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2.擴(kuò)散方程的建立,設(shè)某溶質(zhì)在均勻且各向同性的溶液中擴(kuò)散，t時(shí)刻它在溶液 中點(diǎn)（x,y,z）處的濃度為u(x,y,z,t)。已知溶質(zhì)在單位時(shí) 間流入曲面S上單位曲面元的質(zhì)量q服從Nernst定律：,試推導(dǎo)濃度滿足的微分方程,在dt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)ABCD面流入的質(zhì)量為,在dt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)FGHE面流入的質(zhì)量為,在dt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)x方向流入的質(zhì)量為,另外，小立方體內(nèi)溶液的溶質(zhì)變化為,則得溶質(zhì)擴(kuò)散方程,則得到三維擴(kuò)散方程,令,例：設(shè)長(zhǎng)為 的均勻細(xì)直桿的側(cè)面與外界無(wú)熱交換，試導(dǎo)出 的熱傳導(dǎo)方程。（且同一截面具有同一溫度）,橫截面積 比熱 體密度,由微元兩端流入的熱量=微元自身增加的熱量,則得到一維擴(kuò)散方程,一維熱傳導(dǎo)方程的邊界條件：兩邊界條件,（1）兩端溫度為已知函數(shù)：,（3）在 處已知單位時(shí)間流入單位面積的熱量等于,則桿端流出熱量=溫度減少所釋放熱量,牛頓冷卻定律：兩物體間傳遞的熱量與溫度差 成正比（單位dt，單位S）,令,邊界條件分類：,熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題：,例：有一長(zhǎng)為 的均勻細(xì)桿，側(cè)向與外界無(wú)熱交換，桿內(nèi)有強(qiáng) 度隨時(shí)間連續(xù)變化的熱源，設(shè)在同一截面上具有同一熱源強(qiáng)度 及初始溫度為 ，且桿的一端保持零度，另一端絕熱，試推 導(dǎo)定解問(wèn)題。,思考：以下定解問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的物理現(xiàn)象,穩(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立,稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程，或稱為調(diào)和方程,穩(wěn)定溫度分布,

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