常考問(wèn)題13立體幾何中的向量方法.ppt

?？紗?wèn)題13 立體幾何中的向量方法,真題感悟 考題分析,1直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法 設(shè)直線(xiàn)l的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，則 (1)線(xiàn)面平行 laa0a1a2b1b2c1c20.,(2)線(xiàn)面垂直 laaka1ka2，b1kb2，c1kc2. (3)面面平行 vva2a3，b2b3，c2c3. (4)面面垂直 v0a2a3b2b3c2c30.,(3)二面角 如圖所示，二面角-l-，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，n1，n2，則二面有-l-的大小為-或.,3用向量法證明平行、垂直問(wèn)題的步驟 (1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標(biāo)系，也可以不建系)，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面 (2)通過(guò)向量運(yùn)算研究平行、垂直問(wèn)題 (3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題 4空間向量求角時(shí)考生易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系 (1)求線(xiàn)面角時(shí)，得到的是直線(xiàn)方向向量和平面法向量的夾角的余弦，而不是線(xiàn)面角的余弦； (2)求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析,熱點(diǎn)一 向量法證明平行與垂直 【例1】 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)求證： (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF.,熱點(diǎn)與突破,規(guī)律方法 證明平行、垂直關(guān)系時(shí)，若用傳統(tǒng)的幾何法，難以找出問(wèn)題與條件的關(guān)系時(shí)，可采用向量法，但向量法要求計(jì)算必須準(zhǔn)確無(wú)誤，利用向量法的關(guān)鍵是正確求平面的法向量,【訓(xùn)練1】 如圖，在直三棱柱ADE BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)求證： (1)OM平面BCF； (2)平面MDF平面EFCD.,解 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn) 依題意得,規(guī)律方法 異面直線(xiàn)所成角的余弦等于兩條異面直線(xiàn)方向向量夾角余弦的絕對(duì)值；線(xiàn)面所成角的正弦等于平面的法向量與直線(xiàn)方向向量夾角余弦的絕對(duì)值；二面角平面角余弦與二面角兩平面法向量夾角的余弦絕對(duì)值相等，其正負(fù)可以通過(guò)觀(guān)察二面角是銳角還是鈍角進(jìn)行確定,【訓(xùn)練2】 (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. (1)證明：ABA1C； (2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直線(xiàn)A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值,熱點(diǎn)三 利用空間向量解決探索性問(wèn)題 【例3】 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(diǎn) (1)求證：B1EAD1； (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由； (3)若二面角A-B1E-A1的大小為30，求AB的長(zhǎng),規(guī)律方法 空間向量最適合于解決這類(lèi)立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷；解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題,審題示例(七) 利用向量法解與“夾角”有關(guān)的存在性問(wèn)題,方法點(diǎn)評(píng) 與“兩異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角和二面角”有關(guān)的存在性問(wèn)題，常利用空間向量法解決，可以避開(kāi)抽象、復(fù)雜地尋找角的過(guò)程，只要能夠準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用夾角公式，就可以把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“有關(guān)參數(shù)的方程是否有解，或是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”的問(wèn)題等事實(shí)說(shuō)明，空間向量法是證明立體幾何中存在性問(wèn)題的強(qiáng)有力的方法,針對(duì)訓(xùn)練 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90，E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，ACBC2，AA14.