階常系數(shù)線性微分方程.ppt

第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程,教學(xué)內(nèi)容：二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)及解法（特征方程法，待定系數(shù)法） 一.二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 二 . 方程的解法特征方程法,三二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)及其求解方法待定系數(shù)法,教學(xué)重點(diǎn)： （p,q為常數(shù)）的解法； 的特解求法,教學(xué)方法：講授與練習(xí)結(jié)合,教學(xué)難點(diǎn)：,的特解求法,教學(xué)手段：多媒體課件與面授講解相結(jié)合,一 一. 二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定義1 形如 （其中p,q為常數(shù)（41） 的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程， 稱為自由項(xiàng)，特 別地，當(dāng) = 0時， （ 42）稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，否則稱為線性非齊次微分方程。 定理1 如果 是方程 （42）的兩個解，那么 也是（42）的解，其中 是任意常數(shù)。,例1驗(yàn)證 都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程 的解，并說明 是原方程的通解。 證：將 代入方程 左端= - -2e-x=e-x+e-x-2e-x=0=右端 所以 y1=e-x是方程 的解 同理，y2=e2x,y3=e1-x也是方程 的解 由定理1可知， 是原方程的解。因c1,c2不能合并為一個常數(shù)（即c1,c2是獨(dú)立的）而方程 是二階的，因此 是方程的通解 ； 是方程的解，但 =e-x( +C3e)=Ce-x( 其中C=C1+C3)即 C1,C3 可合并為一個常數(shù)，因此不是方程 的通解,定理2（的解的結(jié)構(gòu)） 如果函數(shù) 是方程的兩個線性無關(guān) （即 常 數(shù)）的特解，則 的 通解為 （其中C1,C2為任意常數(shù)） 二 . 方程 的解法特征方程法 由定理2可知，要想求出方程 的通解，只 需求出它的兩個線性無關(guān)的特解即可,設(shè)方程 的特解為：y=erx（道理闡明） 由 =rerx, =r2erx,代入方程，得(r2+pr+q)erx=0 由erx 0 r2+pr+q=0 可見，r只要滿足r2+pr+q=0，函數(shù)y=erx就是方程 的解。 稱方程 為方程 的特征方程 設(shè) 為特征方程 的兩個根。,若 ,則 就是 的兩個線性無關(guān)的解，此時方程 的通解為 若 , 即 r 為重根，這時得到方程 的一個解 還需求出一個與 線性無關(guān)的解 ，即 滿足 常數(shù), 于是可設(shè) 則 代入方程得：,(ii)由r為特征方程 的重根及根與余數(shù)的關(guān) 系 ,得 這樣, 數(shù)， 是方程 的兩 個線性無關(guān)的特解，因此方程的通解為 y=(C1x+C2)erx (iii)當(dāng)p2-4q0時，特征方程 無 實(shí)根，而有一對共軛的復(fù)數(shù)根 ，這時, 是方程的兩個線性無關(guān) 的特解。因此，方程的通解為： y= =,例1 求 + -2y=0的通解 解 特征方程 r2+r-2=0特征根為r1=1,r2=-2 因此，通解為y=C1ex+C2e-2x 例2 求 +6 +9y=0的滿足y|x=0,=0, |x=0=-2的特解 解 特征方程為：r2+6r+9=0 , r1=r2=-3 通解為：y=(C1+C2x)e-3x =(C2-3C1-3C2x)e-3x 由初始條件：y|x=0=0 得 C1=0 |x=0=-2 得 C2=2 因此所求特解為：y=2xe-3x,例3 求解 -2 +5y=0 解：特征方程：r2-2r+5=0 r=1 2i 通解為：y=ex(C1cox2x+C2sin2x) 綜上，求二階常系數(shù)齊次微分方程步驟如下： （1） 寫出特征方程 r2+pr+q=0 （2） 求出特征根 （3） 按下表寫出通解,三二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu) 方程 f (x ) （41） ( f (x) )的解具有下列性質(zhì) 定理3 設(shè)函數(shù)y是方程（4-1）的一個特解，而 是相應(yīng)的齊次微分方程 0的通解，則方程（4-1）的通解為：y=y*+ 由此定理可得求解方程（4-1）的步驟如下 （1) 求相應(yīng)的齊次微分方程 0的通解; （2 )求 f (x )的一個特解y*; （3)寫出 f (x )的通解：y= +y* 可見：求 f (x )通解的關(guān)鍵是求某一個特解y*.,下面就自由項(xiàng) f (x ) = 給出求特解的方法（特定系數(shù)法) 設(shè) 的特解為：y*=Q (x) ，將其代入原方程，可得 (i) 若 不是特征方程 的特征根，則 應(yīng)為x的m次多項(xiàng)式，即 (其中 是待定系數(shù))。 將代入方程中，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，即可定出待定系數(shù),從而求出,將 代入方程 中，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，即可定出待定系數(shù) ,從而求出 ()若 是特征方程 的單根， 則 滿足 這樣 應(yīng)為x的m次多項(xiàng)式，因此可設(shè)方程（4-1）的特解為： 使用（）所述方法，求 （）若 是特征方程 的二重根，則 ， 是x的m次多項(xiàng)式，可設(shè) （用上述方法 確定 的系數(shù)）,綜上： 方程的特解： 0 ， 不是特征根 （其中k= 1， 是特征單根 2， 是二重根 下面通過例題，說明如何用待定系數(shù)法求 的解。 例4、求 的通解。 分析：,解： 是單根，設(shè) 代入原方程，得 比較系數(shù)， 得 （3