行波法與積分變換法.ppt

第三章 行波法與積分變換法,行波法(求解無(wú)界區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程定解問(wèn)題) 積分變換法 (無(wú)界或有界區(qū)域),3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,考慮代換,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,同理有:,代入方程，得到,在上式中對(duì) 積分, 得,( 是 的任意可微函數(shù)),3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,再將此式對(duì) 積分,其中 都是任意二次連續(xù)可微函數(shù).,利用初始條件，確定兩個(gè)函數(shù)的具體形式。,由第二式得,.,其中,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,由, ,解得,代入通解表達(dá)式，得,達(dá)朗貝爾(DAlembert)公式.,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,圖 3-1,t=0,t=1/2,t=2,考慮 的物理意義,隨著時(shí)間t 的推移u2的圖形以速度a 向x軸正向移動(dòng).,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,的積分曲線, 這個(gè)常微分方程稱為它的特征方程 .,一維波動(dòng)方程,的兩族特征線,恰好是常微分方程,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,一般的二階線性偏微分方程,它的特征方程為,(*),這個(gè)常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程(*)的特征曲線.,記,稱其為二階線性偏微分方程的判別式,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,可以證明，當(dāng) 時(shí)，有兩條相異的實(shí)特征線 因此特征線法對(duì)雙曲型方程都是有效的，沿著特征線做自變量替換 總可以把雙曲型方程化為,從而得到方程的通解,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,例 求下面問(wèn)題的解:,(3.1),解: 特征方程,兩族積分曲線為,做特征變換,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,代入方程化簡(jiǎn)得:,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,它的通解為,其中 , 是兩個(gè)二次連續(xù)可微函數(shù).,于是原方程的通解為,代入初始條件 , ，得,第二式的兩端得關(guān)于 積分得,解得,所求問(wèn)題的解為,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,解 特征方程為,特征曲線為,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,所以，做變換,則原方程可以變?yōu)?其中 , 是任意的二次連續(xù)可微函數(shù).,于是，方程的通解為,3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,研究波在空間傳播問(wèn)題.,三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,一、球?qū)ΨQ情形,球坐標(biāo)系,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,若 僅是 r 的函數(shù), 則 是r 和 t 的函數(shù), 此時(shí)稱定解問(wèn)題是球?qū)ΨQ的。,球?qū)ΨQ波動(dòng)方程,進(jìn)一步有,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,對(duì)球?qū)ΨQ問(wèn)題,球?qū)ΨQ情形下，三維波動(dòng)方程邊值問(wèn)題可化為,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,這個(gè)問(wèn)題 我熟悉！,由達(dá)朗貝爾公式,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,二. 一般情況,令,表示 在球面 上的平均值。,其中M=M (x,y,z), 是球面 上的點(diǎn),3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,二. 一般情況,令,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,表示以 M 為中心的單位球面，,表示 上的面積元素，,表示單位球面上的面積元素，,即,而,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,以下推導(dǎo) 所滿足方程及初始條件。