數(shù)學(xué)建模二次章節(jié)程.ppt

數(shù)學(xué)建模第二次課程,目的： 介紹一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題； 介紹數(shù)學(xué)建模的一般思想和思路； 介紹簡(jiǎn)單的初等數(shù)學(xué)模型； 增加大家對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣； 為今后參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下良好的基礎(chǔ)；,初等模型介紹,2.1 公平的席位分配 2.2 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途 2.3 雙層玻璃窗的功效 2.4 汽車(chē)剎車(chē)距離 2.5 劃艇比賽的成績(jī),2.1 公平的席位分配,問(wèn)題,三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。,現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問(wèn)20席如何分配。,若增加為21席，又如何分配。,比例加慣例,對(duì)丙系公平嗎,“公平”分配方法,衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo),當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平,p1/n1 p2/n2 對(duì)A的絕對(duì)不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!,雖二者的絕對(duì)不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì) 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小,設(shè)A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給A, 還是B,不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)A不公平, 對(duì)A的相對(duì)不公平度,將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量,類(lèi)似地定義 rB(n1,n2),將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定義,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,則這席應(yīng)給 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2),應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給,應(yīng)討論以下幾種情況,初始 p1/n1 p2/n2,問(wèn)：,p1/n1p2/(n2+1) 是否會(huì)出現(xiàn)？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B,當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給A,該席給A,否則, 該席給B,推廣到m方分配席位,該席給Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21個(gè)席位,按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席給丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配結(jié)果,Q1最大，第20席給甲系,問(wèn) 題,在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為 4450，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？,要求,不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與 錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系。,思考,計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？,2.2 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途,經(jīng)試驗(yàn)，一盤(pán)標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。,錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理,錄像帶運(yùn)動(dòng),問(wèn)題分析,觀察,計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！,模型假設(shè),錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) v ；,計(jì)數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn；,錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w；,空右輪盤(pán)半徑記作 r ；,時(shí)間 t=0 時(shí)讀數(shù) n=0 .,建模目的,建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系,（設(shè)v,k,w ,r為已知參數(shù)）,模型建立,建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法,1. 右輪盤(pán)轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為r+wi, m圈的總長(zhǎng)度 等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt, 所以,2. 考察右輪盤(pán)面積的 變化，等于錄像帶厚度 乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即,3. 考察t到t+dt錄像帶在 右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度，有,模型建立,思 考,3種建模方法得到同一結(jié)果,但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。,模型中有待定參數(shù),一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法。,思 考,參數(shù)估計(jì),另一種確定參數(shù)的方法測(cè)試分析,將模型改記作,只需估計(jì) a,b,理論上，已知t=184, n=6061, 再有一組(t, n)數(shù)據(jù)即可,實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合,現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：,最小二乘法(大家編程序?qū)崿F(xiàn)),程序,t = 0 20 40 60 80 100 120 140 160 184; n = 0000 1141 2019 2760 3413 4004 4545 5051 5525 6061; R=(n.2) n; A=Rt,模 型 檢 驗(yàn),應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?模 型 應(yīng) 用,回答提出的問(wèn)題：由模型算得 n = 4450 時(shí) t = 116.4分， 剩下的錄像帶能錄 184-116.4= 67.6分鐘的節(jié)目。,揭示了“t 與 n 之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律， 當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì) a,b 即可。,問(wèn)題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失,假設(shè),熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流,T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài),材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),建模,熱傳導(dǎo)定律,Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量,T溫差, d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù),2.3 雙層玻璃窗的功效,Ta,Tb,記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1,Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,建模,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2,雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，,取k1/k2 =16,建模,模型應(yīng)用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。,房間通過(guò)天花板、墻壁 損失的熱量更多。,雙層窗的功效不會(huì)如此之大,大家畫(huà)出圖形,2.4 汽車(chē)剎車(chē)距離,美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：,背景與問(wèn)題,正常駕駛條件下, 車(chē)速每增10英里/小時(shí)， 后面與前車(chē)的距離應(yīng)增一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度。,實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是 “2秒準(zhǔn)則” ：,后車(chē)司機(jī)從前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車(chē)速如何,判斷 “2秒準(zhǔn)則” 與 “車(chē)身”規(guī)則是否一樣；,建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。,問(wèn)題分析,常識(shí)：剎車(chē)距離與車(chē)速有關(guān),10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車(chē)速下2秒鐘行駛29英尺( 9米),車(chē)身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米),“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車(chē)身”規(guī)則不同,剎車(chē)距離,反應(yīng)時(shí)間,司機(jī)狀況,制動(dòng)系統(tǒng)靈活性,制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候 ,最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。,車(chē)速,假 設(shè) 與 建 模,1. 剎車(chē)距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離 d2 之和,2. 反應(yīng)距離 d1與車(chē)速 v成正比,3. 剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變;,F d2= m v2/2,F m,t1為反應(yīng)時(shí)間,且F與車(chē)的質(zhì)量m成正比,反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒,參數(shù)估計(jì),利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則”,模 型,2.5 劃艇比賽的成績(jī),對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。,問(wèn)題,準(zhǔn)備,調(diào)查賽艇的尺寸和重量,問(wèn)題分析,前進(jìn)阻力 浸沒(méi)部分與水的摩擦力,前進(jìn)動(dòng)力 漿手的劃漿功率,分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系,賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定,對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定,運(yùn)用合適的物理定律建立模型,模型假設(shè),1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)), w0與n成正比,2）阻力 f與 sv2成正比,符號(hào)：艇速 v, 浸沒(méi)面積 s,