是概率密度的唯一極值點，其極值為,曲線形狀：愈大密度曲線中心愈右移 愈大密度曲線愈低矮肥胖 反之，愈小密度曲線中心愈左移 愈小密度曲線愈高聳瘦峭,(6)正態(tài)分布(Normal Distribution),1.2.2 連續(xù)變量的概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,86,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算 Calculating the Probability based on Normal Distribution,1.2 隨機變量及分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,87,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,標準正態(tài)概率密度,標準正態(tài)分布函數(shù),若 XN( ,2)，當(dāng)=0和=1時，稱X服從標準正態(tài)分布。為區(qū)分計，隨機變量特別地記作Z，則ZN(0,1)，概率密度函數(shù)特別地記作 ，分布函數(shù)特別地記作 。,(1)標準正態(tài)分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,88,隨機變量變換,分布函數(shù)變換,(2)正態(tài)隨機變量的標準化變換,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,89,分布函數(shù)計算公式：,利用事件不等式的等價變換推導(dǎo)如下：,(3)正態(tài)變量分布函數(shù)的計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,90,區(qū)間事件概率計算公式：,(4)正態(tài)變量區(qū)間事件的概率計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,91,對稱事件概率計算公式,(5)正態(tài)變量對稱事件的概率計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,92,對立事件概率計算公式：,(6)正態(tài)變量對立事件的概率計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,93,示例： 設(shè)ZN(0,1)，試計算： P(Z1.38) P(|Z|3),(7)標準正態(tài)變量的事件概率計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,94,利用分布函數(shù)定義和對稱事件概率計算,(7)標準正態(tài)變量的事件概率計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,95,利用對立事件概率、分布函數(shù)定義計算,(7)標準正態(tài)變量的事件概率計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,96,(7)標準正態(tài)變量的事件概率計算,絕對不等式展開 區(qū)間事件概率 分布函數(shù)定義 對稱事件概率,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,97,三個特殊區(qū)間事件及其概率在實際中很有用，應(yīng)當(dāng)熟記,(7)標準正態(tài)變量的事件概率計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,98,示例： 設(shè)XN(3,9)，試計算 P(X7.14) P(|X-3|6),(8)一般正態(tài)變量的事件概率計算,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,99,(8)一般正態(tài)變量的事件概率計算,分布函數(shù)定義 標準化變換 對稱事件概率,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,100,利用標準正態(tài)分布計算,(8)一般正態(tài)變量的事件概率計算,對立事件概率 分布函數(shù)定義 標準化變換,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,101,利用標準正態(tài)計算,(8)一般正態(tài)變量的事件概率計算,不等式變換 標準化變換 區(qū)間事件概率 對稱事件概率,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,102,利用標準正態(tài)分布計算,(8)一般正態(tài)變量的事件概率計算,對立事件概率 不等式變換 標準化變換 區(qū)間事件概率 對稱事件概率,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,103,(9)計算X落入k區(qū)間的概率,示例：,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,104,利用標準化變換、區(qū)間事件概率、標準正態(tài)分布函數(shù)和對稱事件概率推導(dǎo)算式,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(9)計算X落入k區(qū)間的概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,105,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(9)計算X落入k區(qū)間的概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,106,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(9)計算X落入k區(qū)間的概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,107,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(9)計算X落入k區(qū)間的概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,108,三個特殊區(qū)間事件及其概率在實際中很有用，應(yīng)當(dāng)熟記,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(9)計算X落入k區(qū)間的概率,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,109,(10)概率0.95和0.99對應(yīng)的中心區(qū)間,示例：,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,110,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(10)概率0.95和0.99對應(yīng)的中心區(qū)間,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,111,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(10)概率0.95和0.99對應(yīng)的中心區(qū)間,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,112,二組特殊數(shù)據(jù)在實際中很有用，應(yīng)當(dāng)熟記。,一般正態(tài)分布 概率0.95對應(yīng)1.96區(qū)間 概率0.99對應(yīng)2.58區(qū)間,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(10)概率0.95和0.99對應(yīng)的中心區(qū)間,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,113,標準正態(tài)分布 概率0.95對應(yīng)01.96區(qū)間 概率0.99對應(yīng)02.58區(qū)間,二組特殊數(shù)據(jù)在實際中很有用，應(yīng)當(dāng)熟記。,1.2.3 正態(tài)分布的概率計算,(10)概率0.95和0.99對應(yīng)的中心區(qū)間,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,114,1.3 數(shù)字特征 Digital Characteristic,1 概率分布,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,115,隨機變量的概率密度曲線可用中心、眾數(shù)、分散、偏倚、峰凸、關(guān)聯(lián)等特征描述，一個特征用一個數(shù)值表達就稱作隨機變量的數(shù)字特征(digital characteristic)。