,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,進(jìn)一步有：,兩邊關(guān)于 r 求導(dǎo)，得,得,由,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,即,可得：,由,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,由初值條件和 的表達(dá)式，有：,其中 分別是函數(shù) 在 上的球平均值。,滿足如下定解問(wèn)題：,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,所以,解方程組得,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,將 延拓到r0的范圍內(nèi)。并且,同理 也是偶函數(shù),利用,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,所以,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,由于 ，只考慮 的情形,利用洛必達(dá)法則,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,即,簡(jiǎn)記成,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,三維波動(dòng)方程的泊松公式,三、泊松公式的物理意義,從泊松公式出發(fā)，解釋波在三維空間的傳播現(xiàn)象.,設(shè) 且，,1. 在任一固定點(diǎn) 的振動(dòng)情況,設(shè) ， 由 沿以 M 為中心，at 為半徑的球面的曲面 積分所決定。,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,M 點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，說(shuō)明 T 的振動(dòng)尚未達(dá)到 M 點(diǎn)。, 當(dāng) 時(shí)， 不為空集，,所以M點(diǎn)處于振動(dòng)狀態(tài), 表明 T 的振動(dòng)已傳到 M 點(diǎn)。, 當(dāng) 時(shí)， 為空集，說(shuō)明振動(dòng)已 傳過(guò) M 點(diǎn)， M 點(diǎn)仍回復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)。,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,2. 在某固定時(shí)刻 ，初始時(shí)刻的振動(dòng)所傳播的范圍,設(shè) ，T 是半徑為 R 的球體。由Poisson公式，只有與 M 相距為 的點(diǎn)上的初始擾動(dòng)能夠影響 的值，故 P 點(diǎn)的初始擾動(dòng)，在時(shí)刻 只影響到以 P 為球心，以 為半徑的球面,當(dāng) P 在 T 內(nèi)移動(dòng)時(shí)，球面族的包絡(luò)面所圍成的區(qū)域即為 T 內(nèi)各點(diǎn)的振動(dòng)在 時(shí)刻所傳播的區(qū)域，稱為 T 在時(shí)刻 的影響區(qū)域。,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,總之，三維空間中有限區(qū)域 T上的初始振動(dòng)，有著清晰的前陣面和后陣面，對(duì)空間的任一點(diǎn)，振動(dòng)傳過(guò)后，仍回復(fù)到平衡狀態(tài)，這種只在有限時(shí)間內(nèi)引起振動(dòng)的現(xiàn)象稱為 Huygens 原 理。,在 足夠大時(shí)，包絡(luò)面以T 的心o(T)為心，分別以 和 為半徑的球面所夾部分。故 時(shí)刻的影響區(qū)域?yàn)?的球殼，球 面 是振動(dòng)到來(lái)的前峰，稱為波的 前 陣 面,球 面 是振動(dòng)傳過(guò)后的后沿，稱為波的后陣面。,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,解,例. 設(shè)已知三維波動(dòng)問(wèn)題中的初位移，初速度分別為： , 求解相應(yīng)的Cauchy問(wèn)題。,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,三. 降維法及二維波動(dòng)方程,考慮二維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題,設(shè)解為 ,令 ，則,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,由泊松公式,球面 在平面 上投影 為,設(shè)其上面積微元為 ，則由投影關(guān)系有：,其中 v 表示 dS 的單位法向量與 之夾角，,3.