高數(shù)同濟(jì)16極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限.ppt

一、準(zhǔn)則I及第一個(gè)重要極限,二、準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限,1.6 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限,上頁(yè),下頁(yè),鈴,結(jié)束,返回,首頁(yè),2,由條件(2) e 0 N 0 當(dāng)nN 時(shí) 有,一、準(zhǔn)則I及第一個(gè)重要極限,如果數(shù)列xn、yn及zn滿(mǎn)足下列條件 (1) ynxnzn(n=1 2 3 ),準(zhǔn)則 I,|yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由條件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e ,簡(jiǎn)要證明,下頁(yè),3,一、準(zhǔn)則I及第一個(gè)重要極限,準(zhǔn)則I,如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿(mǎn)足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,證明與準(zhǔn)則 I類(lèi)似,下頁(yè),如果數(shù)列xn、yn及zn滿(mǎn)足下列條件 (1) ynxnzn(n=1 2 3 ),準(zhǔn)則 I,4,第一個(gè)重要極限,因此 sin x x tan x ,簡(jiǎn)要證明,參看附圖 設(shè)圓心角AOB=x,下頁(yè),兩邊除以sin x,得,5,注:,這是因?yàn)?令u=a(x) 則u0 于是,下頁(yè),(2),第一個(gè)重要極限,6,例2,解,解,例3,下頁(yè),7,例4,解,下頁(yè),8,思考:,1.公式計(jì)算,2.幾何理解,下頁(yè),9,二、準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限,注:,如果xnxn+1 nN 就稱(chēng)數(shù)列xn是單調(diào)增加的 如果xnxn+1 nN 就稱(chēng)數(shù)列xn是單調(diào)減少的 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列,下頁(yè),準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,討論: 收斂的數(shù)列是否一定有界？ 有界的數(shù)列是否一定收斂？,10,二、準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,準(zhǔn)則II的幾何解釋,以單調(diào)增加數(shù)列為例,下頁(yè),數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng) 或者無(wú)限向右移動(dòng) 或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)A 而對(duì)有界數(shù)列只可能無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)A ,11,例5,證,(舍去),12,根據(jù)準(zhǔn)則II 數(shù)列xn必有極限, 此極限用e來(lái)表示.,第二個(gè)重要極限,e是個(gè)無(wú)理數(shù) 它的值是 e=2 718281828459045 ,下頁(yè),二、準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,若可以證明,(2) xn3,(1) xnxn+1 nN,證明略,13,(1) xnxn+1 nN,大,大,正,比較可知,大,下頁(yè),14,根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列,有極限 .,又,(2) xn 3,即 xn 3,下頁(yè),15,下頁(yè),二、準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,我們還可以證明,這就是第二個(gè)重要極限,第二個(gè)重要極限,e是個(gè)無(wú)理數(shù) 它的值是 e=2 718281828459045 ,16,證: 當(dāng),時(shí), 設(shè),則,下頁(yè),17,當(dāng),則,從而有,故,時(shí), 令,下頁(yè),18,第二個(gè)重要極限,二、準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,注:,下頁(yè),19,解,例6,令t=-x,下頁(yè),則x 時(shí) t 于是,20,例7. 求,解: 原式 =,結(jié)束,21,內(nèi)容小結(jié),1. 兩個(gè)重要準(zhǔn)則及其應(yīng)用,(1)夾逼準(zhǔn)則,(2) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,2. 兩個(gè)重要極限,或,22,思考：,23,故極限存在，,備用題,1.設(shè), 且,求,解：,設(shè),則由遞推公式有,數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,故,利用極限存在準(zhǔn)則,24,作業(yè)：P56-1：（4）（5）（6）， P56-2：（3）（4）， 4：（2）（3）(5),25,最常見(jiàn)的四種e的定義如下： 1