管理統(tǒng)計(jì)學(xué)：第三章：樣本數(shù)據(jù)特征.ppt

第3章 樣本數(shù)據(jù)特征的初步 分析,第3章 樣本數(shù)據(jù)特征的初步分析,第3.1節(jié) 樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本特征：頻次與頻率 第3.2節(jié) 觀察刻度級(jí)樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的莖葉圖與直方圖方法 第3.3節(jié) 樣本數(shù)據(jù)的位置特征：對(duì)數(shù)據(jù)中心的描述 第3.4節(jié) 樣本數(shù)據(jù)的離散特征 第3.5節(jié) 樣本數(shù)據(jù)特征的綜合表達(dá)：箱形圖,第3.1節(jié) 樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本特征：頻次與頻率,一個(gè)誤區(qū)：聚焦于數(shù)據(jù)值（樣本值）及其變化 另一個(gè)重要問(wèn)題：相同值出現(xiàn)的頻次、頻率。這是數(shù)據(jù)集合的最基本的結(jié)構(gòu)特征。 本節(jié)討論這一結(jié)構(gòu)特征：頻次（Frequency）與頻率（Percentage，或Relative Frequency） 兩個(gè)緊密相關(guān)的不同的概念： 1）樣本數(shù)據(jù)自身（不論什么測(cè)度級(jí)的數(shù)據(jù)） 2）同一個(gè)數(shù)據(jù)值（樣本值）出現(xiàn)的次數(shù)（頻次）。,3.1.1 頻次與頻率的基本概念 頻次：在一個(gè)數(shù)據(jù)集合中，同一個(gè)數(shù)據(jù)值（樣本值）出現(xiàn)的次數(shù)。 頻率：某樣本值的頻率=該樣本值出現(xiàn)的頻次/n（該數(shù)據(jù)集合的數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)） 一個(gè)例子（下頁(yè)）,例3.1.1從某城市抽出來(lái)的30個(gè)商店中，查出某商品的價(jià)格數(shù)據(jù)： 9.98 10.02 10.00 10.04 10.01 9.99 10.05 10.04 10.06 10.01 10.03 9.99 9.97 9.93 10.01 10.03 10.03 10.02 10.05 9.99 9.95 9.96 9.98 10.00 9.97 10.01 10.00 9.99 9.98 10.00 （感覺如何？亂?。?排序：最基本的整理。 9.93 9.95 9.96 9.97 9.97 9.98 9.98 9.98 9.99 9.99 9.99 9.99 10.00 10.00 10.00 10.00 10.01 10.01 10.01 10.01 10.02 10.02 10.03 10.03 10.03 10.04 10.04 10.05 10.05 10.06 簡(jiǎn)單之至？ 認(rèn)為容易的，可以試試手工對(duì)300個(gè)數(shù)據(jù)排序 簡(jiǎn)單：基于軟件。,基于排序，能夠簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)頻次： 價(jià)格（元）9.93 9.94 9.95 9.96 9.97 9.98 9.99 10.00 次數(shù)： 1 0 1 1 2 3 4 4 頻率% 3.33 0 3.33 3.33 6.67 10.00 13.33 13.33 價(jià)格（元）10.01 10.02 10.03 10.04 10.05 10.06 次數(shù)： 4 2 3 2 2 1 頻率% 13.33 6.67 10.0 6.67 6.67 3.33 故意增加了“9.94元”這個(gè)刻度 排成一行，看清楚了頻率結(jié)構(gòu)特征。 今后，統(tǒng)計(jì)頻次、頻率，都由機(jī)器完成。