(好資料)2012北京一模數(shù)學(xué)分類匯編_數(shù)列

數(shù)列1. （西城理題3）（西城文題3）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則等于（ ）A10 B12 C15 D30【解析】 C；，于是，2. （海淀文題4）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則數(shù)列的公差是（ ）A B C D【解析】 C；，；，因此3. （宣武理題5）（宣武文題5）若為等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，則的值為（ ）ABCD【解析】 B；由，可得，4. （海淀理題6）已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差為（ ）A或 B或 C D【解析】 C；，解得因此該等差數(shù)列的公差為5. （東城理題7）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)其前項(xiàng)和為，則使成立的最小自然數(shù)等于（ ）A B C D【解析】 C；，解得6. （豐臺理題8）已知整數(shù)以按如下規(guī)律排成一列：、，則第個(gè)數(shù)對是（ ）A B C D【解析】 C；根據(jù)題中規(guī)律，有為第項(xiàng)，為第2項(xiàng)，為第4項(xiàng)，為第項(xiàng)，因此第項(xiàng)為7. （海淀理題8）已知數(shù)列具有性質(zhì)：對任意，與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)現(xiàn)給出以下四個(gè)命題： 數(shù)列具有性質(zhì)； 數(shù)列具有性質(zhì)； 若數(shù)列具有性質(zhì)，則； 若數(shù)列具有性質(zhì)，則其中真命題有（ ）A個(gè) B個(gè) C個(gè) D個(gè) 【解析】 B；，都不在數(shù)列中，數(shù)列不具有性質(zhì)；容易驗(yàn)證數(shù)列具有性質(zhì)；取，則在數(shù)列中，而數(shù)列中最小的數(shù)，因此；由對的分析可知，由于，不在數(shù)列中，因此必然在數(shù)列中又，故，于是，等式成立8. （豐臺文題10）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則 【解析】 ；9. （東城文題11）設(shè)是等比數(shù)列，若，則 ，數(shù)列的前項(xiàng)的和 【解析】 ；10. （石景山文題12）等差數(shù)列中，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于 【解析】 ，；設(shè)公差為，即，11. （石景山文題14）（石景山理題14）在數(shù)列中，若，（，為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若是等方差數(shù)列，則（，為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列其中正確命題序號為 （將所有正確的命題序號填在橫線上）【解析】 ；由定義可知，是公差為的等差數(shù)列，正確；為常數(shù)，故是等方差數(shù)列，正確；若，則為常數(shù)，對；設(shè)公差為，則，結(jié)合，兩式相減可得，故是常數(shù)列，對12. （石景山文題18）在數(shù)列中， 且求，的值；證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】 ， 且，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為，13. （石景山理題18）在數(shù)列中，且求，的值；證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】 ，證明：，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 ，所以，14. （西城文題19）設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，其中求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；當(dāng)時(shí)，求；設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對于任意的正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】 由已知，所以；，所以，解得；所以數(shù)列的公比；當(dāng)時(shí)，得，所以，因?yàn)?，所以由得，注意到，?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以最大值為，最小值為對于任意的正整數(shù)n都有，所以，解得，即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是15. （豐臺文題20）設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成：存在實(shí)數(shù)，使（為正整數(shù)）在只有項(xiàng)的有限數(shù)列，中，其中，；試判斷數(shù)列，是否為集合的元素；設(shè)是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，證明數(shù)列；并寫出的取值范圍；設(shè)數(shù)列，且對滿足條件的常數(shù)，存在正整數(shù)，使求證：【解析】 對于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足集合的條件，故不是集合中的元素， 對于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，不僅有，而且有，顯然滿足集合的條件，故是集合中的元素是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，設(shè)其公差為，的最大值是，即，且的取值范圍是證明：，整理，又，16. （豐臺理題20）設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成：；存在實(shí)數(shù)，使（為正整數(shù)）在只有項(xiàng)的有限數(shù)列，中，其中；試判斷數(shù)列是否為集合的元素；設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，證明數(shù)列；并寫出的取值范圍；設(shè)數(shù)列且對滿足條件的的最小值，都有求證：數(shù)列單調(diào)遞增【解析】 對于數(shù)列，取，顯然不滿足集合的條件，故不是集合中的元素，對于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，不僅有，而且有，顯然滿足集合的條件，故是集合中的元素是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，設(shè)其公比為，整理得， 對于，有，且，故，且證明：（反證）若數(shù)列非單調(diào)遞增，則一定存在正整數(shù)，使，易證于任意的，都有，證明如下：假設(shè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，而所以所以對于任意的，都有顯然這項(xiàng)中有一定存在一個(gè)最大值，不妨記為；所以，從而與這題矛盾所以假設(shè)不成立，故命題得證17. （海淀文題20）已知數(shù)列滿足：，求的值；設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；對任意的，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這項(xiàng)，并證明這項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說明理由【解析】 因?yàn)?