概率與數理統計C第九章.ppt

第九章 統計量和抽樣分布,第一節(jié) 統計量 第二節(jié) 常用統計量 第三節(jié) 抽樣分布,第一節(jié) 統計量,定義1.1 設(X1,X2,Xn)為總體X的樣本, 若樣本的函數T=T(X1,X2,Xn)中不含任何未知參數, 則T(X1,X2,Xn)稱為統計量, 其中T為連續(xù)函數。,若(x1,x2,xn)為樣本(X1,X2,Xn)的一次觀察值, 則T的取值t=T(x1,x2,xn)稱為統計值。,例1.1 設(X1,X2,Xn)是來自正態(tài)總體N(,2)的樣本，其中已知，未知，則,第二節(jié) 常用統計量,一、順序統計量,定義2.1 設X1, X2,Xn為總體X的樣本, 由樣本建立n個函數: X(k)=X(k)(X1, X2,Xn)，k=1,2,n 其中X(k)的觀察值為x(k), 且x(k)為樣本值x1, x2,xn按從小到大的次序排列 x(1) x(2) x(k) x(n) 后的第k個數值, 則稱X(1), X(2),X(n)為原樣本X1, X2,Xn的順序統計量, 稱X(k)為第k個順序統計量。,注1 順序統計量保留了原樣本的數據信息, 只去掉了不太重要的得到數據的順序信息, 若樣本值為x1, x2,xn, 則按從小到大順序排列后得到順序統計值x(1), x(2),x(n),注2 X(k)意味著在n個數據中, 恰有k個數據不超過它, 即超過它的恰有nk個數據, 因此, 易見 X(1)=minX1, X2,Xn X(n)=maxX1, X2,Xn,例2.1 設X1,X2,X5是容量為5的樣本, 今對樣本作三次觀察, 其值如下表 試求三次觀察的順序統計值。,解：將上表中數據從小到大排列，即得順序統計值。,二、描述樣本的中心位置的統計量,例2.2 從某種合金強度總體中抽取容量為5的樣本, 其觀察值為140, 150, 155, 130, 145, 試求其樣本均值。,(1) 樣本均值,例2.3 某工廠制作一種線圈, 為控制生產過程保持穩(wěn)定, 從產品中任取10件, 測定其阻抗X, 所得數據如下: 15.3, 13.0, 16.7, 14.2, 14.5, 14.5, 15.9, 15.0, 15.1, 16.4 試求：(1)樣本中位數med的值 (2)若取出的第11件數據為15.2，此時med又為何值？,(2) 樣本中位數,解: 將所得數據按從小到大順序排列為: 13.0, 14.2, 14.5, 14.5, 15.0, 15.1, 15.3, 15.9, 16.4, 16.7,反映樣本數據分散程度的統計量實際上反映了總體取值的分散程度，其常用統計量有以下幾種：,三、描述樣本數據分散程度的統計量,(1) 樣本極差,(2) 樣本方差,(3) 樣本標準差,S2與X的量綱不一致，而S與X的量綱一致。,第三節(jié) 抽樣分布,1、定義,定義3.1 若隨機變量X1,X2,Xn相互獨立, 且都服從標準正態(tài)分布N(0,1), 則稱統計量,自由度是指上式右端包含的獨立變量的個數。,服從自由度為n的 分布, 記為,(1),例3.1 設(X1,X2,X9)是來自正態(tài)總體N(0,22)的樣本, 求系數a, b, c, 使,二、t分布,1、定義,定義3.3 設XN(0,1)，Y ，且X與Y相互獨立，則稱統計量 服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。,t(n)分布的密度曲線關于y軸對稱，即有 f (x)=f (x) 且與標準正態(tài)分布N(0,1)密度曲線十分相近，但t(n)分布密度曲線的峰頂要低，兩端點較標準正態(tài)曲線要高。,2、t(n)的性質,例3.2 設總體XN(0,1), 樣本(X1,X2,X5) 來自總體X, 試求系數C, 使統計量,解：因為X1,X2,X5相互獨立，且同為標準正態(tài)分布，則,定義3.4 對于給定的正數 (01)，稱滿足條件 Pt(n)t(n)= 的t(n)為t(n)分布的分位數。,3、t(n)分布的分位數,注1：由于t(n)的對稱性，故有 t1(n)= t(n),注2：當n45時，由t(n)分布表直接查得t(n)的值 t0.95(15)=1.7531 t0.05(15)= t0.95(15)= 1.7531,三、F分布,1、定義,定義3.5 設隨機變量X與Y相互獨立, 且X ，Y ，則稱統計量 服從自由度為n,m的F分布, 記為FF(n,m)。,注：F分布是不對稱分布，其分布曲線向右偏斜，當n,m增大時，F分布近于對稱。,2、F分布的性質,F分布的倒數也服從F分布, 即若FF(n,m), 則1/FF(m,n)。,定義3.6 對于給定的正數 (01)，稱滿足條件 PF(n,m)F(n,m)= 的F(n,m)為F分布的分位數。,3、F分布的分位數,注：由F分布的性質可知 利用此式可以計算F分布表中未列出的某些數值。,四、正態(tài)總體的抽樣分布,定理3.4 設X1,X2,Xn是來自正態(tài)總體N(,2)的樣本，則有,證: 1 由于X1,X2,Xn與總體X 獨立同分布, 故E(Xi)=, D(Xi)=2, i=1,2,n, 則有,2, 3證明略。,例3.3 在總體N(52,6.32)中隨機抽取一容量為36的樣本，試求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率。,定理3.2 設X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分別為來自正態(tài)總體N(1,12)和N(2,22)的樣本，且它們相互獨立，則有,五、漸近分布,