,上例是刻度級(jí)的數(shù)據(jù)，下面看一個(gè)名義級(jí)數(shù)據(jù)的例子。 例3.1.3 抽樣調(diào)查后，得到客戶家具的基色調(diào)的數(shù)據(jù)： R、Y、R、G、Y、Y、W、Y、G、G、R、Y、Y、R、W G、Y、R、W、Y、G、G、B、R、Y、Y、W、R、R、W R、Y、R、G、Y、Y、W、Y、G、G、R、Y、Y、R、W G、Y、R、W、Y、G、G、B、R、Y、Y、W、R、R、W 其中，R表示暗紅色，Y表示淡黃褐色，G表示淺綠色，W表示白色，B表示黑色。 統(tǒng)計(jì)出各個(gè)顏色出現(xiàn)的頻率如下：,當(dāng)然，也可以統(tǒng)計(jì)出順序級(jí)數(shù)據(jù)集合的頻次與頻率結(jié)構(gòu)。,3.1.2 觀察樣本數(shù)據(jù)基本特征（頻次與頻率）的圖形方法 1.表示頻次與頻率的餅圖（Pie Chart） 每個(gè)不同的樣本值所占據(jù)的圓心角的大小由下式計(jì)算： 在圓圈中，給每個(gè)不同的樣本值一個(gè)與其頻次（或頻率）相當(dāng)?shù)膱A心角： 某樣本值對(duì)應(yīng)的圓心角=該樣本值的頻率360,家具基色調(diào)（名義級(jí)數(shù)據(jù)）,某單位職工文化程度的結(jié)構(gòu)（順序級(jí)數(shù)據(jù)）,2.表示頻次與頻率的條形圖 圖見下頁(yè)。 非常簡(jiǎn)單： 1）橫坐標(biāo)：樣本數(shù)據(jù)的不同值。 順序級(jí)以上，橫坐標(biāo)上的樣本數(shù)據(jù)應(yīng)從小到大排列。若是刻度級(jí)的，則在排序中，要注意長(zhǎng)度的刻度，保持一致的比例。 2）縱坐標(biāo)：相應(yīng)樣本值出現(xiàn)的頻次或頻率。,某商品在30個(gè)商店的價(jià)格例（注意間距）,某科室職工文化程度例（有順序，無(wú)間距）,家具基色調(diào)例（橫坐標(biāo)的色彩無(wú)順序關(guān)系）,3.1.3 樣本數(shù)據(jù)集合的基本特征的延伸：累積頻率（Cumulative Percentage） 1.累積頻率的概念（簡(jiǎn)單） 設(shè)X1X2Xm，是樣本數(shù)據(jù)集合中的不重復(fù)的樣本值（mn樣本個(gè)數(shù)）。 若把樣本值小于等于某個(gè)樣本數(shù)據(jù)Xi的頻率值，都累加起來(lái)，就得到“小于等于Xi”的累積頻率。 2.表格法表示累積頻率（以價(jià)格問(wèn)題為例）：,價(jià)格（元）9.93 9.94 9.95 9.96 9.97 9.98 9.99 10.00 次數(shù)： 1 0 1 1 2 3 4 4 頻率% 3.33 0 3.33 3.33 6.67 10.00 13.33 13.33 累積頻率% 3.33 3.33 6.67 10.00 16.67 26.67 40.00 53.33 價(jià)格（元）10.01 10.02 10.03 10.04 10.05 10.06 次數(shù)： 4 2 3 2 2 1 頻率% 13.33 6.67 10.0 6.67 6.67 3.33 累積頻率% 66.67 73.33 83.33 90.00 96.67 100.00 討論：順序級(jí)數(shù)據(jù)能夠計(jì)算累積頻率嗎？ 名義級(jí)數(shù)據(jù)能夠計(jì)算累積頻率嗎？ 為什么？（答案見教材第72頁(yè)）,3.累積頻率的條形圖表示 把條形圖的縱坐標(biāo)改成累積頻率即可。 商品價(jià)格例：,第3.2節(jié) 觀察刻度級(jí)樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的莖葉圖與直方圖方法,3.2.1莖葉圖（Stem-and-Leaf Plot）的概念與作法 1.概念 “莖-葉”的含義：按照某規(guī)則，把所有的樣本值分成“莖節(jié)”和“葉”兩個(gè)部分。表達(dá)為：“莖節(jié)葉”的形式。 “莖節(jié)”末位上的1所代表的實(shí)際值，就是“莖節(jié)”的寬度。