高中數(shù)學(xué)第二章拋物線課時(shí)提升作業(yè)（十七）2.3.2.2拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用檢測(cè)（含解析）.docx

課時(shí)提升作業(yè)(十七)拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.拋物線y=14x2的焦點(diǎn)關(guān)于直線x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(2,-1)B.(1,-1)C.14,-14D.116,-116【解析】選A.y=x2x2=4y,焦點(diǎn)為(0,1),其關(guān)于x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為(2,-1).2.(2015全國(guó)卷)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為12,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,點(diǎn)A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則AB=()A.3B.6C.9D.12【解析】選B.設(shè)橢圓E的方程為+=1(ab0),右焦點(diǎn)為(c,0),依題意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓E的方程為+=1,因?yàn)閽佄锞€C:y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2,將x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.3.已知拋物線C:x2=12y,過點(diǎn)A(0,-1)和點(diǎn)B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.(-,-1)(1,+)B.C.(-,-22)(22,+)D.(-,-2)(2,+)【解析】選D.顯然t0,直線AB的方程為y=x-1,代入拋物線方程得2tx2-4x+t=0.由題意=16-8t20,解得t.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線與拋物線有公共點(diǎn),則直線斜率的取值范圍是()A.B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】選C.準(zhǔn)線x=-2,Q(-2,0),設(shè)y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,當(dāng)k=0時(shí),x=0,即交點(diǎn)為(0,0),當(dāng)k0時(shí),0,-1k0或00)上,另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為n,則()A.n=0B.n=1C.n=2D.n3【解題指南】借助拋物線及正三角形的對(duì)稱性求解本題,注意數(shù)形結(jié)合.【解析】選C.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)一定關(guān)于x軸對(duì)稱,且過焦點(diǎn)的兩條直線傾斜角分別為30和150,如圖,所以正三角形的個(gè)數(shù)n=2.二、填空題(每小題5分,共15分)6.沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=ax反射后,與x軸相交于點(diǎn)A(2,0),則拋物線的準(zhǔn)線方程為(拋物線的光學(xué)性質(zhì):從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行).【解析】由直線y=-2平行于拋物線的對(duì)稱軸知A(2,0)為焦點(diǎn),故準(zhǔn)線方程為x=-2.答案:x=-27.直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是.【解析】設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中點(diǎn)為P(x0,y0),由題意得消去y,整理得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0.所以x0=3,y0=x0-1=2.所以P(3,2).答案:(3,2)【一題多解】=4x2,=4x1,-=4x2-4x1,=4.所以y1+y2=4,即y0=2,因此x0=y0+1=3.故中點(diǎn)為P(3,2).答案:(3,2)8.(2015吉林高二檢測(cè))已知拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線為l,過M(1,0)且斜率為3的直線與l相交于點(diǎn)A,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為B,若=,則p=.【解析】由題知準(zhǔn)線l為x=-(p0),過點(diǎn)M且斜率為的直線為y=(x-1),則A,設(shè)B(x,0),由=可知M為AB的中點(diǎn),又M(1,0),所以即代入y2=2px可知,p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點(diǎn)A.(1)求實(shí)數(shù)b的值.(2)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.【解題指南】利用直線l與拋物線C相切,聯(lián)立方程,由=0求實(shí)數(shù)b的值;由直線與圓相切求圓的方程.【解析】(1)由得x2-4x-4b=0.(*)因?yàn)橹本€l與拋物線C相切,所以=(-4)2-4(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)為x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故點(diǎn)A(2,1).因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切,所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=-1的距離,即r=|1-(-1)|=2,所以圓A的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.10.(2015濟(jì)南高二檢測(cè))如圖,已知點(diǎn)P(-3,0),點(diǎn)Q在x軸上,點(diǎn)A在y軸上,且=0,=2.當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.【解題指南】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),利用=0,=2,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),A(0,b),Q(a,0),因?yàn)镻(-3,0),所以=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),因?yàn)?0,所以(3,b)(a,-b)=0,即3a-b2=0.