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一、定義,n階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程,二、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法,-特征方程法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,特點(diǎn),未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合等于0,即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子,猜想,有特解, 有兩個(gè)不相等的實(shí)根,特征根為,兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解,得齊次方程的通解為, 有兩個(gè)相等的實(shí)根,特征根為,一特解為,得齊次方程的通解為, 有一對(duì)共軛復(fù)根,特征根為,重新組合,得齊次方程的通解為,由常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱(chēng)為特征方程法.,方法步驟,寫(xiě)出特征方程,求出特征根,按特征根的三種不同情況依下表寫(xiě)出齊通解,例1,求通解,解,特征方程為,特征根為,齊通解為,例2,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例3,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例4,設(shè)圓柱形浮筒,直徑為0.5 米,鉛直放在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開(kāi),浮筒在水中振動(dòng)的周期為2 秒,求浮筒的質(zhì)量,解,設(shè)浮筒的質(zhì)量為 m,平衡時(shí),圓柱浸入水中深度為 l,浮力,重力,設(shè) t 時(shí)刻浮筒上升了 x 米,此時(shí),浮力,重力,由Newton第二定律,記,三、n階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法,特征方程為,注意,n次代數(shù)方程有n個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各含一個(gè)任意常數(shù).,實(shí)重根,復(fù)單根,復(fù)重根,實(shí)單根,幾種情況,每個(gè)根對(duì)應(yīng)通解中的一項(xiàng),其寫(xiě)法與二階方程的情形完全類(lèi)似,具體分為,例5,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例6,解,特征方程為,特征根為,故所求通解為,四、小結(jié),二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:,(1)寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程; (2)求出特征根; (3)根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.,思考題,
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