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,一、定義,n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式,二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式,二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式,二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,-特征方程法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,1. 有兩個不相等的實根,兩個線性無關(guān)的特解,得齊次方程的通解為,特征根為,2.有兩個相等的實根,一特解為,得齊次方程的通解為,特征根為,3.有一對共軛復(fù)根,重新組合,得齊次方程的通解為,特征根為,定義,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例1,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例2,三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法,特征方程為,特征方程的根,通解中的對應(yīng)項,注意,n次代數(shù)方程有n個根, 而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項, 且每一項各一個任意常數(shù).,特征根為,故所求通解為,解,特征方程為,例3,四、小結(jié),二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫出相應(yīng)的特征方程; （2）求出特征根; （3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.,(見下表),思考題,求微分方程 的通解.,思考題解

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