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第三章 矩陣的初等變換3.1 矩陣的秩 1. 子式：在中, 選取行與列, 位于交叉處的個(gè)數(shù)按照原來(lái)的 相對(duì)位置構(gòu)成階行列式, 稱為的一個(gè)階子式, 記作 對(duì)于給定的, 不同的階子式總共有個(gè) 2. 矩陣的秩：在中，若 (1) 有某個(gè)階子式； (2) 所有的階子式（如果有階子式的話） 稱的秩為, 記作, 或者 規(guī)定： 性質(zhì)：(1) (2) 時(shí) (3) (4) 中的一個(gè) (5) 中所有的 例1 , 求 解 位于1,2行與1,2列處的一個(gè)2階子式 計(jì)算知, 所有的3階子式, 故注 , 若, 稱為行滿秩矩陣； 若, 稱為列滿秩矩陣 , 若, 稱為滿秩矩陣（可逆矩陣, 非奇異矩陣）； 若, 稱為降秩矩陣（不可逆矩陣, 奇異矩陣）3.2 矩陣的初等變換 1. 初等變換 行變換 列變換 對(duì)調(diào) 數(shù)乘 倍加 經(jīng)過(guò)初等變換得到, 記作 2. 等價(jià)矩陣：若, 稱與等價(jià), 記作 (1) 自反性： (2) 對(duì)稱性： (3) 傳遞性：, 定理1 證 只需證明 設(shè), 僅證行變換之(3)的情形： (1) 若, 則有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的階子式 , 于是可得 (2) 若或者, 構(gòu)造矩陣 , 由(1)可得 其余情形類似 例2 , 求 解 , 故 行最簡(jiǎn)形： 標(biāo)準(zhǔn)形： 定理2 若, 則 ：行階梯形 ：行最簡(jiǎn)形 定理3 若, 則, 稱為的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 推論1 若滿秩, 則 推論2 3.3 解線性方程組的消元法 例如 解線性方程組的初等變換： (1) 互換兩個(gè)方程的位置 (2) 用非零數(shù)乘某個(gè)方程 (3) 將某個(gè)方程的若干倍加到另一個(gè)方程 用矩陣的初等變換表示方程組的求解過(guò)程如下： 方程組： 或者 增廣矩陣： 設(shè), 且的左上角階子式, 則 ： 行最簡(jiǎn)形 的同解方程組為 (3.4) 若, 則方程組(3.4)無(wú)解： 若, 則方程組(3.4)有解： (1) 時(shí), 方程組(3.4)成為 , , , 是其唯一解 (2) 時(shí), 方程組(3.4)成為 一般解為 其中為任意常數(shù) 定理4 , (1) 有解； (2) 有解時(shí), 若, 則有唯一解； 若, 則有無(wú)窮

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