，所以，；由題意，對于任意的正整數(shù)，所以又 所以又所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以存在事實(shí)上，對任意的，在數(shù)列中，這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列我們先來證明：“對任意的，有”由得，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，記，其中因此要證，只需證明，其中，（這是因?yàn)槿?，則當(dāng)時(shí)，則一定是奇數(shù)，有=；當(dāng)時(shí)，則一定是偶數(shù)，有=）如此遞推，要證， 只要證明，其中，其中，如此遞推下去，我們只需證明，即，即，由（I）可得，所以對，有，對任意的，其中，所以又，所以所以這連續(xù)的項(xiàng)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列說明：當(dāng)（其中，）時(shí)，因?yàn)闃?gòu)成一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，所以從這個(gè)數(shù)列中任取連續(xù)的項(xiàng)，也是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為，公差為的等差數(shù)列18. （海淀理題20）已知數(shù)列滿足：，求的值；設(shè)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；對于任意的正整數(shù)，試討論與的大小關(guān)系【解析】 ，；由題設(shè)，對于任意的正整數(shù)，都有：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列對于任意的正整數(shù)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，證明如下：首先，由，可知時(shí)，；其次，對于任意的正整數(shù)，時(shí)，；時(shí)，所以時(shí)，事實(shí)上，我們可以證明：對于任意正整數(shù)，（*）（證明見后），所以此時(shí)綜上可知：結(jié)論得證對于任意正整數(shù)，（*）的證明如下：）當(dāng)（）時(shí)，滿足（*）式）當(dāng)時(shí)，滿足（*）式）當(dāng)時(shí)，于是只須證明，如此遞推，可歸結(jié)為）或）的情形，于是（*）得證19. （東城文題20）已知數(shù)列，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；是否存在自然數(shù)，使得對于任意，有恒成立？若存在，求出的最小值；若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；所以所以即又，所以當(dāng)時(shí)，上式成立因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故；由知，則，假設(shè)存在自然數(shù)，使得對于任意，有恒成立，即恒成立，由，解得，所以存在自然數(shù)，使得對于任意，有恒成立，此時(shí)，的最小值為16當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；因此20. （東城理題20）已知數(shù)列滿足，求證：；求證：；求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】 用數(shù)學(xué)歸納法證明）當(dāng)時(shí)，所以結(jié)論成立）假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則所以即時(shí)，結(jié)論成立由）、）可知對任意的正整數(shù)，都有因?yàn)?，所以，即所以，所以又，所以又，令，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以由，得所以21. （西城理題20）對于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，如果（=1，2，3，）為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：是的一個(gè)排列；數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，證明數(shù)列具有“性質(zhì)”；試判斷數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列1，2，3，11是否具有“變換性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應(yīng)的數(shù)列，不具此性質(zhì)的說明理由；對于有限項(xiàng)數(shù)列：1，2，3，某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，試證明：當(dāng)”時(shí)，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”【解析】 當(dāng)時(shí)，又，所以所以是完全平方數(shù)，數(shù)列具有“性質(zhì)”；數(shù)列1，2，3，4，5具有“變換性質(zhì)”，數(shù)列為3，2，1，5，4，數(shù)列1，2，3，11不具有“變換性質(zhì)”，因?yàn)?1，4都只有與5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，所以數(shù)列1，2，3，11不具有“變換性質(zhì)”；設(shè)，注意到，令，由于，所以，又，所以，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，所以1，2，可以排列成，使得都是平方數(shù)另外，可以按相反順序排列，即排列為，使得，所以1，2，可以排列成，滿足都是平方數(shù)即當(dāng)時(shí)，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”22. （宣武文題20）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，點(diǎn)在直線上求證：數(shù)列是等差數(shù)列；