,例如，可用莖葉法，把123表達(dá)為1.23（此時(shí)，莖節(jié)寬=100） 此時(shí)，123（樣本值）=1.23（莖葉表達(dá)）100（莖節(jié)寬） 問(wèn)：若莖節(jié)寬度為10，如何表達(dá)123？,2.例題與莖葉圖的作法 例3.2.1 某班級(jí)男生的身高（厘米） 171 182 175 177 178 181 185 168 170 175 177 180 176 172 165 160 178 186 190 176 163 183 問(wèn)：若以100cm為莖節(jié)寬？莖節(jié)是多少？對(duì)嗎？ 結(jié)論：樣本數(shù)據(jù)集合中的“莖節(jié)”必須是有變化的 莖節(jié)寬應(yīng)為10cm 把所有的數(shù)據(jù)都表達(dá)為“莖節(jié)葉”形式后，把相同莖節(jié)的數(shù)據(jù)合并為“莖節(jié)葉1葉2”形式（葉，要從小到大排列），再把不同的莖節(jié)從小到大縱向排列，就得到莖葉圖：,莖 葉 16 0,3,5,8 17 0,1,2,5,5,6,6,7,7,8,8 18 0,1,2,3,5,6 19 0 進(jìn)一步策略（并注明頻次）為： 頻次 莖 葉 4 16 0,3,5,8 11 17 0,1,2,5,5,6,6,7,7,8,8 6 18 0,1,2,3,5,6 1 19 0 這就是身高數(shù)據(jù)集合的莖葉圖。 問(wèn)：如果有的莖節(jié)右邊的葉子太多了，怎么辦？,把“莖節(jié)”砍短一點(diǎn)。 例如，把每個(gè)莖節(jié)分成兩段（L、H），有 頻次 莖 節(jié) 2 16L 03 2 16H 58 3 17L 012 8 17H 55667788 4 18L 0123 2 18H 56 1 19L 0 “莖節(jié)長(zhǎng)度”的概念：莖節(jié)長(zhǎng)度=允許覆蓋最大值-允許覆蓋最小值+1 上例中的莖節(jié)長(zhǎng)度為5（cm）：04,59 上例中的L、H可以省略。 事實(shí)上，上例的莖節(jié)是不必砍短的， 葉并不多 注意：莖節(jié)砍短時(shí)，要注意莖節(jié)等長(zhǎng)的原則,3.2.2 直方圖（Histogram）的概念與作法,1.條形圖的弱點(diǎn)，當(dāng)刻度級(jí)的數(shù)據(jù)的精度相對(duì)高，使得不重復(fù)的數(shù)據(jù)量非常大時(shí)，反而讓人看不清數(shù)據(jù)集合的結(jié)構(gòu)。例如，身高問(wèn)題 看不清分布的規(guī)律,如果我們對(duì)數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，再用矩形的高度來(lái)表示各組的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)或頻率，就有（可看到清楚的分布規(guī)律）： 這就是直方圖。各區(qū)間長(zhǎng)度是5cm，起點(diǎn)是157.5cm，終點(diǎn)時(shí)192.5cm。,2.直方圖：適用于大量不重復(fù)樣本值的數(shù)據(jù)集合。 在繪制直方圖時(shí)，如何對(duì)數(shù)據(jù)分組，如何確定區(qū)間長(zhǎng)度、區(qū)間個(gè)數(shù)？如何確定區(qū)間起點(diǎn)？參見教材。 今后軟件可自動(dòng)完成分組和繪圖。 需要掌握的是：直方圖與條形圖的區(qū)別，各適用于什么數(shù)據(jù)特點(diǎn)？,作直方圖時(shí)，在區(qū)間長(zhǎng)度確定后，如何確定區(qū)間個(gè)數(shù)？ （數(shù)據(jù)集合中最大值-數(shù)據(jù)集合中的最小值）/區(qū)間長(zhǎng)度，其值4舍5入后加1為組的個(gè)數(shù)。 作直方圖時(shí)，如何確定最左端區(qū)間的中心位置？ 取出樣本數(shù)據(jù)集合中的最小值；確定備選的起始區(qū)間的中心位置；在備選區(qū)間的中心位置中，哪個(gè)與最小值接近，就確定為數(shù)據(jù)分組的起始區(qū)間。