高數(shù)同濟(jì)六版課件D11習(xí)題.ppt

,習(xí)題課,一、 曲線積分的計(jì)算法,二、曲面積分的計(jì)算法,線面積分的計(jì)算,第十一章,一、曲線積分的計(jì)算法,1. 基本方法,曲線積分,第一類 ( 對弧長 ),第二類 ( 對坐標(biāo) ),(1) 選擇積分變量,定積分,用參數(shù)方程,用直角坐標(biāo)方程,用極坐標(biāo)方程,(2) 確定積分上下限,第一類: 下小上大,第二類: 下始上終,練習(xí)題: P244 題 3 (1), (3), (6),解答提示:,計(jì)算,其中L為圓周,提示: 利用極坐標(biāo) ,原式 =,說明: 若用參數(shù)方程計(jì)算,則,P244 3 (1),P244 3(3). 計(jì)算,其中L為擺線,上對應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.,提示:,P244 3(6). 計(jì)算,其中 由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,從 z 軸正向看沿逆時(shí)針方向.,(1) 利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算 ;,(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;,(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .,2. 基本技巧,例1. 計(jì)算,其中 為曲線,解: 利用輪換對稱性 , 有,利用重心公式知,( 的重心在原點(diǎn)),例2. 計(jì)算,其中L 是沿逆,時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心、,解法1 令,則,這說明積分與路徑無關(guān), 故,a 為半徑的上半圓周.,解法2,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何計(jì)算下述積分:,(1) 若L 改為順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分:,則,添加輔助線段,思考題解答:,(1),(2),證:把,例3. 設(shè)在上半平面,內(nèi)函數(shù),具有,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且對任意 t 0 都有,證明,對D內(nèi)任意分段光滑的閉曲線L, 都有,兩邊對t求導(dǎo), 得:,則有,因此結(jié)論成立.,(2006考研),計(jì)算,其中L為上半圓周,提示:,沿逆時(shí)針方向.,練習(xí)題: P244 題 3(5) ; P245 題 6; 11.,3(5).,用格林公式:,P245 6 .,設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力,構(gòu)成力場,其中k 為常數(shù),證明在此力場中,場力所作的功與所取的路徑無關(guān).,提示:,令,易證,P245 11.,求力,沿有向閉曲線 所作的,其中 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三,提示:,方法1,從 z 軸正向看去沿順時(shí)針方向.,利用對稱性,角形的整個(gè)邊界,功,設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上,則,方法2,利用,公式,斯托克斯公式,例4.,設(shè)L 是平面,與柱面,的交線,從 z 軸正向看去, L 為逆時(shí)針方向, 計(jì)算,解: 記 為平面,上 L 所圍部分的上側(cè),D為 在 xOy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式,D 的形心,二、曲面積分的計(jì)算法,1. 基本方法,曲面積分,第一類( 對面積 ),第二類( 對坐標(biāo) ),二重積分,(1) 選擇積分變量 代入曲面方程,(2) 積分元素投影,第一類: 始終非負(fù),第二類: 有向投影,(3) 確定二重積分域, 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,思 考 題,1) 二重積分是哪一類積分?,答: 第一類曲面積分的特例.,2) 設(shè)曲面,問下列等式是否成立?,不對 ! 對坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān),2. 基本技巧,(1) 利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用條件,添加輔助面的技巧,(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面),(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化,練習(xí):,P244 題4(3),其中 為半球面,的上側(cè).,且取下側(cè) ,原式 =,P244 題4(2) , P245 題 10 同樣可利用高斯公式計(jì)算.,記半球域?yàn)?,高斯公式有,計(jì)算,利用,例5.,證明: 設(shè),(常向量),則,單位外法向向量,試證,例6. 計(jì)算曲面積分,其中,解:,思考: 本題 改為橢球面,時(shí), 應(yīng)如何,計(jì)算 ?,提示:,在橢球面內(nèi)作輔助小球面,內(nèi)側(cè),然后用高斯公式 .,例7. 設(shè) 是曲面,解: 取足夠小的正數(shù) , 作曲面,取下側(cè),使其包在 內(nèi),為 xOy 平面上夾于,之間的部分, 且取下側(cè) ,取上側(cè), 計(jì)算,則,第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式,注意曲面的方向 !,得,例8. 計(jì)算曲面積分,中 是球面,解:,用重心公式,作業(yè),P244 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 9,備用題 1. 已知平面區(qū)域,L為D 的邊界, 試證,證: (1) 根據(jù)格林公式,所以相等,從而,左端相等, 即(1)成立.,(2003 考研),因、兩式右端積分具有輪換對稱性,(2) 由式,由輪換對稱性,(1) 在任一固定時(shí)刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是,2. 地球的一個(gè)偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī),能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像,若地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球表面高度為 H =0.25 R ,衛(wèi)星繞地球一周的時(shí)間為 T , 試求,(2) 在,解: 如圖建立坐標(biāo)系.,的時(shí)間內(nèi) , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球,表面積是多少 ?,多少 ?,設(shè)衛(wèi)星繞 y 軸旋轉(zhuǎn),(1) 利用球坐標(biāo), 任一固定時(shí)刻監(jiān)視的地球表面積為,(2) 在,時(shí)間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積