因?yàn)?2,所以(x-a,y)=2(a,-b),即x=3a,y=-2b.由得y2=4x.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若動(dòng)點(diǎn)P在y=2x2+1上移動(dòng),求點(diǎn)P與Q(0,-1)連線中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)PQ中點(diǎn)為M(x,y),P(x0,y0),則所以又因?yàn)閥0=2+1,所以2y+1=8x2+1.即y=4x2為所求的軌跡方程.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2014遼寧高考)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為()A.12B.23C.34D.43【解題指南】由直線與C相切求B點(diǎn)的坐標(biāo),由斜率公式求直線BF的斜率.【解析】選D.因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px的準(zhǔn)線為x=-,且點(diǎn)A(-2,3)在準(zhǔn)線上,所以p=4.設(shè)直線AB的方程為x+2=m(y-3),與拋物線方程y2=8x聯(lián)立得到y(tǒng)2-8my+24m+16=0,由題易知=0,解得m=-(舍)或m=2,這時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8),而焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),故直線BF的斜率kBF=.2.(2014四川高考)已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則ABO與AFO面積之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10【解析】選B.由題意可知,F.設(shè)A(,y1),B(,y2),所以=y1y2+=2,解得y1y2=1或y1y2=-2.又因?yàn)锳,B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè),所以y1y23,故最小值為3.【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí)常因忽略條件“點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)”導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.二、填空題(每小題5分,共10分)3.平面上有三個(gè)點(diǎn)A(-2,y),B0,y2,C(x,y),若ABBC,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為.【解析】=0,y2-(-2,y)=2,-y2,=(x,y)-0,y2=x,y2.因?yàn)锳BBC,所以=0,所以2,-y2x,y2=0,即y2=8x.所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y2=8x.答案:y2=8x4.(2015漳州高二檢測(cè))已知過拋物線y2=4x焦點(diǎn)的一條弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則1y1+1y2=.【解析】弦AB是過焦點(diǎn)F(1,0)的弦,又過點(diǎn)(0,2),所以其方程為x+=1,2x+y-2=0與y2=4x聯(lián)立得y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,+=.答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】線段AB是拋物線y2=x的一條焦點(diǎn)弦,且|AB|=4,則線段AB的中點(diǎn)C到直線x+12=0的距離是.【解析】線段AB的中點(diǎn)C到準(zhǔn)線x=-的距離為|AB|長(zhǎng)的一半,則中點(diǎn)C到直線x+=0的距離為.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)5.如圖,過拋物線y2=x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB,AC,交拋物線于B,C兩點(diǎn),求證:直線BC的斜率是定值.【證明】設(shè)kAB=k(k0),因?yàn)橹本€AB,AC的傾斜角互補(bǔ),所以kAC=-k(k0),AB的方程是y=k(x-4)+2.由方程組消去y后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.因?yàn)锳(4,2),B(xB,yB)的橫坐標(biāo)是上述方程的解,所以4xB=,即xB=.以-k代換xB中的k,得xC=,所以kBC=-.所以直線BC的斜率是定值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,已知AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y2=2x的頂點(diǎn)O,A,B兩點(diǎn)都在拋物線上,且AOB=90.(1)證明直線AB必過一定點(diǎn).(2)求AOB面積的最小值.【解析】(1)設(shè)OA所在直線的方程為y=kx(k0),則直線OB的方程為y=-x,由解得或即A點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理由解得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2k2,-2k).所以AB所在直線的方程為y+2k=(x-2k2),化簡(jiǎn)并整理,得y=x-2.不論實(shí)數(shù)k取任何不等于0的實(shí)數(shù),當(dāng)x=2時(shí),恒有y=0.故直線過定點(diǎn)P(2,0).(2)由于AB所在直線過定點(diǎn)P(2,0),所以可設(shè)AB所在直線的方程為x=my+2.由消去x并整理得y2-2my-4=0.所以y1+y2=2m,y1y2=-4.于是|y1-y2|=2.SAOB=|OP|(|y1|+|y2|)=|OP|y1-y2|=22=2.所以當(dāng)m=0時(shí),AOB的面積取得最小值為4.6.(2014安徽高考)如圖,已知兩條拋物線E1:y2=2p1x(p10)和E2:y2=2p2x(p20),過原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點(diǎn),l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點(diǎn).(1)證明:A1B1A2B2.(2)過原點(diǎn)O作直線l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點(diǎn).記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2,求S1S2的值.【解題指南】(1)設(shè)出兩條直線的方程,聯(lián)立拋物線方程,求出點(diǎn)A1,A2,B1,B2的