,第3節(jié) 樣本數(shù)據(jù)的位置特征 對(duì)數(shù)據(jù)中心的描述,樣本數(shù)據(jù)的測(cè)度級(jí)別的不同，需要不同的表示“數(shù)據(jù)集合中心”的概念。 本節(jié)將介紹“樣本中位數(shù)”、“樣本眾數(shù)”和“樣本均值”三個(gè)重要的描述數(shù)據(jù)集合中心位置的基本概念。,3.3.1 樣本眾數(shù)（Sample mode） 樣本眾數(shù)定義1：樣本數(shù)據(jù)集合中出現(xiàn)頻次最高的那個(gè)樣本值，稱為樣本眾數(shù)。在一般情況下，“樣本眾數(shù)”被簡(jiǎn)稱為“眾數(shù)”。 單一眾數(shù)：P.67。復(fù)眾數(shù)：P.67。無(wú)眾數(shù)：P.68 從條形圖，或者頻率表、頻次表來(lái)判斷。,眾數(shù)定義2：對(duì)刻度級(jí)的數(shù)據(jù)，在等區(qū)間分組的直方圖中，最高的矩形（即峰Peak）所表示的數(shù)據(jù)區(qū)間，稱為該數(shù)據(jù)集合的眾數(shù)區(qū)間，簡(jiǎn)稱眾數(shù)。如： 眾數(shù)區(qū)間，也有單一眾數(shù)和復(fù)眾數(shù)之分。 問(wèn)：眾數(shù)適用于什么測(cè)度？廣義與俠義,3.3.2 樣本中位數(shù)（Sample median） 樣本中位數(shù)： 設(shè)，樣本數(shù)據(jù)集合中的所有數(shù)據(jù)的排序結(jié)果為X1X2Xn，n為樣本容量。樣本中位數(shù)，就是上述序列中，處于“正中間位置”上的數(shù)據(jù)。 兩個(gè)要素：位與數(shù)。 正中間位置“號(hào)碼”=（n+1）0.5,例1:17.0 17.1 17.2 17.5 17.5 17.6 17.6 Me=17.5 例2:16.8 17.0 17.1 17.2 17.5 17.5 17.6 17.6 Me=17.35 問(wèn)：中位數(shù)適用于什么測(cè)度？ 分奇偶個(gè)數(shù)。,3.3.3 樣本均值（Sample Mean） 樣本均值（Sample Mean） 樣本均值僅適用于刻度級(jí)的數(shù)據(jù)。 樣本數(shù)據(jù)集合的樣本均值定義為： 式中，Xi為樣本觀察值。,第3.4節(jié) 樣本數(shù)據(jù)的離散特征,描述數(shù)據(jù)集合的離散特征的兩種方法： 一、點(diǎn)狀描述，如明確樣本數(shù)據(jù)集合中的最小值和最大值等； 二、區(qū)間描述（基于差值的描述），如樣本數(shù)據(jù)集合中的最大值與最小值之差。,3.4.1 對(duì)樣本數(shù)據(jù)離散特征的點(diǎn)狀描述：極值、四分點(diǎn)與百分位點(diǎn),1.極大值（Maximum）與極小值（Minimum） 極大值與極小值，從一定視角反映了樣本數(shù)據(jù)集合中樣本的離散情況。 問(wèn)：極大值、極小值適用于什么測(cè)度？ 另一個(gè)位與數(shù)的問(wèn)題：,2.下四分點(diǎn)（Lower quartile）與上四分點(diǎn)（Upper quartile） 1）上、下四分點(diǎn)的概念 下四分點(diǎn)使由小到大排序后的數(shù)據(jù)集合的左邊部分，包含25%的樣本總個(gè)數(shù)，右邊部分包含75%的樣本總個(gè)數(shù)。 上四分點(diǎn)使由小到大排序后的數(shù)據(jù)集合的左邊部分，包含75%的樣本總個(gè)數(shù)，右邊部分包含25%的樣本總個(gè)數(shù)。 上、下四分點(diǎn)在一定意義上反映了樣本數(shù)據(jù)的離散情況。,2）上、下四分點(diǎn)（及中位數(shù)）的位置 Q1：下四分點(diǎn)，Q3：上四分點(diǎn)，Q2=Me:中位數(shù)，n：該數(shù)據(jù)集合的數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)。 