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第三章 矩陣的初等變換3.1 矩陣的秩 1. 子式：在中, 選取行與列, 位于交叉處的個數(shù)按照原來的 相對位置構成階行列式, 稱為的一個階子式, 記作 對于給定的, 不同的階子式總共有個 2. 矩陣的秩：在中，若 (1) 有某個階子式； (2) 所有的階子式（如果有階子式的話） 稱的秩為, 記作, 或者 規(guī)定： 性質(zhì)：(1) (2) 時 (3) (4) 中的一個 (5) 中所有的 例1 , 求 解 位于1,2行與1,2列處的一個2階子式 計算知, 所有的3階子式, 故注 , 若, 稱為行滿秩矩陣； 若, 稱為列滿秩矩陣 , 若, 稱為滿秩矩陣（可逆矩陣, 非奇異矩陣）； 若, 稱為降秩矩陣（不可逆矩陣, 奇異矩陣）3.2 矩陣的初等變換 1. 初等變換 行變換 列變換 對調(diào) 數(shù)乘 倍加 經(jīng)過初等變換得到, 記作 2. 等價矩陣：若, 稱與等價, 記作 (1) 自反性： (2) 對稱性： (3) 傳遞性：, 定理1 證 只需證明 設, 僅證行變換之(3)的情形： (1) 若, 則有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的階子式 , 于是可得 (2) 若或者, 構造矩陣 , 由(1)可得 其余情形類似 例2 , 求 解 , 故 行最簡形： 標準形： 定理2 若, 則 ：行階梯形 ：行最簡形 定理3 若, 則, 稱為的等價標準形 推論1 若滿秩, 則 推論2 3.3 解線性方程組的消元法 例如 解線性方程組的初等變換： (1) 互換兩個方程的位置 (2) 用非零數(shù)乘某個方程 (3) 將某個方程的若干倍加到另一個方程 用矩陣的初等變換表示方程組的求解過程如下： 方程組： 或者 增廣矩陣： 設, 且的左上角階子式, 則 ： 行最簡形 的同解方程組為 (3.4) 若, 則方程組(3.4)無解： 若, 則方程組(3.4)有解： (1) 時, 方程組(3.4)成為 , , , 是其唯一解 (2) 時, 方程組(3.4)成為 一般解為 其中為任意常數(shù) 定理4 , (1) 有解； (2) 有解時, 若, 則有唯一解； 若, 則有無窮

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