數(shù)字特征描述了隨機變量觀察值分布的集中位置、散布狀況和偏倚程度等。數(shù)字特征由觀察值和概率密度為元素構(gòu)造，最重要的兩個數(shù)字特征是期望和方差。,什么是數(shù)字特征？,1.3 隨機變量的數(shù)字特征,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,116,期望：量度觀察值分布的“重心” 或“中心” 方差：量度觀察值分布的分散程度 協(xié)方差：量度兩變量觀察值的關(guān)聯(lián)程度 相關(guān)系數(shù)：量度兩變量觀察值的關(guān)聯(lián)程度 峰度：量度觀察值分布密度相比正態(tài)分布的集聚程度 偏度：量度觀察值分布密度相比正態(tài)分布的偏倚程度,隨機變量的主要數(shù)字特征,1.3 隨機變量的數(shù)字特征,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,117,1.3.1 隨機變量的矩 Moment,1.3 隨機變量的數(shù)字特征,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,118,離散隨機變量的k階原點矩,質(zhì)量面積密度,1.3.1 隨機變量的矩,（1）k階原點矩(k-order moment),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,119,1.3.1 隨機變量的矩,（1）k階原點矩(k-order moment),連續(xù)隨機變量的k階原點矩,質(zhì)量面積密度,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,120,1.3.1 隨機變量的矩,（4）k階中心矩(central moment),離散隨機變量的k階中心矩,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,121,1.3.1 隨機變量的矩,（4）k階中心矩(central moment),連續(xù)隨機變量的k階中心矩,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,122,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望 Expectation or Mean,1.3 隨機變量的數(shù)字特征,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,123,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,隨機變量的一階原點矩，稱作隨機變量的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望(expectation)或均值(mean)。期望描述隨機變量觀察值的集中趨勢，即觀察值分布的重心；在概率密度分布對稱時，也是觀察值分布的中心。,(1)數(shù)學(xué)期望(Expectation),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,124,數(shù)學(xué)期望的意義 概率面積的重心,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,(1)數(shù)學(xué)期望(Expectation),期望是觀察值分布的重心,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,125,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,期望是隨機變量觀察值分布的重心 概率密度分布對稱時也是分布中心,(1)數(shù)學(xué)期望(Expectation),期望是觀察值分布的重心,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,126,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,離散變量的期望是觀察值與概率密度乘積的全部之和,(2)離散變量的期望(Expectation),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,127,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,E(X) 本質(zhì)上是隨機變量X所有觀察值的算數(shù)平均，這就是為什么期望E(X)又稱作均值(mean)的原因。,(2)離散變量的期望(Expectation),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,128,擲一顆均勻的骰子，以X表示擲出的點數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,(2)離散變量的期望(Expectation),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,129,求隨機變量X2的數(shù)學(xué)期望,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,(2)離散變量的期望(Expectation),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,130,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,0-1分布隨機變量X的期望,(2)離散變量的期望(Expectation),0-1分布的期望,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,131,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,泊松分布隨機變量X的期望,(2)離散變量的期望(Expectation),Poisson分布的期望,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,132,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,連續(xù)變量的期望是觀察值與概率密度乘積的全域積分,(3)連續(xù)變量的期望(Expectation),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,133,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,正態(tài)分布隨機變量X的期望,正態(tài)分布N(,2)中的參數(shù)恰好是期望,(3)連續(xù)變量的期望(Expectation),Normal分布的期望,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,134,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)C為常數(shù)，并離散或連續(xù)隨機變量X、Y的期望E(X)和E(Y)均存在，則,常數(shù)的期望仍是常數(shù)本身：E(C)=C； 常數(shù)與變量積的期望等于常數(shù)與變量期望的積 E(CX)=CE(X) 兩變量X與Y和的期望等于變量期望的和 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 兩獨立變量X與Y積的期望等于變量期望的積 E(XY)=E(X)E(Y),(4)期望的運算法則,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,135,1.3.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,對任意隨機變量系有,對獨立隨機變量系有,(4)期望的運算法則,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,136,1.3.3 隨機變量的方差 variance,1.3 隨機變量的數(shù)字特征,2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,137,設(shè)隨機變量的期望 E(X) 存在，若二階中心矩 EX-E(X)2 存在，則稱它為隨機變量X的方差。記作,1.3.3 隨機變量的方差,顯然，Var(X)0,方差是隨機變量中心偏差平方的數(shù)學(xué)期望,或：,(1)方差(Variance),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,138,1.3.3 隨機變量的方差,離散隨機變量方差的定義：,連續(xù)隨機變量方差的定義：,(1)方差(Variance),2019/7/15,王玉順：數(shù)理統(tǒng)計01_概率分布,139,1.3.3 隨機變量的方差,方差描