下四分點(diǎn)Q1的位置=（n+1）0.25 正中間Q2的位置=（n+1）0.5 上四分點(diǎn)Q3的位置=（n+1）0.75 3）上、下四分點(diǎn)（及中位數(shù)）的值 當(dāng)Q1、Q2、Q3的位置為整數(shù)時(shí)，相應(yīng)整數(shù)位置上的樣本值，就是當(dāng)Q1、Q2、Q3的值。,當(dāng)其不為整數(shù)時(shí)： Q1=Q2位置左邊的樣本值+（Q1位置右邊的樣本值-Q1位置左邊的樣本值）Q1位置的小數(shù)部分 Q3=Q3位置左邊的樣本值+（Q3位置右邊的樣本值-Q3位置左邊的樣本值）Q3位置的小數(shù)部分,本頁(yè)公式，可以不講 3）上、下四分點(diǎn)（及中位數(shù)）的值 公式表達(dá)之二： Q1=Q1位置左邊的樣本值+（Q1位置右邊的樣本值-Q1位置左邊的樣本值）（n+1）0.25-（n+1）0.25 Q3=Q3位置左邊的樣本值+（Q3位置右邊的樣本值-Q3位置左邊的樣本值）（n+1）0.75-（n+1）0.75 式中，“是取整函數(shù)，例如，5.75=5,4）例題 例3.4.1數(shù)據(jù)：99.8,99.9,100.1,100.2，求Q1、Q2、Q3的值。 下四分點(diǎn)Q1的位置=（4+1）0.25=1.25，該位置左邊有1個(gè)數(shù)據(jù)（占總數(shù)的25%）。 中位數(shù)Q2的位置=（4+1）0.5=2.5，該位置左邊有2個(gè)數(shù)據(jù)（占總數(shù)的50%）。 上四分點(diǎn)Q3的位置=（4+1）0.75=3.75，該位置左邊有3個(gè)數(shù)據(jù)（占總數(shù)的75%）。,以下是Q1、Q2、Q3的位置的圖形表示：,計(jì)算Q1、Q2、Q3的值： Q1=99.8+（99.9-99.8）0.25=99.825 Q2=Me=99.9+（100.1-99.9）0.5=100.0 Q3=100.1+（100.2-100.1）0.75 =100.175 當(dāng)Q1、Q3的位置不是整數(shù)時(shí)（也就是n+1不能被4整除時(shí)），Q1、Q3的值是通過(guò)四則運(yùn)算得到的，所以用Q1、Q3表示離散狀況，僅適用于刻度級(jí)的數(shù)據(jù)。 當(dāng)Q1、Q3的位置是整數(shù)時(shí)（即n+1能被4整除時(shí)），Q1、Q3的值就是相應(yīng)位置上的值，所以用Q1、Q3表示離散狀況，適用于順序級(jí)以上的數(shù)據(jù)。,有關(guān)上四分點(diǎn)、下四分點(diǎn)和中位數(shù)的手工計(jì)算，不是很重要的。 很重要的是上四分點(diǎn)、下四分點(diǎn)和中位數(shù)的概念。 計(jì)算將由SPSS軟件完成。 百分位點(diǎn)的概念，很容易從四分位點(diǎn)推廣得到。,3.4.2 對(duì)樣本數(shù)據(jù)離散特征的區(qū)間描述：極差、四分距與離差 “區(qū)間描述”，必然要做加減運(yùn)算，因此，區(qū)間描述僅適用于刻度級(jí)的數(shù)據(jù)。 1.極差（Range） 極差=極大值-極小值 它反映了樣本數(shù)據(jù)在數(shù)軸上的分布范圍。 2.四分位距（Interquartile range） 四分位距（Iqr）=Q3-Q1 它反映了樣本數(shù)據(jù)集合中樣本值處于中間大小的1/2的數(shù)據(jù)的分布范圍。,3.樣本離差（Sample deviations）與離差平方和（Sun of squared deviations） 樣本離差被定義為每個(gè)樣本與樣本均值之差：xi- ，i=1,2，n 樣本離差又稱樣本中心化數(shù)據(jù)。 例3.4.1的樣本數(shù)據(jù)為：99.8,99.9,100.1,100.2,易知均值為100.0，于是，樣本離差（中心化數(shù)據(jù)）依次為：-0.2，-0.1，0.1,0.2。,反映數(shù)據(jù)集合對(duì)其均值的總偏差：所有的樣本離差之和，存在正負(fù)相