高數(shù)同濟(jì)16極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限.ppt

一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限,二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限,1.6 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,2,由條件(2) e 0 N 0 當(dāng)nN 時 有,一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限,如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1) ynxnzn(n=1 2 3 ),準(zhǔn)則 I,|yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由條件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e ,簡要證明,下頁,3,一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限,準(zhǔn)則I,如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,證明與準(zhǔn)則 I類似,下頁,如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1) ynxnzn(n=1 2 3 ),準(zhǔn)則 I,4,第一個重要極限,因此 sin x x tan x ,簡要證明,參看附圖 設(shè)圓心角AOB=x,下頁,兩邊除以sin x,得,5,注:,這是因為 令u=a(x) 則u0 于是,下頁,(2),第一個重要極限,6,例2,解,解,例3,下頁,7,例4,解,下頁,8,思考:,1.公式計算,2.幾何理解,下頁,9,二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限,注:,如果xnxn+1 nN 就稱數(shù)列xn是單調(diào)增加的 如果xnxn+1 nN 就稱數(shù)列xn是單調(diào)減少的 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列,下頁,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,討論: 收斂的數(shù)列是否一定有界？ 有界的數(shù)列是否一定收斂？,10,二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,準(zhǔn)則II的幾何解釋,以單調(diào)增加數(shù)列為例,下頁,數(shù)列的點只可能向右一個方向移動 或者無限向右移動 或者無限趨近于某一定點A 而對有界數(shù)列只可能無限趨近于某一定點A ,11,例5,證,(舍去),12,根據(jù)準(zhǔn)則II 數(shù)列xn必有極限, 此極限用e來表示.,第二個重要極限,e是個無理數(shù) 它的值是 e=2 718281828459045 ,下頁,二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,若可以證明,(2) xn3,(1) xnxn+1 nN,證明略,13,(1) xnxn+1 nN,大,大,正,比較可知,大,下頁,14,根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列,有極限 .,又,(2) xn 3,即 xn 3,下頁,15,下頁,二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,我們還可以證明,這就是第二個重要極限,第二個重要極限,e是個無理數(shù) 它的值是 e=2 718281828459045 ,16,證: 當(dāng),時, 設(shè),則,下頁,17,當(dāng),則,從而有,故,時, 令,下頁,18,第二個重要極限,二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限,準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,注:,下頁,19,解,例6,令t=-x,下頁,則x 時 t 于是,20,例7. 求,解: 原式 =,結(jié)束,21,內(nèi)容小結(jié),1. 兩個重要準(zhǔn)則及其應(yīng)用,(1)夾逼準(zhǔn)則,(2) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,2. 兩個重要極限,或,22,思考：,23,故極限存在，,備用題,1.設(shè), 且,求,解：,設(shè),則由遞推公式有,數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,故,利用極限存在準(zhǔn)則,24,作業(yè)：P56-1：（4）（5）（6）， P56-2：（3）（4）， 4：（2）（3）(5),25,最常見的四種e的定義如下： 1