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式,又上、下兩球面的投影有對(duì)稱關(guān)系，故,柱面波,3.3 積分變換法,3.3 積分變換法,常見(jiàn)的兩種積分變換 -傅立葉變換 -拉普拉斯變換.,如果 滿足上面的條件，我們可以定義傅立葉逆變換為:,如果函數(shù) 在 上絕對(duì)可積，它的傅立葉變換定義如下,有時(shí)把 記為 。,一. 傅立葉變換,反演公式,3.3 積分變換法,傅立葉變換的性質(zhì):,1） 線性性質(zhì) 設(shè) f, g 是絕對(duì)可積函數(shù)， 是任 意復(fù)常數(shù)，則,2） 微分性質(zhì) 設(shè) f , 絕對(duì)可積函數(shù)，則,3）乘多項(xiàng)式 設(shè) f , x f 絕對(duì)可積，則,3.3 積分變換法,4）伸縮性質(zhì) 設(shè) f (x) 絕對(duì)可積，則,6） 卷積性質(zhì) 設(shè)f , g 是絕對(duì)可積函數(shù)， 令,則,5）平移性質(zhì) 設(shè) f (x) 絕對(duì)可積，則,3.3 積分變換法,例 用積分變換法解方程：,解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換,方程可變?yōu)?設(shè),3.3 積分變換法,可解得,由于,即,則,3.3 積分變換法,從而方程的解,3.3 積分變換法,例 用積分變換法解方程,解： 作關(guān)于 的傅立葉變換。設(shè),方程變?yōu)?3.3 積分變換法,用常數(shù)變易法可解得,而,則,3.3 積分變換法,利用反演公式有,3.3 積分變換法,例 用積分變換法求解初值問(wèn)題：,解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換。設(shè),3.3 積分變換法,于是原方程變?yōu)?滿足初始條件,3.3 積分變換法,齊次方程的解,設(shè)非齊次方程的解為,3.3 積分變換法,令,則,3.3 積分變換法,代入方程,得,3.3 積分變換法,積分,3.3 積分變換法,方程通解為,由初始條件,取傅立葉逆變換，得,其中,的傅立葉變換.,所以 取傅立葉逆變換，得,3.3 積分變換法,傅立葉逆變換是一種把分析運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算的有效方法,但 1.傅立葉變換要求原象函數(shù)在R上絕對(duì)可積,大部分函數(shù)不能作傅立葉變換,2.傅立葉變換要求函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上有定義,研究混合問(wèn)題時(shí)失效.,3.3 積分變換法,二. 拉普拉斯變換,定義: f (t)定義在 上，若其滿足下列條件 f (t)分段光滑； 存在常數(shù) M 和 使得 則稱f (t)為初始函數(shù), 稱為f (t)的增長(zhǎng)指數(shù).,反例,3.3 積分變換法,定理: 設(shè)f (t)是一以 為增長(zhǎng)指數(shù)的初始函數(shù), 則經(jīng)變換 得到的函數(shù)F(p)是 上的解析函數(shù).,上述變換稱為拉普拉斯變換,3.3 積分變換法,例,3.3 積分變換法,反演公式：在 f (t) 的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)均有,其中，,3.3 積分變換法,基本性質(zhì):,1） 線性性質(zhì) 設(shè) f, g 的拉普拉斯變換分別 為L(zhǎng)( f ), L(g ), 是任意復(fù)常數(shù)，則,2） 微分性質(zhì) 假設(shè) , 則,3.3 積分變換法,6） 卷積性質(zhì),定義,4）延遲性質(zhì),5）伸縮性質(zhì),則,3）積分性質(zhì),3.3 積分變換法,例 設(shè) 求解常微分方程的初值問(wèn)題,解 對(duì) 進(jìn)行拉普拉斯變換, 設(shè) , 則,3.3 積分變換法,于是原方程變?yōu)?由上式得:,對(duì) 進(jìn)行拉普拉斯逆變換, 得,3.3 積分變換法,解 問(wèn)題歸結(jié)為求解下列定解問(wèn)題:,例 一條半無(wú)限長(zhǎng)的桿，端點(diǎn)溫度變化已知，桿的初始溫度為0，求桿上溫度分布規(guī)律。,3.3 積分變換法,對(duì) t 進(jìn)行拉普拉斯變換,怎么變換？,為什么？,知道 的值了,方程通解為,表示溫度，當(dāng) 時(shí)， 一定有界，所以 亦有界，從而 .,對(duì) t 進(jìn)行拉普拉斯變換，設(shè),于是原問(wèn)題變?yōu)?3.3 積分變換法,由邊值條件可知 ， 即,對(duì) p 進(jìn)行拉普拉斯逆變換，有,3.3 積分變換法,于是,查表得,而,易證,3.3 積分變換法,所以,于是,3.3 積分變換法,例 設(shè) 求解下面定解問(wèn)題,解 對(duì) 進(jìn)行拉普拉斯變換,則原方程 變?yōu)?即,3.3 積分變換法,由條件 得,解得,對(duì) 取拉普拉斯逆變換，得,3.3 積分變換法,數(shù)學(xué)物理方程+定解條件,解,常微分方程+定解條件,解,積分變換,逆變換,3.3 積分變換法,如何使用積分變換法求解定解問(wèn)題：,選取恰當(dāng)?shù)姆e分變