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第五章 大數(shù)定律及中心極限定理,一、切比雪夫不等式 二、大數(shù)定律 三、中心極限定理,主要內容,一、切比雪夫不等式,證明,取連續(xù)型隨機變量的情況來證明.,切比雪夫不等式,所以,例1 已知人的血液中 ，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，標準差是700 . 利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率 .,解：設每毫升白細胞數(shù)為X,依題意， E(X)=7300,D(X)=7002 ，所求為,P(5200 X 9400),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率 不小于8/9 .,例2 (2001, 數(shù)學一)設隨機變量X的方差為2,則,根據(jù)切比雪夫不等式有估計,解:,切比雪夫不等式為,故,不需考慮X服從什么分布，只要知道X的數(shù)學期望和方差就可以,給出的估計相對比較粗糙 僅當偏差區(qū)間是以E(X) 為中心的區(qū)間時才能用,二、大數(shù)定律,問題的提出,在第一章提出，人們在長期實踐中發(fā)現(xiàn)，雖然個別事件在某次實驗中可以出現(xiàn)也可以不出現(xiàn)，但是在大量重復試驗中卻呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性，即一個隨機事件出現(xiàn)的概率在某個固定數(shù)的附近擺動，這就是所謂“頻率穩(wěn)定性”，對于這一點，我們將在本節(jié)給予理論上的說明。,依概率收斂的序列有如下性質：,由數(shù)學期望和方差的性質,證明,由切比雪夫不等式可得,并注意到概率不能大于1, 則,三、中心極限定理,在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機因素的綜合（或和)影響所形成的.,例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差， 就受著許多隨機因素（如瞄準，空氣 阻力，炮彈或炮身結構等）綜合影響 的.每個隨機因素對炮彈著點（隨機變 量和）所起的作用都是很小,那么綜合影響后炮彈彈著點服從怎樣分布 ？,問題的提出,定理一(李雅普諾夫定理),則隨機變量之和的標準化變量,定理一表明:,定理二（獨立同分布的中心極限定理）,定理二表明:,定理三(德莫佛拉普拉斯中心極限定理),證明:,已知,根據(jù)定理二得,正態(tài)分布是二項分布的極限分布, 當n充分大時, 可以利用該定理來計算二項分布的概率.,定理三表明:,例3,解:,由定理二, 隨機變量 Z 近似服從正態(tài)分布N(0,1) ,其中,一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪的沖擊, 縱搖角大于 3 的概率為1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪沖擊, 問其中有29 50030 500次縱搖角大于 3 的概率是多少？,例4,解:,將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗,并假設各次試驗是獨立的,在90 000次波浪沖擊中,縱搖角大于 3 的次數(shù)為 X,則 X 是一個隨機變量,所求概率為,分布律為,直接計算很麻煩，利用德莫佛拉普拉斯定理,對于一個學生而言, 來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量. 設一個學生無家長、1名家長、 2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15. 若學校共有400名學生, 設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立, 且服從同一分布. (1) 求參加會議的家長數(shù) X 超過450的概