2020版高考數(shù)學第4章平面向量數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第4節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入教學案含解析.docx

第四節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入考綱傳真1.理解復數(shù)的概念，理解復數(shù)相等的充要條件.2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個具體復數(shù)相加、減的幾何意義1復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的概念：形如abi(a，bR)的數(shù)叫復數(shù)，其中a叫做復數(shù)z的實部，b叫做復數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)(2)分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復數(shù)的分類abi為實數(shù)b0abi為虛數(shù)b0abi為純虛數(shù)a0且b0(3)復數(shù)相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(4)共軛復數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(5)復數(shù)的模：向量的模叫做復數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|(a，bR)2復數(shù)的幾何意義復數(shù)zabi復平面內(nèi)的點Z(a，b) 平面向量(a，b)3復數(shù)的運算(1)運算法則：設z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.(2)幾何意義：復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加減法的幾何意義，即，.1(1i)22i，i，i.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)4z|z|2|2，|z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)復數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.( )(2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小( )(3)實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)( )(4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模. ( )答案(1)(2)(3) (4)2.(教材改編)如圖所示，在復平面內(nèi)，點A表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是( )AA BBCC DDB共軛復數(shù)對應的點關于實軸對稱3(教材改編)設mR，復數(shù)zm21(m1)i表示純虛數(shù)，則m的值為( )A1 B1C1 D0A由題意得，解得m1，故選A.4復數(shù)( )Ai B1iCi D1iAi.5(教材改編)設x，yR，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，則復數(shù)zxyi在復平面上對應的點位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限D由題意知解得則復數(shù)z42i在復平面上對應的點位于第四象限，故選D.復數(shù)的有關概念1(2018全國卷)設z2i，則|z|( )A0 B. C1 D.Cz2i2ii，所以|z|1.2(2018浙江高考)復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是( )A1i B1iC1i D1iB1i，所以復數(shù)的共軛復數(shù)為1i，故選B.3(2017天津高考)已知aR，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為_2aR，i為實數(shù)，0，a2.規(guī)律方法解決復數(shù)概念問題的策略(1)復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模，共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部與虛部有關，所以解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即abi(a，bR)的形式，再根據(jù)題意列出實部、虛部滿足的方程(組)即可.(2)求復數(shù)模的常規(guī)思路是利用復數(shù)的有關運算先求出復數(shù)z，然后利用復數(shù)模的定義求解.復數(shù)的運算考法1復數(shù)的乘法運算【例1】(1)(2018全國卷)(1i)(2i)( )A3i B3iC3i D3i(2)(2016全國卷)設(12i)(ai)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a( )A3 B2 C2 D3(3)若a為實數(shù)，且(2ai)(a2i)4i，則a( )A1 B0 C1 D2(1)D(2)A(3)B(1)(1i)(2i)2i2ii23i.故選D.(2)(12i)(ai)a2(12a)i，由題意知a212a，解得a3，故選A.(3)因為(2ai)(a2i)4i，所以4a(a24)i4i.所以解得a0.故選B.考法2復數(shù)的除法運算【例2】(1)(2018天津高考)i是虛數(shù)單位，復數(shù)_.(2)(2018江蘇高考)若復數(shù)z滿足iz12i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為_(1)4i(2)2(1)4i.(2)z2i故z的實部為2.考法3復數(shù)的綜合運算【例3】(1)(2019太原模擬)設復數(shù)z滿足i，則z的共軛復數(shù)為( )Ai Bi C2i D2i(2)(2016全國卷)若z43i，則( )A1 B1C.i D.i(3)若復數(shù)z滿足 2z32i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于( )A12i B12iC12i D12i(1)A(2)D(3)B(1)由i得1zizi.即(1i)z1i，則zi，因此i，故選A.(2)z43i，43i，|z|5，i.(3)設zabi(a，bR)，則abi，所以2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，所以解得所以z12i，故選B.規(guī)律方法復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復數(shù)的乘法.復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復數(shù)的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題時要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題.先利用復數(shù)的運算法則化簡，一般化為abi(a，bR)的形式，再結合相關定義解答. (1)(2019合肥模擬)已知i為虛數(shù)單位，則( )A5 B5iCi Di(2)(2019惠州模擬)已知復數(shù)z的共軛復數(shù)為，若(1i)2i(i為虛數(shù)單位)，則z( )Ai Bi1 Ci1 Di(3)(2019南昌模擬)設z的共軛復數(shù)是，若z2，z22i，則z( )A.i B.iC1i D1i(1)A(2)C(3)D(1)法一：5，故選A.法二：5，故選A.(2)由已知可得1i，則z1i，故選C.(3)對四個選項逐一驗證可知，當z1i時，符合題意，故選D.復數(shù)的幾何意義【例4】(1)(2018北京高考)在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(2019鄭州模擬)若復數(shù)(1i)(ai)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是( )A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)(1)D(2)B(1)i，所以的共軛復數(shù)為i，在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限，故選D.(2)復數(shù)(1i)(ai)a1(1a)i，其在復平面內(nèi)對應的點(a1,1a)在第二象限，故解得a1，故選B.規(guī)律方法與復數(shù)幾何意義相關的問題的一般解法第一步，進行簡單的復數(shù)運算，將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式；第二步，把復數(shù)問題轉化為復平面的點之間的關系，依據(jù)是復數(shù)abi與復平面上的點(a，b)一一對應. (1)(2019廣州模擬)設z1i(i是虛數(shù)單位)，則復數(shù)z2在復平面內(nèi)對應的點位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)在復平面內(nèi)與復數(shù)z所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數(shù)為( )A12i B12iC2i D2i(1)A(2)C(1)因為z1i，所以z2(1i)212ii22i1i，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(1,1)，位于第一象限，故選A.(2)依題意得，復數(shù)zi(12i)2i，其對應的點的坐標是(2,1)，因此點A(2,1)對應的復數(shù)為2i.1(2017全國卷)下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是( )Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)CA項，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是純虛數(shù)B項，i2(1i)(1i)1i，不是純虛數(shù)C項，(1i)212ii22i，是純虛數(shù)D項，i(1i)ii21i，不是純虛數(shù)故選C.2(2017全國卷)復平面內(nèi)表示復數(shù)zi(2i)的點位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限Czi(2i)12i，復數(shù)z12i所對應的復平面內(nèi)的點為Z(1，2)，位于第三象